二倍角的正弦、余弦、正切公式-三角恒等变换知识点考前进阶选择题自测题解析-江西省等高一数学必修,平均正确率50.0%

1、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%已知角$${{θ}}$$的顶点与原点重合，始边与$${{x}}$$轴非负半轴重合，若$${{M}{(}{−}{1}{，}{y}{)}}$$是角$${{θ}}$$终边上一点，且$$\operatorname{t a n} \left( 2 \theta+\frac{\pi} {4} \right)=7.$$则$${{y}{=}}$$（）

A.$$- \frac{1} {3}$$

B.$${{3}}$$

C.$$- \frac{1} {3}$$或$${{3}}$$

D.$$\frac{1} {3}$$或$${{−}{3}}$$

2、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系'， '特殊角的三角函数值']

正确率60.0%下列各式中，值为$$\frac{\sqrt3} {2}$$的是（）

A.$${{2}{s}{i}{n}{{7}{5}^{∘}}{c}{o}{s}{{7}{5}^{∘}}}$$

B.$${{c}{o}{{s}^{2}}{{7}{5}^{∘}}{−}{s}{i}{{n}^{2}}{{7}{5}^{∘}}}$$

C.$${{2}{s}{i}{{n}^{2}}{{7}{5}^{∘}}{−}{1}}$$

D.$${{s}{i}{{n}^{2}}{{7}{5}^{∘}}{+}{c}{o}{{s}^{2}}{{7}{5}^{∘}}}$$

3、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']

正确率40.0%$${{s}{i}{n}^{2}{{3}{7}^{∘}}{−}{2}{{c}{o}{s}^{2}}{{2}{2}{.}{5}^{∘}}{+}{{s}{i}{n}^{2}}{{5}{3}^{∘}}{=}}$$（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

C.$$- \frac{\sqrt2} 2$$

D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

4、['二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} x=\frac{3} {4}，$$则$${{c}{o}{s}{2}{x}{=}{（}}$$）

A.$$- \frac{1} {4}$$

B.$$\frac{1} {4}$$

C.$$- \frac{1} {8}$$

D.$$\frac{1} {8}$$

5、['二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%给定下列三个式子：
$${①{{s}{i}{n}}{{1}{5}^{∘}}{{c}{o}{s}}{{1}{5}^{∘}}}$$；
$$\odot\operatorname{c o s}^{2} \frac{\pi} {8}-\operatorname{s i n}^{2} \frac{\pi} {8}$$；
$$\oint\frac{\operatorname{t a n} 2 2. 5^{\circ}} {1-\operatorname{t a n}^{2} 2 2. 5^{\circ}}$$．
其运算结果是$$\frac{1} {2}$$的有$${{(}{)}}$$

A.$${{3}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{1}}$$个

D.$${{0}}$$个

6、['辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%已知$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$，则下列结论错误的是（）

A.$${{x}{y}}$$的最大值为$$\frac{1} {2}$$

B.$${{x}{y}}$$的最小值为$$- \frac{1} {2}$$

C.$${{x}{+}{y}}$$的最大值为$${\sqrt {2}}$$

D.$${{x}{+}{y}}$$没有最小值

7、['正弦（型）函数的单调性'， '函数图象的平移变换'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦（型）函数的周期性'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的图象变换'， '三角函数的性质综合']

正确率40.0%对函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x+\operatorname{c o s}^{2} x-\frac1 2$$的表述错误的是$${{(}{)}}$$

A.最小正周期为$${{π}}$$

B.将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$图像的周期扩大到原来的$${{2}}$$倍，再将所得图像往右平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位，得到函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$的图像;

C.$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$(-\frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {6} )$$上递增

D.点$$\left( \frac{\pi} {6}， 0 \right)$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个对称中心

8、['辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%函数$$y=\frac{1} {2} \operatorname{s i n} 2 x+\operatorname{s i n}^{2} x， \， \， \， x \in R$$的值域是（）

A.$$[-\frac{1} {2}， \frac{3} {2} ]$$

B.$$\left[-\frac{\sqrt{2}} {2}+\frac{1} {2}， \frac{\sqrt{2}} {2}+\frac{1} {2} \right]$$

C.$$[-\frac{3} {2}， \frac{1} {2} ]$$

D.$$[-\frac{\sqrt{2}} {2}-\frac{1} {2}， \frac{\sqrt{2}} {2}-\frac{1} {2} ]$$

9、['正弦（型）函数的单调性'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%下列函数中，是周期函数且最小正周期为$${{π}}$$的是（）

A.$${{Y}{=}{{s}{i}{n}}{x}{+}{{c}{o}{s}}{x}}$$

B.$${{y}{=}{{s}{i}{n}^{2}}{x}{−}{\sqrt {3}}{{c}{o}{s}^{2}}{x}}$$

C.$${{Y}{=}{{c}{o}{s}}{|}{x}{|}}$$

D.$$y=3 \operatorname{s i n} \frac x 2 \operatorname{c o s} \frac x 2$$

10、['用余弦定理、正弦定理解三角形'， '判断三角形的形状'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%下列说法中，错误的是（）

A.在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$${{A}{>}{B}{，}}$$则$${{s}{i}{n}{A}{>}{s}{i}{n}{B}}$$

B.在锐角三角形$${{A}{B}{C}}$$中，不等式$${{s}{i}{n}{A}{>}{c}{o}{s}{B}}$$恒成立

C.在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$${{a}{c}{o}{s}{A}{=}{b}{c}{o}{s}{B}{，}}$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$必是等腰直角三角形

D.在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$${{B}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}{{b}^{2}}{=}{a}{c}{，}}$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$必是等边三角形

1. 解析：

由题意，点$$M(-1, y)$$在角$$θ$$的终边上，因此$$\tan θ = \frac{y}{-1} = -y$$。根据题目条件，$$\tan\left(2θ + \frac{\pi}{4}\right) = 7$$。利用正切加法公式： $$ \tan\left(2θ + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan 2θ + 1}{1 - \tan 2θ \cdot 1} = 7 $$ 解得$$\tan 2θ = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$。再利用二倍角公式： $$ \tan 2θ = \frac{2\tan θ}{1 - \tan^2 θ} = \frac{3}{4} $$ 代入$$\tan θ = -y$$，得到： $$ \frac{-2y}{1 - y^2} = \frac{3}{4} $$ 整理得$$3y^2 - 8y - 3 = 0$$，解得$$y = 3$$或$$y = -\frac{1}{3}$$。由于$$M(-1, y)$$在第二象限，$$y > 0$$，故$$y = 3$$。答案为$$B$$。

2. 解析：

计算各选项的值： - A：$$2\sin 75^\circ \cos 75^\circ = \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$$； - B：$$\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$； - C：$$2\sin^2 75^\circ - 1 = -\cos 150^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$； - D：$$\sin^2 75^\circ + \cos^2 75^\circ = 1$$。只有选项$$C$$的值为$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$，答案为$$C$$。

3. 解析：

利用三角恒等式和余弦二倍角公式： $$ \sin^2 37^\circ + \sin^2 53^\circ = \sin^2 37^\circ + \cos^2 37^\circ = 1 $$ $$ 2\cos^2 22.5^\circ = 1 + \cos 45^\circ = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $$ 因此原式： $$ 1 - \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ 答案为$$C$$。

4. 解析：

利用余弦二倍角公式： $$ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8} $$ 答案为$$D$$。

5. 解析：

计算各表达式： - ①：$$\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sin 30^\circ = \frac{1}{4} \neq \frac{1}{2}$$； - ②：$$\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq \frac{1}{2}$$； - ③：$$\frac{\tan 22.5^\circ}{1 - \tan^2 22.5^\circ} = \frac{1}{2}\tan 45^\circ = \frac{1}{2}$$。只有③的值为$$\frac{1}{2}$$，答案为$$C$$。

6. 解析：

由$$x^2 + y^2 = 1$$，利用不等式： - $$xy$$的最大值为$$\frac{1}{2}$$（当$$x = y = \frac{\sqrt{2}}{2}$$时取得），最小值为$$-\frac{1}{2}$$； - $$x + y$$的最大值为$$\sqrt{2}$$，最小值为$$-\sqrt{2}$$。选项$$D$$错误，答案为$$D$$。

7. 解析：

化简函数： $$ f(x) = \sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x + \frac{1 + \cos 2x}{2} - \frac{1}{2} = \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) $$ - A：最小正周期为$$\pi$$，正确； - B：将周期扩大为$$2\pi$$得$$\sin(x + \frac{\pi}{6})$$，再右移$$\frac{\pi}{6}$$得$$\sin x$$，正确； - C：$$f(x)$$在$$(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6})$$上递增，正确； - D：$$\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$$不是对称中心，错误。答案为$$D$$。

8. 解析：

化简函数： $$ y = \frac{1}{2}\sin 2x + \sin^2 x = \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1}{2}(\sin 2x - \cos 2x) + \frac{1}{2} $$ 利用幅值公式： $$ \sin 2x - \cos 2x = \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $$ 因此$$y \in \left[-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\right]$$，答案为$$B$$。

9. 解析：

分析各选项： - A：$$y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$，周期为$$2\pi$$； - B：$$y = \sin^2 x - \sqrt{3}\cos^2 x = \sin^2 x - \sqrt{3}(1 - \sin^2 x) = (1 + \sqrt{3})\sin^2 x - \sqrt{3}$$，周期为$$\pi$$； - C：$$y = \cos |x|$$，非周期函数； - D：$$y = 3\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{3}{2}\sin x$$，周期为$$2\pi$$。只有$$B$$的周期为$$\pi$$，答案为$$B$$。

10. 解析：

分析各选项： - A：在$$\triangle ABC$$中，若$$A > B$$，则$$\sin A > \sin B$$（正弦函数在$$(0, \pi)$$上单调递增），正确； - B：在锐角三角形中，$$\sin A > \cos B$$恒成立，因为$$A + B > \frac{\pi}{2}$$，即$$A > \frac{\pi}{2} - B$$，且$$\sin$$在$$(0, \frac{\pi}{2})$$上递增，正确； - C：若$$a\cos A = b\cos B$$，利用正弦定理得$$\sin 2A = \sin 2B$$，解得$$A = B$$或$$A + B = \frac{\pi}{2}$$，不一定是等腰直角三角形，错误； - D：若$$B = 60^\circ$$且$$b^2 = a c$$，由余弦定理得$$a = c$$且$$A = C = 60^\circ$$，是等边三角形，正确。答案为$$C$$。

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