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正确率60.0%已知$$\alpha\in\left( \frac{\pi} {2}， \ \pi\right)， \ \mathrm{s i n} \alpha=\frac{3} {5}，$$则$$\operatorname{c o s} \left( \pi-\frac\alpha2 \right)=$$（）
A
A.$$- \frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
C.$$- \frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
2、['半角公式']正确率60.0%设$$\pi< \theta< 2 \pi， \ \mathrm{c o s} \theta=-\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{s i n} \frac{\theta} {2}=$$（）
A
A.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
B.$$- \frac{\sqrt6} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\pm\frac{\sqrt6} {3}$$
3、['半角公式']正确率60.0%已知$$\mathrm{c o s} \alpha=-\frac{3} {5}， \， \， \， \frac{\pi} {2} < \， \alpha< \， \pi，$$则$$\operatorname{s i n} \frac{\alpha} {2}$$等于（）
D
A.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$- \frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
4、['同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '半角公式']正确率40.0%若$${{α}{∈}{(}{0}{，}{π}{)}{，}}$$且$${\sqrt {3}{{s}{i}{n}}{α}{+}{2}{{c}{o}{s}}{α}{=}{2}{，}}$$则$$\operatorname{t a n} \frac{\alpha} {2}=$$（）
C
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
5、['半角公式']正确率60.0%若$$\mathrm{c o s} \alpha=\frac{1} {3}$$，且$${{α}{∈}{{(}{0}{，}{π}{)}}{，}}$$则$$\operatorname{c o s} {\frac{\alpha} {2}}$$的值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
B.$$- \frac{\sqrt6} {3}$$
C.$$\pm\frac{\sqrt6} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
6、['已知某个三角函数值，求其余三角函数值'， '半角公式']正确率60.0%设$${{α}}$$是第二象限角$$， ~ \mathrm{t a n} \alpha=-\frac{4} {3}，$$且$$\operatorname{s i n} \frac\alpha2 < \operatorname{c o s} \frac\alpha2，$$则$$\operatorname{c o s} \frac{\alpha} {2}=$$（）
A
A.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$- \frac{3} {5}$$
7、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '半角公式']正确率60.0%函数$${{y}{=}{(}{{s}{i}{n}^{2}}{x}{−}{{c}{o}{s}^{2}}{x}{{)}^{2}}}$$的最小正周期是
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {2}} \\ \end{array}$$
B.$${{π}}$$
C.$$\frac{3 \pi} {2}$$
D.$${{2}{π}}$$
8、['半角公式']正确率60.0%若$${{π}{<}{α}{<}{2}{π}{，}}$$则$$\operatorname{s i n} \frac{\alpha} {2}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} ).$$
A
A.$$\sqrt{\frac{1-\operatorname{c o s} \alpha} {2}}$$
B.$$- \sqrt{\frac{1-\operatorname{c o s} \alpha} {2}}$$
C.$$\sqrt{\frac{1+\operatorname{c o s} \alpha} {2}}$$
D.$$- \sqrt{\frac{1+\operatorname{c o s} \alpha} {2}}$$
9、['半角公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} \alpha=\frac{1} {3}， \， \， \， \alpha\in( \pi， 2 \pi)，$$则$$\operatorname{c o s} \frac\alpha2$$等于$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
B.$$- \frac{\sqrt6} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
10、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '半角公式']正确率40.0%已知$$\frac{1+\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta} {1+\operatorname{s i n} \theta-\operatorname{c o s} \theta}=\frac{1} {2}$$，则$${{t}{a}{n}{θ}{=}}$$（）
D
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$$- \frac{4} {3}$$
1. 已知 $$\alpha\in\left( \frac{\pi} {2}, \ \pi\right), \ \sin \alpha=\frac{3} {5}$$，则 $$\cos \left( \pi-\frac{\alpha}{2} \right)=$$（ ）。
解析：
1. 由 $$\sin \alpha = \frac{3}{5}$$ 且 $$\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，得 $$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\frac{4}{5}$$。
2. 利用半角公式，$$\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$（因为 $$\frac{\alpha}{2} \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right)$$，取负值）。
3. 计算 $$\cos \left( \pi - \frac{\alpha}{2} \right) = -\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$。
答案：B。
2. 设 $$\pi< \theta< 2 \pi, \ \cos \theta=-\frac{1} {3}$$，则 $$\sin \frac{\theta} {2}=$$（ ）。
解析：
1. 由 $$\cos \theta = -\frac{1}{3}$$ 且 $$\theta \in (\pi, 2\pi)$$，得 $$\frac{\theta}{2} \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，故 $$\sin \frac{\theta}{2} > 0$$。
2. 利用半角公式，$$\sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。
答案：A。
3. 已知 $$\cos \alpha=-\frac{3} {5}, \, \, \, \frac{\pi} {2} < \, \alpha< \, \pi$$，则 $$\sin \frac{\alpha} {2}$$ 等于（ ）。
解析：
1. 由 $$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$$ 且 $$\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，得 $$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{4}{5}$$。
2. 利用半角公式，$$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$（因为 $$\frac{\alpha}{2} \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right)$$，取正值）。
答案：D。
4. 若 $$\alpha \in (0, \pi)$$，且 $$\sqrt{3} \sin \alpha + 2 \cos \alpha = 2$$，则 $$\tan \frac{\alpha} {2}=$$（ ）。
解析：
1. 设 $$t = \tan \frac{\alpha}{2}$$，利用万能公式，$$\sin \alpha = \frac{2t}{1 + t^2}$$，$$\cos \alpha = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$$。
2. 代入方程得 $$\sqrt{3} \cdot \frac{2t}{1 + t^2} + 2 \cdot \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = 2$$，化简得 $$2\sqrt{3}t + 2 - 2t^2 = 2 + 2t^2$$，即 $$4t^2 - 2\sqrt{3}t = 0$$。
3. 解得 $$t = 0$$ 或 $$t = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。由于 $$\alpha \in (0, \pi)$$，$$t = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 为有效解。
答案：C。
5. 若 $$\cos \alpha=\frac{1} {3}$$，且 $$\alpha \in (0, \pi)$$，则 $$\cos \frac{\alpha} {2}$$ 的值为（ ）。
解析：
1. 由 $$\cos \alpha = \frac{1}{3}$$ 且 $$\alpha \in (0, \pi)$$，得 $$\frac{\alpha}{2} \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$$，故 $$\cos \frac{\alpha}{2} > 0$$。
2. 利用半角公式，$$\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。
答案：A。
6. 设 $$\alpha$$ 是第二象限角，$$\tan \alpha=-\frac{4} {3}$$，且 $$\sin \frac{\alpha}{2} < \cos \frac{\alpha}{2}$$，则 $$\cos \frac{\alpha} {2}=$$（ ）。
解析：
1. 由 $$\tan \alpha = -\frac{4}{3}$$ 且 $$\alpha$$ 在第二象限，得 $$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$，$$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$$。
2. 利用半角公式，$$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$$。
3. 由 $$\sin \frac{\alpha}{2} < \cos \frac{\alpha}{2}$$ 且 $$\frac{\alpha}{2}$$ 在第一象限，故 $$\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。
答案：B。
7. 函数 $$y = (\sin^2 x - \cos^2 x)^2$$ 的最小正周期是（ ）。
解析：
1. 化简函数：$$y = (\sin^2 x - \cos^2 x)^2 = \cos^2 (2x)$$。
2. $$\cos^2 (2x)$$ 的周期为 $$\frac{\pi}{2}$$。
答案：A。
8. 若 $$\pi < \alpha < 2\pi$$，则 $$\sin \frac{\alpha} {2}=$$（ ）。
解析：
1. 由 $$\alpha \in (\pi, 2\pi)$$，得 $$\frac{\alpha}{2} \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，故 $$\sin \frac{\alpha}{2} > 0$$。
2. 利用半角公式，$$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$$。
答案：A。
9. 已知 $$\cos \alpha=\frac{1} {3}, \, \, \, \alpha\in( \pi, 2 \pi)$$，则 $$\cos \frac{\alpha}{2}$$ 等于（ ）。
解析：
1. 由 $$\alpha \in (\pi, 2\pi)$$，得 $$\frac{\alpha}{2} \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，故 $$\cos \frac{\alpha}{2} < 0$$。
2. 利用半角公式，$$\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + \frac{1}{3}}{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$$。
答案：B。
10. 已知 $$\frac{1+\sin \theta+\cos \theta} {1+\sin \theta-\cos \theta}=\frac{1} {2}$$，则 $$\tan \theta=$$（ ）。
解析：
1. 设 $$t = \tan \frac{\theta}{2}$$，利用万能公式，$$\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2}$$，$$\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$$。
2. 代入方程化简得 $$\frac{1 + \frac{2t}{1 + t^2} + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}}{1 + \frac{2t}{1 + t^2} - \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} = \frac{1}{2}$$，解得 $$t = -\frac{1}{2}$$。
3. 由 $$\tan \theta = \frac{2t}{1 - t^2} = -\frac{4}{3}$$。
答案：D。