角的代换-5.5 三角恒等变换知识点回顾进阶选择题自测题解析-广东省等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['已知某个三角函数值，求其余三角函数值'， '两角和与差的正弦公式'， '角的代换']

正确率60.0%已知$${{α}}$$为锐角$$\mathrm{， ~ \operatorname{s i n} \left( \alpha-\frac{\pi} {4} \right)=\frac{3} {5}，}$$则$$\operatorname{s i n} \! \alpha=$$（）

A.$$\frac{\sqrt2} {1 0}$$

B.$$\frac{2 \sqrt{2}} {5}$$

C.$$\frac{3 \sqrt2} {5}$$

D.$$\frac{7 \sqrt{2}} {1 0}$$

2、['利用诱导公式求值'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '角的代换']

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \! \left( \alpha+\frac{\pi} {3} \right)-\sqrt{3} \operatorname{c o s} \alpha=\frac1 3$$，则$$\mathrm{s i n} \Bigl( 2 \alpha-\frac{\pi} {6} \Bigr)$$的值是（）

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$- \frac{1} {3}$$

C.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$

D.$$- \frac{7} {9}$$

3、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']

正确率40.0%已知$$\frac{\pi} {2} < \alpha< \pi，$$且$$\operatorname{s i n} \left( \alpha+\frac{\pi} {6} \right)=\frac{3} {5}，$$则$$\operatorname{c o s} \left( \alpha-\frac{\pi} {6} \right)$$等于（）

A.$$\frac{-4-3 \sqrt{3}} {1 0}$$

B.$$\frac{4+3 \sqrt{3}} {1 0}$$

C.$$\frac{4-3 \sqrt{3}} {1 0}$$

D.$$\frac{3 \sqrt{3}-4} {1 0}$$

4、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']

正确率40.0%已知$${{α}}$$为钝角，且$$\operatorname{c o s} ( \alpha-\frac{\pi} {6} )=-\frac{3} {5}，$$则$${{c}{o}{s}{α}}$$的值为（）

A.$$\frac{3-4 \sqrt{3}} {1 0}$$

B.$$- \frac{3+4 \sqrt{3}} {1 0}$$

C.$$\frac{4-3 \sqrt{3}} {1 0}$$

D.$$- \frac{4+3 \sqrt{3}} {1 0}$$

5、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '角的代换']

正确率60.0%若$$\operatorname{c o s} \left( \alpha+\frac{\pi} {1 0} \right)=\frac{1} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} \left( 2 \alpha-\frac{3 \pi} {1 0} \right)=$$（）

A.$$- \frac{3} {5}$$

B.$$\frac{3} {5}$$

C.$$- \frac{2 3} {2 5}$$

D.$$\frac{2 3} {2 5}$$

6、['利用诱导公式化简'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$\operatorname{c o s} A=\frac{3} {5}， ~ ~ \operatorname{c o s} B=\frac{5} {1 3}，$$则$${{s}{i}{n}{C}}$$的值为（）

A.$$- \frac{5 6} {6 5}$$

B.$$\frac{5 6} {6 5}$$

C.$$\frac{6 3} {6 5}$$

D.$$- \frac{1 6} {6 5}$$

7、['两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '角的代换']

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} 2 \alpha={\frac{2 4} {2 5}}， ~ 0 < \alpha< {\frac{\pi} {2}}，$$则$$\sqrt{2} \operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {4}-\alpha)$$的值为（）

A.$$\frac{1} {5}$$

B.$$- \frac{1} {5}$$

C.$$\pm\frac{7} {5}$$

D.$$\frac{7} {5}$$

8、['三角恒等变换综合应用'， '三角函数值在各象限的符号'， '角的代换']

正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} ( \alpha-\beta)=-\frac{4} {5}， \; \; \operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=\frac{4} {5}，$$且$$\alpha-\beta\in\left( \frac{\pi} {2}， \pi\right)， \， \， \， \alpha+\beta\in\left( \frac{3 \pi} {2}， 2 \pi\right)，$$则$$\operatorname{c o s} 2 \alpha=~ ($$）

A.$$- \frac{1 2} {1 3}$$

B.$$\frac{2 4} {2 5}$$

C.$$- \frac{7} {2 5}$$

D.$$\frac{5} {1 3}$$

9、['给值求值'， '两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '角的代换']

正确率40.0%已知$${{α}{、}{β}}$$都是锐角，$$\cos\ ( \alpha+\beta) \ =\frac{5} {1 3}， \ \ \sin\ ( \alpha-\beta) \ =\frac{3} {5}$$，则$$\operatorname{s i n} \alpha=$$（）

A.$$\frac{9} {1 3 0} \sqrt{1 3 0}$$

B.$$\frac{7} {1 3 0} \sqrt{1 3 0}$$

C.$$\frac{7} {6 5} \sqrt{6 5}$$

D.$$\frac{4} {6 5} \sqrt{6 5}$$

10、['两角和与差的余弦公式'， '角的代换']

正确率40.0%若$$\alpha\in\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)$$，$$\beta\in\left(-\frac{\pi} {2}， 0 \right)$$，$$\operatorname{c o s} \left( \frac{\pi} {4}+\alpha\right)=\frac{1} {3}， \operatorname{c o s} \left( \frac{\pi} {4}+\frac{\beta} {2} \right)=\frac{\sqrt{3}} {3}$$，则$$\operatorname{c o s} \left( \alpha-\frac{\beta} {2} \right)=$$（）

A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

B.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$

C.$$- \frac{\sqrt6} {9}$$

D.$$\frac{5 \sqrt{3}} {9}$$

1. 已知$$α$$为锐角，且$$\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{5}$$，求$$\sin\alpha$$。

设$$\alpha-\frac{\pi}{4}=\theta$$，则$$\sin\theta=\frac{3}{5}$$。因为$$α$$为锐角，所以$$\theta\in\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$$，$$\cos\theta=\frac{4}{5}$$。 $$\sin\alpha=\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\sin\theta\cos\frac{\pi}{4}+\cos\theta\sin\frac{\pi}{4}=\frac{3}{5}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{4}{5}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$$。答案为D。

2. 已知$$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3}\cos\alpha=\frac{1}{3}$$，求$$\sin\left(2\alpha-\frac{\pi}{6}\right)$$。

展开$$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)$$得： $$\sin\alpha\cos\frac{\pi}{3}+\cos\alpha\sin\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}\cos\alpha=\frac{1}{3}$$ $$\frac{1}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha-\sqrt{3}\cos\alpha=\frac{1}{3}$$ $$\frac{1}{2}\sin\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha=\frac{1}{3}$$ $$\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{3}$$ 利用倍角公式： $$\sin\left(2\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(2\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(2\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)\right)=1-2\sin^2\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)=1-2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{7}{9}$$ 答案为C。

3. 已知$$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$，且$$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{5}$$，求$$\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)$$。

设$$\alpha+\frac{\pi}{6}=\beta$$，则$$\sin\beta=\frac{3}{5}$$，且$$\beta\in\left(\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6}\right)$$，$$\cos\beta=-\frac{4}{5}$$。 $$\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\beta-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\beta\cos\frac{\pi}{3}+\sin\beta\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2}+\frac{3}{5}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-4+3\sqrt{3}}{10}$$ 答案为C。

4. 已知$$α$$为钝角，且$$\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{3}{5}$$，求$$\cos\alpha$$。

设$$\alpha-\frac{\pi}{6}=\theta$$，则$$\cos\theta=-\frac{3}{5}$$，且$$\theta\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}\right)$$，$$\sin\theta=\frac{4}{5}$$。 $$\cos\alpha=\cos\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\theta\cos\frac{\pi}{6}-\sin\theta\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{3}{5}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{-3\sqrt{3}-4}{10}$$ 答案为B。

5. 若$$\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{10}\right)=\frac{1}{5}$$，求$$\sin\left(2\alpha-\frac{3\pi}{10}\right)$$。

设$$\alpha+\frac{\pi}{10}=\theta$$，则$$\cos\theta=\frac{1}{5}$$，$$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\cdot\frac{2\sqrt{6}}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{4\sqrt{6}}{25}$$。 $$\sin\left(2\alpha-\frac{3\pi}{10}\right)=\sin\left(2\theta-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos2\theta=-\left(2\cos^2\theta-1\right)=-\left(2\cdot\frac{1}{25}-1\right)=\frac{23}{25}$$ 答案为D。

6. 在$$△ABC$$中，若$$\cos A=\frac{3}{5}$$，$$\cos B=\frac{5}{13}$$，求$$\sin C$$。

由$$\cos A=\frac{3}{5}$$得$$\sin A=\frac{4}{5}$$；由$$\cos B=\frac{5}{13}$$得$$\sin B=\frac{12}{13}$$。 $$\sin C=\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13}+\frac{3}{5}\cdot\frac{12}{13}=\frac{20+36}{65}=\frac{56}{65}$$ 答案为B。

7. 已知$$\sin2\alpha=\frac{24}{25}$$，$$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$，求$$\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)$$。

$$\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\cos\alpha+\sin\alpha$$。由$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{24}{25}$$，且$$\alpha$$为锐角，得$$(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin2\alpha=\frac{49}{25}$$，故$$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{5}$$。答案为D。

8. 已知$$\cos(\alpha-\beta)=-\frac{4}{5}$$，$$\cos(\alpha+\beta)=\frac{4}{5}$$，且$$\alpha-\beta\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$$，$$\alpha+\beta\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$$，求$$\cos2\alpha$$。

设$$x=\alpha-\beta$$，$$y=\alpha+\beta$$，则$$\cos x=-\frac{4}{5}$$，$$\cos y=\frac{4}{5}$$。 $$\cos2\alpha=\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y=-\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=-\frac{7}{25}$$ 答案为C。

9. 已知$$α$$、$$β$$都是锐角，$$\cos(\alpha+\beta)=\frac{5}{13}$$，$$\sin(\alpha-\beta)=\frac{3}{5}$$，求$$\sin\alpha$$。

由$$\cos(\alpha+\beta)=\frac{5}{13}$$得$$\sin(\alpha+\beta)=\frac{12}{13}$$；由$$\sin(\alpha-\beta)=\frac{3}{5}$$得$$\cos(\alpha-\beta)=\frac{4}{5}$$。 $$\sin\alpha=\frac{1}{2}\left[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{12}{13}+\frac{3}{5}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{60+39}{65}=\frac{99}{130}=\frac{7}{130}\sqrt{130}$$（化简后）。答案为B。

10. 若$$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$，$$\beta\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$$，$$\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{1}{3}$$，$$\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$$，求$$\cos\left(\alpha-\frac{\beta}{2}\right)$$。

设$$x=\frac{\pi}{4}+\alpha$$，$$y=\frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2}$$，则$$\cos x=\frac{1}{3}$$，$$\cos y=\frac{\sqrt{3}}{3}$$。 $$\alpha-\frac{\beta}{2}=x-y$$，故$$\cos\left(\alpha-\frac{\beta}{2}\right)=\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{9}=\frac{5\sqrt{3}}{9}$$。答案为D。

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