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正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {6}-x )=\frac{1} {4}，$$则$$\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {6} )=$$（）
D
A.$$- \frac{7} {8}$$
B.$$- \frac{1} {8}$$
C.$$\frac{1} {8}$$
D.$$\frac{7} {8}$$
2、['给值求值'， '同角三角函数的平方关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%已知$${{θ}}$$为第二象限角，且$$\operatorname{c o s} \frac\theta2=-\frac1 2$$，那么$$\frac{\sqrt{1-\operatorname{s i n} \theta}} {\operatorname{c o s} \frac{\theta} {2}-\operatorname{s i n} \frac{\theta} {2}}$$的值是（）
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
3、['给值求值'， '两角和与差的余弦公式'， '角的代换']正确率40.0%已知钝角$${{α}{，}{β}}$$满足$$\mathrm{c o s} \alpha=-\frac{3} {5}， ~ \operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=-\frac{5} {1 3}，$$则$${{c}{o}{s}{β}}$$等于（）
B
A.$$\frac{3 3} {6 5}$$
B.$$- \frac{3 3} {6 5}$$
C.$$\frac{5 4} {7 5}$$
D.$$- \frac{5 4} {7 5}$$
4、['给值求值'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\frac{\mathrm{s i n} \alpha} {1+\mathrm{c o s} \alpha}=-\frac{2} {3}，$$则$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha} {1-\operatorname{c o s} \alpha}=$$（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac2 3$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$- \frac{3} {2}$$
5、['给值求值'， '同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%已知$$\mathrm{t a n} \alpha=-\frac{1} {2}$$，则$$2 \mathrm{s i n}^{2} \alpha+\frac{1} {2} \mathrm{s i n} \， 2 \alpha$$的值为
D
A.$$\frac{2} {5}$$
B.$$- \frac{1} {5}$$
C.$$- \frac{2} {5}$$
D.$${{0}}$$
6、['给值求值'， '两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数基本关系的综合应用']正确率40.0%设$${{α}{、}{β}}$$都是锐角，且$$\operatorname{c o s} \alpha=\frac{\sqrt{5}} {5}， ~ ~ \operatorname{s i n} ( \alpha+\beta)=\frac{3} {5}，$$则$${{c}{o}{s}{β}}$$等于（）
B
A.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{5}} {2 5}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$或$$\frac{2 \sqrt{5}} {2 5}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$或$$\frac{\sqrt{5}} {2 5}$$
7、['给值求值'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha=\frac{2 \sqrt{5}} {5} ( 0 < \alpha< \frac{\pi} {2} )，$$则$$\operatorname{t a n} ( \alpha-\frac{\pi} {4} )=\c{(}$$）
C
A.$$- \frac{1} {3}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$${{3}}$$
8、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '给值求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} \ ( \frac{\pi} {3}-\alpha) \ =\frac{3} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} ~ ( \alpha+\frac{\pi} {6} ) ~=~ ($$）
D
A.$$\pm\frac{4} {5}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$- \frac{4} {5}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
9、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '函数图象的平移变换'， '给值求值']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x+\theta) (-\frac{\pi} {2} < \theta< \frac{\pi} {2} )$$的图象过点$$P ( 0， \frac{1} {2} )$$，现将$$y=f ( x )$$的图象向左平移$$t ( t > 0 )$$个单位长度得到的函数图象也过点$${{P}}$$，那么$${{(}{)}}$$
C
A.$$\theta=\frac{\pi} {3}， \， \， t$$的最小值为$$\frac{\pi} {3}$$
B.$$\theta=\frac{\pi} {3}， \， \， t$$的最小值为$${{π}}$$
C.$$\theta=\frac{\pi} {6}， ~ t$$的最小值为$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\theta=\frac{\pi} {6}， ~ t$$的最小值为$${{π}}$$
10、['三角函数值在各象限的符号'， '给值求值'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']正确率60.0%已知$$0 < \alpha< \beta< \frac{\pi} {2}$$，且$$\operatorname{c o s} ( \alpha-\beta)=\frac{6 3} {6 5}， ~ ~ \operatorname{s i n} \beta=\frac{1 2} {1 3}$$，则$$\operatorname{s i n} \alpha=$$（）
D
A.$$- \frac{3} {5}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$- \frac{4} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
1. 已知 $$\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\frac{1}{4}$$，求 $$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$$。
解析：设 $$\theta = \frac{\pi}{6}-x$$，则 $$x = \frac{\pi}{6}-\theta$$。代入目标式：
$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2\left(\frac{\pi}{6}-\theta\right)+\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}-2\theta+\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-2\theta\right) = \cos(2\theta)$$
利用倍角公式 $$\cos(2\theta) = 1-2\sin^2\theta = 1-2\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{7}{8}$$。
但 $$\frac{\pi}{6}-x$$ 的范围未定，需考虑符号。由于 $$\sin\theta = \frac{1}{4}$$，$$\cos(2\theta)$$ 为正，故答案为 $$\frac{7}{8}$$。选项 D 正确。
2. 已知 $$\theta$$ 为第二象限角，且 $$\cos\frac{\theta}{2}=-\frac{1}{2}$$，求 $$\frac{\sqrt{1-\sin\theta}}{\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}}$$。
解析：由 $$\cos\frac{\theta}{2}=-\frac{1}{2}$$，得 $$\frac{\theta}{2}$$ 在第二或第三象限。由于 $$\theta$$ 在第二象限，$$\frac{\theta}{2}$$ 在第一或第三象限，故 $$\frac{\theta}{2}$$ 在第三象限，$$\sin\frac{\theta}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
计算分子：$$\sqrt{1-\sin\theta} = \sqrt{\left(\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}\right)^2} = \left|\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}\right| = \left|-\frac{1}{2}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right| = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$$。
分母为 $$\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2} = -\frac{1}{2}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$$。
因此，分式的值为 1。选项 C 正确。
3. 已知钝角 $$\alpha, \beta$$ 满足 $$\cos\alpha=-\frac{3}{5}$$，$$\cos(\alpha+\beta)=-\frac{5}{13}$$，求 $$\cos\beta$$。
解析：由 $$\alpha$$ 为钝角，$$\sin\alpha = \frac{4}{5}$$。设 $$\alpha+\beta$$ 为钝角，$$\sin(\alpha+\beta)=\frac{12}{13}$$。
利用余弦差公式：
$$\cos\beta = \cos[(\alpha+\beta)-\alpha] = \cos(\alpha+\beta)\cos\alpha + \sin(\alpha+\beta)\sin\alpha = \left(-\frac{5}{13}\right)\left(-\frac{3}{5}\right) + \frac{12}{13}\cdot\frac{4}{5} = \frac{15}{65}+\frac{48}{65} = \frac{63}{65}$$。
但题目中 $$\beta$$ 为钝角，需验证 $$\cos\beta$$ 的符号。由于 $$\alpha+\beta$$ 为钝角且 $$\alpha$$ 为钝角，$$\beta$$ 可能为锐角或钝角。但题目未明确限制，故直接计算结果为 $$\frac{63}{65}$$。选项 A 正确。
4. 已知 $$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=-\frac{2}{3}$$，求 $$\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}$$。
解析：利用恒等式 $$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{1-\cos^2\alpha} = 1$$。
因此，$$\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} = \frac{1}{-\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2}$$。选项 D 正确。
5. 已知 $$\tan\alpha=-\frac{1}{2}$$，求 $$2\sin^2\alpha+\frac{1}{2}\sin2\alpha$$。
解析：设 $$\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$$，$$\cos\alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}$$（$$\alpha$$ 在第二象限）。
计算：$$2\sin^2\alpha = 2\cdot\frac{1}{5} = \frac{2}{5}$$，$$\frac{1}{2}\sin2\alpha = \frac{1}{2}\cdot2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = -\frac{2}{5}$$。
总和为 $$\frac{2}{5}-\frac{2}{5} = 0$$。选项 D 正确。
6. 设 $$\alpha, \beta$$ 为锐角，且 $$\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\sin(\alpha+\beta)=\frac{3}{5}$$，求 $$\cos\beta$$。
解析：由 $$\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$$，得 $$\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$。
若 $$\alpha+\beta$$ 在第一象限，$$\cos(\alpha+\beta)=\frac{4}{5}$$。利用余弦差公式：
$$\cos\beta = \cos[(\alpha+\beta)-\alpha] = \frac{4}{5}\cdot\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3}{5}\cdot\frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5}}{25}+\frac{6\sqrt{5}}{25} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。
若 $$\alpha+\beta$$ 在第二象限，$$\cos(\alpha+\beta)=-\frac{4}{5}$$，结果为 $$-\frac{4}{5}\cdot\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{3}{5}\cdot\frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{25}$$。
因此，选项 B 正确。
7. 已知 $$\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$（$$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$），求 $$\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$$。
解析：由 $$\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$，得 $$\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\tan\alpha=2$$。
利用差角公式：
$$\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan\alpha-1}{1+\tan\alpha} = \frac{2-1}{1+2} = \frac{1}{3}$$。选项 C 正确。
8. 已知 $$\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=\frac{3}{5}$$，求 $$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)$$。
解析：注意到 $$\alpha+\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)$$。
因此，$$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right) = \frac{3}{5}$$。选项 D 正确。
9. 已知函数 $$f(x)=\sin(2x+\theta)$$ 过点 $$P(0,\frac{1}{2})$$，求 $$\theta$$ 和最小平移 $$t$$。
解析：由 $$f(0)=\sin\theta=\frac{1}{2}$$，得 $$\theta=\frac{\pi}{6}$$ 或 $$\frac{5\pi}{6}$$（舍去，因 $$-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$$）。
平移后函数为 $$f(x+t)=\sin(2(x+t)+\frac{\pi}{6})$$，代入 $$P(0,\frac{1}{2})$$：
$$\sin(2t+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$$，最小 $$t$$ 满足 $$2t+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$$，即 $$t=\frac{\pi}{3}$$。选项 C 正确。
10. 已知 $$0<\alpha<\beta<\frac{\pi}{2}$$，且 $$\cos(\alpha-\beta)=\frac{63}{65}$$，$$\sin\beta=\frac{12}{13}$$，求 $$\sin\alpha$$。
解析：由 $$\sin\beta=\frac{12}{13}$$，得 $$\cos\beta=\frac{5}{13}$$。
利用余弦差公式：
$$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = \frac{63}{65}$$。
设 $$\sin\alpha=x$$，则 $$\cos\alpha=\sqrt{1-x^2}$$，代入得：
$$\sqrt{1-x^2}\cdot\frac{5}{13} + x\cdot\frac{12}{13} = \frac{63}{65}$$。
解得 $$x=\frac{3}{5}$$（舍去负根）。选项 B 正确。