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正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} 2 x-\operatorname{c o s} 2 x ( x \in[ 0， \frac{\pi} {2} ] )$$的值域为$${{(}{)}}$$
A.$$[-2， 2 ]$$
B.$$[-\sqrt{2}， \sqrt{2} ]$$
C.$$[-1， 1 ]$$
D.$$[-1， \sqrt{2} ]$$
2、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式'， '三角恒等变换']正确率80.0%$$2 \sqrt{3} \operatorname{s i n} 7 5^{\circ} \operatorname{c o s} 7 5$$的值是$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
3、['正弦（型）函数的定义域和值域'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {3} )-\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {6}-2 x ) ( 0 \leqslant x \leqslant\frac{\pi} {2} )$$的值域为$${{(}{)}}$$
A.$$[ \frac{1-\sqrt{3}} {2}， \sqrt{2} ]$$
B.$$[ \frac{\sqrt3-1} {2}， \sqrt2 ]$$
C.$$[ \frac{1-\sqrt{3}} {2}， \frac{\sqrt{3}-1} {2} ]$$
D.$$[ \frac{1-\sqrt{3}} {2}， 2 ]$$
4、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式'， '三角恒等变换']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n}^{2} \omega x+\sqrt{3} \operatorname{s i n} 2 \omega x ( \omega> 0 )$$在$$( 0， \pi)$$上恰有两个零点，则$${{ω}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$( {\frac{2} {3}}， 1 ]$$
B.$$( 1， \frac{5} {3} ]$$
C.$$[ \frac{2} {3}， 1 )$$
D.$$[ 1， \frac{5} {3} )$$
5、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式'， '三角恒等变换']正确率80.0%著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“$$0. 6 1 8$$优选法”$${{(}}$$又称黄金分割法$${{)}}$$在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用$${{.}}$$经研究，黄金分割比$$t=\frac{\sqrt{5}-1} {2} \approx0. 6 1 8$$还可以表示成$${{2}{{s}{i}{n}}{{1}{8}}{°}}$$，则$$\frac{t+\sqrt{3} \operatorname{s i n} 1 2^{\circ}} {\operatorname{c o s} 1 2^{\circ}}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ {} \\ \end{array} )$$
A.$${{4}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
6、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式'， '三角恒等变换']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=8 \operatorname{c o s} ( x-\theta+\frac{\pi} {3} ) \operatorname{c o s} ( x-\theta-\frac{\pi} {3} )+2 ( 0 < \theta< \frac{\pi} {2} )$$的一条对称轴为$$x=\frac{\pi} {6}$$，且在区间$$[ 0， t ]$$上值域为$$[ 2， 4 ]$$，则实数$${{t}}$$的最大值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{5 \pi} {6}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\frac{5 \pi} {1 2}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$
7、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率40.0%svg异常
A.$${{1}}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{0}}$$
8、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%已知函数$$\l( x )=-x \operatorname{s i n} \alpha+a \operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha(-\pi< \alpha<-\frac{\pi} {2} )$$，$$x=\frac{\pi} {2}$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的零点，则当$$- \pi\leqslant x \leqslant\pi$$时，不等式$$f ( x )-\operatorname{c o s} x \leqslant0$$的解集为$${{(}{)}}$$
A.$${{[}{a}}$$
B.$$[ \frac{\pi} {2}， \pi]$$
C.$$[ \alpha， \frac{\pi} {2} ]$$
D.$$[-\pi， \frac{\pi} {2} ]$$
9、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率40.0%已知$$\alpha\in( \frac{\pi} {2}， \pi)$$，且$$\operatorname{s i n} ( \alpha+\frac{\pi} {3} )=\frac{1 2} {1 3}$$，则$$\operatorname{s i n} ( {\frac{\pi} {6}}-\alpha)+\operatorname{s i n} ( {\frac{2 \pi} {3}}-\alpha)=( \quad)$$
A.$$\frac{7} {1 3}$$
B.$$- \frac{1 7} {1 3}$$
C.$$- \frac{7} {1 3}$$
D.$$\frac{1 7} {1 3}$$
10、['余弦定理、正弦定理'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$的对边分别是$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，若$$\operatorname{s i n} ( A+B )-\operatorname{s i n} ( A-B )=\operatorname{s i n} 2 A$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状是$${{(}{)}}$$
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
1. 函数 $$f(x) = \sin 2x - \cos 2x$$ 可以化简为 $$f(x) = \sqrt{2} \sin(2x - \frac{\pi}{4})$$。在区间 $$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$$ 上，$$2x - \frac{\pi}{4}$$ 的范围是 $$[-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$$。因此，$$\sin(2x - \frac{\pi}{4})$$ 的最小值为 $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$，最大值为 $$1$$，所以 $$f(x)$$ 的值域为 $$[-1, \sqrt{2}]$$。答案为 D。
2. 表达式 $$2\sqrt{3} \sin 75^\circ \cos 75^\circ$$ 可以化简为 $$\sqrt{3} \sin 150^\circ$$。因为 $$\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$$，所以最终结果为 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$。答案为 A。
3. 函数 $$f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{6} - 2x)$$ 可以化简为 $$f(x) = 2 \sin(2x + \frac{\pi}{4}) \cos(\frac{\pi}{12})$$。在区间 $$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$$ 上，$$2x + \frac{\pi}{4}$$ 的范围是 $$[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$$，因此 $$\sin(2x + \frac{\pi}{4})$$ 的最小值为 $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$，最大值为 $$1$$。最终值域为 $$[\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \sqrt{2}]$$。答案为 A。
4. 函数 $$f(x) = 2 \sin^2 \omega x + \sqrt{3} \sin 2\omega x$$ 可以化简为 $$f(x) = 1 - \cos 2\omega x + \sqrt{3} \sin 2\omega x$$。设 $$2\omega x = t$$，则方程 $$1 - \cos t + \sqrt{3} \sin t = 0$$ 在 $$t \in (0, 2\omega \pi)$$ 上需有两个解。化简后得到 $$\sin(t - \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$$，解得 $$t = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}, \dots$$。因此，$$2\omega \pi$$ 的范围需满足 $$\frac{11\pi}{6} < 2\omega \pi \leq \frac{19\pi}{6}$$，即 $$\omega \in (\frac{11}{12}, \frac{19}{12}]$$。结合选项，答案为 B。
5. 表达式 $$\frac{t + \sqrt{3} \sin 12^\circ}{\cos 12^\circ}$$ 可以化简为 $$\frac{2 \sin 18^\circ + \sqrt{3} \sin 12^\circ}{\cos 12^\circ}$$。利用三角恒等式和化简技巧，最终结果为 $$2$$。答案为 B。
6. 函数 $$f(x) = 8 \cos(x - \theta + \frac{\pi}{3}) \cos(x - \theta - \frac{\pi}{3}) + 2$$ 可以化简为 $$f(x) = 4 \cos(2x - 2\theta) + 2$$。对称轴为 $$x = \frac{\pi}{6}$$，因此 $$\theta = \frac{\pi}{6}$$。函数在区间 $$[0, t]$$ 上值域为 $$[2, 4]$$，解得 $$t$$ 的最大值为 $$\frac{5\pi}{12}$$。答案为 C。
7. 题目描述不完整，无法解析。
8. 函数 $$f(x) = -x \sin \alpha + a \sin \alpha + \cos \alpha$$ 在 $$x = \frac{\pi}{2}$$ 处为零，解得 $$a = \frac{\pi}{2} - \cot \alpha$$。不等式 $$f(x) - \cos x \leq 0$$ 化简后为 $$-x \sin \alpha + (\frac{\pi}{2} - \cot \alpha) \sin \alpha + \cos \alpha - \cos x \leq 0$$。结合 $$\alpha \in (-\pi, -\frac{\pi}{2})$$，解得解集为 $$[-\pi, \frac{\pi}{2}]$$。答案为 D。
9. 已知 $$\sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \frac{12}{13}$$，且 $$\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$$，则 $$\cos(\alpha + \frac{\pi}{3}) = -\frac{5}{13}$$。所求表达式化简为 $$\sin(\frac{\pi}{6} - \alpha) + \sin(\frac{2\pi}{3} - \alpha) = 2 \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) \cos \frac{\pi}{6}$$，最终结果为 $$-\frac{17}{13}$$。答案为 B。
10. 方程 $$\sin(A + B) - \sin(A - B) = \sin 2A$$ 化简为 $$2 \cos A \sin B = 2 \sin A \cos A$$，即 $$\sin B = \sin A$$ 或 $$\cos A = 0$$。因此，三角形为等腰三角形或直角三角形。答案为 D。