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正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$\operatorname{s i n} A \mathrm{s i n} B=\operatorname{c o s}^{2} \frac{C} {2}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$一定是（）
A
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
2、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']正确率60.0%已知$${{α}{，}{β}}$$都是锐角$$\mathrm{c o s} \alpha=\frac{3} {5}， ~ \operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=-\frac{5} {1 3}，$$则$${{c}{o}{s}{β}}$$的值为（）
C
A.$$- \frac{3 3} {6 5}$$
B.$$- \frac{6 3} {6 5}$$
C.$$\frac{3 3} {6 5}$$
D.$$\frac{6 3} {6 5}$$
3、['已知某个三角函数值，求其余三角函数值'， '两角和与差的正弦公式'， '角的代换']正确率60.0%已知$${{α}}$$为锐角$$\mathrm{， ~ \operatorname{s i n} \left( \alpha-\frac{\pi} {4} \right)=\frac{3} {5}，}$$则$$\operatorname{s i n} \! \alpha=$$（）
D
A.$$\frac{\sqrt2} {1 0}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{2}} {5}$$
C.$$\frac{3 \sqrt2} {5}$$
D.$$\frac{7 \sqrt{2}} {1 0}$$
4、['给值求值'， '两角和与差的余弦公式'， '角的代换']正确率40.0%已知钝角$${{α}{，}{β}}$$满足$$\mathrm{c o s} \alpha=-\frac{3} {5}， ~ \operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=-\frac{5} {1 3}，$$则$${{c}{o}{s}{β}}$$等于（）
B
A.$$\frac{3 3} {6 5}$$
B.$$- \frac{3 3} {6 5}$$
C.$$\frac{5 4} {7 5}$$
D.$$- \frac{5 4} {7 5}$$
5、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']正确率40.0%已知$${{α}}$$为钝角，且$$\operatorname{c o s} ( \alpha-\frac{\pi} {6} )=-\frac{3} {5}，$$则$${{c}{o}{s}{α}}$$的值为（）
D
A.$$\frac{3-4 \sqrt{3}} {1 0}$$
B.$$- \frac{3+4 \sqrt{3}} {1 0}$$
C.$$\frac{4-3 \sqrt{3}} {1 0}$$
D.$$- \frac{4+3 \sqrt{3}} {1 0}$$
7、['两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '角的代换']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} 2 \alpha={\frac{2 4} {2 5}}， ~ 0 < \alpha< {\frac{\pi} {2}}，$$则$$\sqrt{2} \operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {4}-\alpha)$$的值为（）
D
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$- \frac{1} {5}$$
C.$$\pm\frac{7} {5}$$
D.$$\frac{7} {5}$$
8、['三角恒等变换综合应用'， '三角函数值在各象限的符号'， '角的代换']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} ( \alpha-\beta)=-\frac{4} {5}， \; \; \operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=\frac{4} {5}，$$且$$\alpha-\beta\in\left( \frac{\pi} {2}， \pi\right)， \， \， \， \alpha+\beta\in\left( \frac{3 \pi} {2}， 2 \pi\right)，$$则$$\operatorname{c o s} 2 \alpha=~ ($$）
C
A.$$- \frac{1 2} {1 3}$$
B.$$\frac{2 4} {2 5}$$
C.$$- \frac{7} {2 5}$$
D.$$\frac{5} {1 3}$$
9、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式'， '角的代换']正确率60.0%已知$$m=\frac{\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta+\gamma)} {\operatorname{t a n} ( \alpha-\beta+\gamma)}$$，若$$\operatorname{s i n} 2 \ ( \alpha+\gamma) \ =3 \operatorname{s i n} 2 \beta，$$则$${{m}{=}{（}}$$）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{2}}$$
10、['利用诱导公式化简'， '给值求值'， '同角三角函数的商数关系'， '角的代换']正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \frac{1 2 \! \pi} {5}+\theta\right)+2 \operatorname{s i n} \left( \frac{1 1 \! \pi} {1 0}-\theta\right)=0.$$则$$\operatorname{t a n} \left( \frac{\mathrm{\ensuremath{~ \pi~}}} {5}+\theta\right)=\textsubscript{(}$$）
A
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
1. 在 $$△ABC$$ 中，已知 $$\sin A \sin B = \cos^2 \frac{C}{2}$$。利用余弦半角公式 $$\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{1 + \cos C}{2}$$，代入得： $$\sin A \sin B = \frac{1 + \cos C}{2}$$。由余弦定理和正弦定理，化简可得： $$2 \sin A \sin B = 1 + \cos C$$。利用 $$\cos C = -\cos(A+B)$$ 和三角恒等式，最终得到： $$\cos(A - B) = 1$$，即 $$A = B$$，故 $$△ABC$$ 为等腰三角形。答案为 A。
2. 已知 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$ 为锐角，$$\cos \alpha = \frac{3}{5}$$，$$\cos(\alpha + \beta) = -\frac{5}{13}$$。先求 $$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$，再求 $$\sin(\alpha + \beta) = \frac{12}{13}$$。利用余弦差公式： $$\cos \beta = \cos[(\alpha + \beta) - \alpha] = \cos(\alpha + \beta)\cos \alpha + \sin(\alpha + \beta)\sin \alpha = -\frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} + \frac{12}{13} \cdot \frac{4}{5} = \frac{33}{65}$$。答案为 C。
3. 已知 $$\alpha$$ 为锐角，$$\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{5}$$。设 $$\theta = \alpha - \frac{\pi}{4}$$，则 $$\sin \theta = \frac{3}{5}$$，$$\cos \theta = \frac{4}{5}$$。利用正弦加法公式： $$\sin \alpha = \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \sin \theta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$$。答案为 D。
4. 已知 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$ 为钝角，$$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$$，$$\cos(\alpha + \beta) = -\frac{5}{13}$$。先求 $$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$，再求 $$\sin(\alpha + \beta) = -\frac{12}{13}$$。利用余弦差公式： $$\cos \beta = \cos[(\alpha + \beta) - \alpha] = \cos(\alpha + \beta)\cos \alpha + \sin(\alpha + \beta)\sin \alpha = -\frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) + \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \frac{4}{5} = -\frac{33}{65}$$。答案为 B。
5. 已知 $$\alpha$$ 为钝角，$$\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{3}{5}$$。设 $$\theta = \alpha - \frac{\pi}{6}$$，则 $$\cos \theta = -\frac{3}{5}$$，$$\sin \theta = \frac{4}{5}$$。利用余弦加法公式： $$\cos \alpha = \cos\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \cos \theta \cos \frac{\pi}{6} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{6} = -\frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3\sqrt{3} + 4}{10}$$。答案为 B。
7. 已知 $$\sin 2\alpha = \frac{24}{25}$$，$$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$$。利用 $$\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos \alpha + \sin \alpha$$。设 $$\sin \alpha + \cos \alpha = x$$，平方得： $$x^2 = 1 + \sin 2\alpha = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25}$$，故 $$x = \frac{7}{5}$$。答案为 D。
8. 已知 $$\cos(\alpha - \beta) = -\frac{4}{5}$$，$$\cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5}$$，且 $$\alpha - \beta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，$$\alpha + \beta \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$$。利用 $$\cos 2\alpha = \cos[(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)]$$，展开得： $$\cos 2\alpha = \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) - \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta)$$。先求 $$\sin(\alpha - \beta) = \frac{3}{5}$$，$$\sin(\alpha + \beta) = -\frac{3}{5}$$，代入得： $$\cos 2\alpha = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) - \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{3}{5} = -\frac{7}{25}$$。答案为 C。
9. 已知 $$m = \frac{\tan(\alpha + \beta + \gamma)}{\tan(\alpha - \beta + \gamma)}$$，且 $$\sin 2(\alpha + \gamma) = 3 \sin 2\beta$$。设 $$x = \alpha + \gamma$$，则 $$\sin 2x = 3 \sin 2\beta$$。利用 $$\tan(x + \beta) = \frac{\tan x + \tan \beta}{1 - \tan x \tan \beta}$$ 和 $$\tan(x - \beta) = \frac{\tan x - \tan \beta}{1 + \tan x \tan \beta}$$，化简得： $$m = \frac{\tan x + \tan \beta}{\tan x - \tan \beta} \cdot \frac{1 + \tan x \tan \beta}{1 - \tan x \tan \beta}$$。结合 $$\sin 2x = 3 \sin 2\beta$$，最终解得 $$m = 2$$。答案为 D。
10. 已知 $$\sin\left(\frac{12\pi}{5} + \theta\right) + 2 \sin\left(\frac{11\pi}{10} - \theta\right) = 0$$。化简三角函数： $$\sin\left(2\pi + \frac{2\pi}{5} + \theta\right) + 2 \sin\left(\pi + \frac{\pi}{10} - \theta\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{5} + \theta\right) - 2 \sin\left(\frac{\pi}{10} - \theta\right) = 0$$。设 $$\theta = \frac{\pi}{5} + \phi$$，代入解得 $$\tan\left(\frac{\pi}{5} + \theta\right) = 2$$。答案为 A。