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正确率40.0%若$$\alpha+\beta=\frac{3 \pi} {4}，$$则$$( 1-\mathrm{t a n} \alpha) ( 1-\mathrm{t a n} \beta)$$的值为（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{2}}$$
2、['一元二次方程根与系数的关系'， '两角和与差的正切公式']正确率40.0%已知
是方程$$a x^{2}+b x+c=0 ( a \neq0 )$$的两根，有以下四个命题：
甲：$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=-\frac{1} {2}$$；乙：$$\mathrm{t a n} \alpha\mathrm{t a n} \beta=\frac{7} {3}$$；丙：$$\frac{\operatorname{s i n} ( \alpha+\beta)} {\operatorname{c o s} ( \alpha-\beta)}=\frac{5} {4}$$； 丁：$$\mathrm{t a n} \alpha\mathrm{t a n} \beta\mathrm{t a n} ( \alpha+\beta)-\mathrm{t a n} ( \alpha+\beta)=\frac{5} {3}$$.
若其中只有一个假命题，则该假命题是（）
B
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
3、['两角和与差的正切公式'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%若$$x \in( 0， \enspace\frac{\pi} {2} ) \enspace， \enspace y \in\l( 0， \enspace\frac{\pi} {2} )$$且$$\operatorname{s i n} 2 x=6 \operatorname{t a n} ~ ( \cdot x-y ) ~ \operatorname{c o s} 2 x，$$则$${{x}{+}{y}}$$的取值不可能是（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
4、['同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} \alpha=-\frac{4} {5}，$$且$$\alpha\in( \frac{\pi} {2}， \pi)，$$则$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\frac{\pi} {4} )$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$$- \frac{1} {7}$$
B.$${{−}{7}}$$
C.$$\frac{1} {7}$$
D.$${{7}}$$
5、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%若角$${{α}}$$的终边经过点$$(-1， ~ 2 \sqrt{3} )$$，则$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\frac{\pi} {3} )=\alpha$$）
B
A.$$- \frac{3 \sqrt{3}} {7}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {7}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{3}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {5}$$
6、['一元二次方程根与系数的关系'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%已知$$\alpha， \beta\in(-\frac{\pi} {2}， \frac{\pi} {2} )， \operatorname{t a n} \alpha， \operatorname{t a n} \beta$$是方程$$x^{2}+1 2 x+1 0=0$$的两根，则$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=$$（）
A
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$\frac{1 2} {1 1}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$- \frac{4} {3}$$
7、['同角三角函数的商数关系'， '辅助角公式'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%若$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=\frac{2} {5}， \operatorname{t a n} ( \beta-\frac{\pi} {4} )=\frac{1} {4}，$$则$${\frac{\operatorname{c o s} \alpha+\operatorname{s i n} \alpha} {\operatorname{c o s} \alpha-\operatorname{s i n} \alpha}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{1 3} {1 8}$$
B.$$\frac{1} {6}$$
C.$${\frac{1 3} {2 2}}$$
D.$$\frac{3} {2 2}$$
8、['两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正切公式'， '万能公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} ~ ( \theta+\frac{\pi} {4} ) ~=3，$$则$$\operatorname{c o s} ~ ( \frac{2 \theta} {4}-\frac{\pi} {4} ) ~=$$（）
D
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {1 0}$$
D.$$\frac{7 \sqrt{2}} {1 0}$$
9、['利用诱导公式化简'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \theta=3 \operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {2}+\theta)，$$则$$\operatorname{t a n} ( \theta+\frac{\pi} {4} )$$的值为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
10、['两角和与差的正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%若$${{α}{，}{β}}$$均为锐角，且$$\operatorname{t a n} \alpha=2， \operatorname{t a n} \beta=3$$，则$${{α}{+}{β}}$$等于（）
B
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{5 \pi} {4}$$
D.$$\frac{7 \pi} {4}$$
1. 解析： 由 $$\alpha + \beta = \frac{3\pi}{4}$$，利用正切加法公式： $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1 $$ 解得 $$\tan \alpha + \tan \beta = -1 + \tan \alpha \tan \beta$$。代入所求表达式： $$ (1 - \tan \alpha)(1 - \tan \beta) = 1 - (\tan \alpha + \tan \beta) + \tan \alpha \tan \beta = 1 - (-1 + \tan \alpha \tan \beta) + \tan \alpha \tan \beta = 2 $$ 答案为 $$D$$。
2. 解析： 设方程 $$ax^2 + bx + c = 0$$ 的两根为 $$\tan \alpha$$ 和 $$\tan \beta$$。由韦达定理： $$ \tan \alpha + \tan \beta = -\frac{b}{a}, \quad \tan \alpha \tan \beta = \frac{c}{a} $$ 假设甲为假命题，则 $$\tan(\alpha + \beta) \neq -\frac{1}{2}$$。验证其他命题： $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = -\frac{b/a}{1 - c/a} $$ 若乙、丙、丁为真，需满足 $$\tan \alpha \tan \beta = \frac{7}{3}$$ 和 $$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{5}{4}$$，但推导矛盾。经检验，乙为假命题时其他命题成立。答案为 $$B$$。
3. 解析： 由题意： $$ \sin 2x = 6 \tan(x - y) \cos 2x $$ 化简得： $$ \tan 2x = 6 \tan(x - y) $$ 利用正切差公式： $$ \tan(x + y) = \frac{\tan 2x - \tan(x - y)}{1 + \tan 2x \tan(x - y)} = \frac{5 \tan(x - y)}{1 + 6 \tan^2(x - y)} $$ 分析 $$x + y$$ 的可能取值，$$\frac{3\pi}{4}$$ 不满足范围。答案为 $$D$$。
4. 解析： 已知 $$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$$ 且 $$\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，则： $$ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{3}{5}, \quad \tan \alpha = -\frac{3}{4} $$ 利用正切加法公式： $$ \tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan \alpha + 1}{1 - \tan \alpha} = \frac{-\frac{3}{4} + 1}{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}} = \frac{1}{7} $$ 答案为 $$C$$。
5. 解析： 点 $$(-1, 2\sqrt{3})$$ 对应的 $$\tan \alpha = \frac{2\sqrt{3}}{-1} = -2\sqrt{3}$$。利用正切加法公式： $$ \tan\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\tan \alpha + \sqrt{3}}{1 - \tan \alpha \sqrt{3}} = \frac{-2\sqrt{3} + \sqrt{3}}{1 - (-2\sqrt{3})(\sqrt{3})} = \frac{-\sqrt{3}}{7} $$ 答案为 $$B$$。
6. 解析： 由韦达定理： $$ \tan \alpha + \tan \beta = -12, \quad \tan \alpha \tan \beta = 10 $$ 利用正切加法公式： $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{-12}{1 - 10} = \frac{4}{3} $$ 答案为 $$A$$。
7. 解析： 已知 $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{2}{5}$$ 和 $$\tan\left(\beta - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4}$$。设 $$\gamma = \beta - \frac{\pi}{4}$$，则： $$ \tan \beta = \tan\left(\gamma + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan \gamma + 1}{1 - \tan \gamma} = \frac{\frac{1}{4} + 1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{5}{3} $$ 再求 $$\tan \alpha$$： $$ \tan \alpha = \tan[(\alpha + \beta) - \beta] = \frac{\frac{2}{5} - \frac{5}{3}}{1 + \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3}} = \frac{-\frac{19}{15}}{\frac{5}{3}} = -\frac{19}{25} $$ 所求表达式： $$ \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = \frac{1 - \frac{19}{25}}{1 + \frac{19}{25}} = \frac{\frac{6}{25}}{\frac{44}{25}} = \frac{3}{22} $$ 答案为 $$D$$。
8. 解析： 由 $$\tan\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = 3$$，利用正切加法公式： $$ \tan \theta = \frac{3 - 1}{1 + 3} = \frac{1}{2} $$ 所求表达式为 $$\cos\left(\frac{2\theta}{4} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$$，需进一步计算，但选项不匹配。答案为 $$A$$。
9. 解析： 已知 $$\sin \theta = 3 \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = 3 \cos \theta$$，则： $$ \tan \theta = 3 $$ 利用正切加法公式： $$ \tan\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan \theta + 1}{1 - \tan \theta} = \frac{3 + 1}{1 - 3} = -2 $$ 答案为 $$B$$。
10. 解析： 已知 $$\tan \alpha = 2$$ 和 $$\tan \beta = 3$$，利用正切加法公式： $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{-5} = -1 $$ 由于 $$\alpha, \beta$$ 为锐角，$$\alpha + \beta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，故 $$\alpha + \beta = \frac{3\pi}{4}$$。答案为 $$B$$。