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正确率19.999999999999996%已知$$\alpha， \， \， \， \beta\in\left( 0， \， \， \， \frac{\pi} {2} \right)$$，$$\operatorname{s i n} ( 2 \alpha+\beta)=2 \operatorname{s i n} \beta，$$则$${{t}{a}{n}{β}}$$的最大值为（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
2、['利用诱导公式化简'， '正弦（型）函数的单调性'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%若$$\alpha， \， \， \， \beta\in\left( 0， \， \， \， \frac{\pi} {2} \right)，$$且$$( 1+\mathrm{c o s} 2 \alpha) ( 1+\mathrm{s i n} \beta)=\mathrm{s i n} 2 \alpha\mathrm{c o s} \beta，$$则下列结论正确的是（）
C
A.$$\alpha+\beta=\frac{\pi} {2}$$
B.$$\alpha+\frac{\beta} {2}=\frac{\pi} {2}$$
C.$$2 \alpha-\beta=\frac{\pi} {2}$$
D.$$\alpha-\beta=\frac{\pi} {2}$$
3、['两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\frac{\pi} {4} )=\frac{3} {5}， \， \， \， \frac{\pi} {2} \leqslant\alpha< \frac{3 \pi} {2}，$$则$$\operatorname{s i n} \alpha=$$（）
C
A.$$\frac{\sqrt2} {1 0}$$
B.$$\frac{7 \sqrt{2}} {1 0}$$
C.$$- \frac{7 \sqrt{2}} {1 0}$$
D.$${\frac{\sqrt2} {1 0}} s \hat{x}-{\frac{7 \sqrt2} {1 0}}$$
4、['正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别是$$a， b， c， B=\frac{\pi} {3}， b=3， c=2$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积是（）
C
A.$$\frac{3 \sqrt2+5 \sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{3 \sqrt2+\sqrt3} {4}$$
C.$$\frac{3 \sqrt2+\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{3}-\sqrt{2}} {4}$$
5、['正弦曲线的对称轴'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%如果函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} x+a \operatorname{c o s} x$$的图象关于直线$$x=\frac{\pi} {6}$$对称，那么$${{a}{=}{(}{)}}$$
C
A.$${{−}{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
7、['给值求值'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \theta-\frac{\pi} {4} )=\frac{\sqrt{3}} {3}$$，则$$\mathrm{s i n} 2 \theta=( \slash)$$
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{2} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
8、['同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式'， '两角和与差的正切公式'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$\operatorname{s i n} A+2 \operatorname{s i n} B \operatorname{c o s} C=0$$，则$${{A}}$$的最大值是$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\pi} {3}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
9、['正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状'， '两角和与差的正弦公式']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A. ~ B. ~ C$$所对应的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$\frac{c} {b} < \operatorname{c o s} A，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$为（）
C
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.非钝角三角形
10、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '用余弦定理、正弦定理解三角形'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$2 \， ( b \mathrm{c o s} A+a \mathrm{c o s} B )=c^{2}， \， \， \， b=3， \， \， \， 3 \mathrm{c o s} A=1$$，则$${{a}{=}{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
D.$${{4}}$$
1. 解析：
$$ \sin2\alpha \cos\beta + \cos2\alpha \sin\beta = 2\sin\beta $$
整理得：
$$ \sin2\alpha \cos\beta = (2 - \cos2\alpha)\sin\beta $$
两边除以 $$ \cos\beta $$：
$$ \sin2\alpha = (2 - \cos2\alpha)\tan\beta $$
利用 $$ \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $$ 和 $$ \sin2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha $$，代入得：
$$ 2\sin\alpha \cos\alpha = (1 + 2\sin^2\alpha)\tan\beta $$
整理为关于 $$ \tan\beta $$ 的表达式：
$$ \tan\beta = \frac{2\sin\alpha \cos\alpha}{1 + 2\sin^2\alpha} $$
设 $$ x = \sin\alpha $$，则 $$ x \in (0, 1) $$，表达式变为：
$$ \tan\beta = \frac{2x\sqrt{1 - x^2}}{1 + 2x^2} $$
求其最大值，对 $$ f(x) = \frac{2x\sqrt{1 - x^2}}{1 + 2x^2} $$ 求导并令导数为零，解得 $$ x = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ 时取得最大值：
$$ \tan\beta = \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} $$
故选 A。
2. 解析：
利用 $$ \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $$ 和 $$ \sin2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha $$，代入得：
$$ 2\cos^2\alpha (1 + \sin\beta) = 2\sin\alpha \cos\alpha \cos\beta $$
两边除以 $$ 2\cos\alpha $$（$$ \cos\alpha \neq 0 $$）：
$$ \cos\alpha (1 + \sin\beta) = \sin\alpha \cos\beta $$
整理为：
$$ \cos\alpha + \cos\alpha \sin\beta = \sin\alpha \cos\beta $$
移项得：
$$ \cos\alpha = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta = \sin(\alpha - \beta) $$
由于 $$ \alpha, \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) $$，$$ \alpha - \beta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $$，故：
$$ \alpha - \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha $$
解得：
$$ 2\alpha - \beta = \frac{\pi}{2} $$
故选 C。
3. 解析：
利用余弦值求出正弦值：
$$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = -\frac{4}{5} $$（因为角度在第三或第四象限，正弦为负）。
利用正弦加法公式：
$$ \sin\alpha = \sin\left(\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{\pi}{4} - \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\sin\frac{\pi}{4} $$
代入已知值：
$$ \sin\alpha = -\frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{7\sqrt{2}}{10} $$
故选 C。
4. 解析：
$$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B $$
$$ 9 = a^2 + 4 - 2a \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} $$
整理得：
$$ a^2 - 2a - 5 = 0 $$
解得 $$ a = 1 + \sqrt{6} $$（舍去负值）。
利用面积公式：
$$ S = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{6}) \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{(1 + \sqrt{6})\sqrt{3}}{2} $$
但选项中没有此结果，可能题目有其他隐含条件或简化方式。进一步检查正弦定理求角：
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $$
$$ \sin A = \frac{a \sin B}{b} = \frac{(1 + \sqrt{6}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{(1 + \sqrt{6})\sqrt{3}}{6} $$
利用面积公式 $$ S = \frac{1}{2}bc \sin A $$：
$$ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{(1 + \sqrt{6})\sqrt{3}}{6} = \frac{(1 + \sqrt{6})\sqrt{3}}{2} $$
与选项不符，可能题目有其他解法或选项有误。重新检查余弦定理计算：
$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $$ 不直接适用，可能需要其他方法。
5. 解析：
代入 $$ t = \frac{\pi}{6} $$：
$$ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = f(0) $$
计算得：
$$ 2\sin\frac{\pi}{3} + a\cos\frac{\pi}{3} = 2\sin 0 + a\cos 0 $$
$$ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + a \cdot \frac{1}{2} = 0 + a $$
整理得：
$$ \sqrt{3} + \frac{a}{2} = a $$
解得 $$ a = 2\sqrt{3} $$。
故选 C。
7. 解析：
$$ \sin\theta \cos\frac{\pi}{4} - \cos\theta \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$
整理得：
$$ \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\theta - \cos\theta) = \frac{\sqrt{3}}{3} $$
平方两边：
$$ \frac{1}{2}(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \frac{1}{3} $$
展开得：
$$ \sin^2\theta - 2\sin\theta \cos\theta + \cos^2\theta = \frac{2}{3} $$
利用 $$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$，整理得：
$$ 1 - \sin2\theta = \frac{2}{3} $$
解得：
$$ \sin2\theta = \frac{1}{3} $$
故选 A。
8. 解析：
$$ \sin A = \sin(B + C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C $$
代入原式：
$$ \sin B \cos C + \cos B \sin C + 2\sin B \cos C = 0 $$
整理得：
$$ 3\sin B \cos C + \cos B \sin C = 0 $$
两边除以 $$ \cos B \cos C $$：
$$ 3\tan B + \tan C = 0 $$
由于 $$ B, C \in (0, \pi) $$，$$ \tan B > 0 $$，故 $$ \tan C = -3\tan B < 0 $$，矛盾，可能题目有其他隐含条件或简化方式。
9. 解析：
$$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $$
代入不等式：
$$ \frac{c}{b} < \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $$
整理得：
$$ 2c^2 < b^2 + c^2 - a^2 $$
即 $$ c^2 + a^2 < b^2 $$，由余弦定理知 $$ \cos B < 0 $$，故 $$ B $$ 为钝角，$$ \triangle ABC $$ 为钝角三角形。
故选 C。
10. 解析：
利用余弦定理：
$$ b \cos A + a \cos B = c $$（投影定理），故 $$ 2c = c^2 $$，解得 $$ c = 2 $$（舍去 $$ c = 0 $$）。
由 $$ \cos A = \frac{1}{3} $$，利用余弦定理：
$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 9 + 4 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} = 9 $$
故 $$ a = 3 $$。
故选 B。