两角和与差的余弦、正弦、正切公式-5.5 三角恒等变换知识点回顾基础选择题自测题答案-福建省等高一数学必修,平均正确率68.0%

1、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '三角函数的图象与性质'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率80.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{s}{i}{n}}{ω}{x}{+}{{c}{o}{s}}{ω}{x}{(}{ω}{>}{0}{)}}$$的图象的一个对称中心的横坐标在区间$$( \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} )$$内，且两个相邻对称中心之间的距离大于$$\frac{\pi} {3}$$，则$${{ω}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{0}{，}{3}{)}}$$

B.$$( \frac{3} {2}， 3 )$$

C.$$( 0， \frac{3} {2} )$$

D.$${{(}{1}{，}{3}{)}}$$

2、['三角函数与二次函数的综合应用'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率40.0%设$$\beta\in( 0， \frac{\pi} {2} )$$，若$${{s}{i}{n}{α}{=}{3}{{s}{i}{n}}{(}{α}{+}{2}{β}{)}}$$，则$${{t}{a}{n}{(}{α}{+}{2}{β}{)}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$$- \frac{\sqrt{2}} {4}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {4}$$

C.$$- \frac{\sqrt2} 2$$

D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

3、['两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率40.0%若$$0 < \alpha< \frac{\pi} {2}$$，$$0 < \beta< \frac{\pi} {2}$$，$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=\frac{3} {5}$$，$$\operatorname{s i n} ( \beta-\frac{\pi} {4} )=\frac{5} {1 3}$$，则$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\frac{\pi} {4} )=( \textsubscript{c} )$$

A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{5 6} {6 5}$$

D.$$\frac{3 6} {6 5}$$

4、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式'， '三角恒等变换']

正确率80.0%$${{2}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{{7}{5}}{°}{{c}{o}{s}}{{7}{5}}{°}}$$的值是$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$

D.$${\sqrt {3}}$$

5、['正弦（型）函数的定义域和值域'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {3} )-\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {6}-2 x ) ( 0 \leqslant x \leqslant\frac{\pi} {2} )$$的值域为$${{(}{)}}$$

A.$$[ \frac{1-\sqrt{3}} {2}， \sqrt{2} ]$$

B.$$[ \frac{\sqrt3-1} {2}， \sqrt2 ]$$

C.$$[ \frac{1-\sqrt{3}} {2}， \frac{\sqrt{3}-1} {2} ]$$

D.$$[ \frac{1-\sqrt{3}} {2}， 2 ]$$

6、['正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率80.0%设$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$所对的边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，已知$${{s}{i}{n}{A}{+}{{s}{i}{n}}{(}{A}{+}{C}{)}{=}{2}{{s}{i}{n}}{C}}$$，则$${{(}{)}}$$

A.$${{s}{i}{n}{C}}$$的最小值为$$\frac{1} {2}$$

B.$${{s}{i}{n}{C}}$$的最大值为$$\frac{\sqrt3} {2}$$

C.$${{c}{o}{s}{C}}$$的最小值为$${{0}}$$

D.$${{c}{o}{s}{C}}$$的最大值为$$\frac{1} {2}$$

7、['余弦定理、正弦定理'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$的对边分别是$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，若$${{s}{i}{n}{(}{A}{+}{B}{)}{−}{{s}{i}{n}}{(}{A}{−}{B}{)}{=}{{s}{i}{n}}{2}{A}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状是$${{(}{)}}$$

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

8、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率80.0%已知$${{α}}$$，$${{β}}$$为锐角，$$\operatorname{c o s} \alpha=\frac{3} {5}， \operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=-\frac{1 2} {1 3}$$，则$${{s}{i}{n}{β}}$$等于$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{6 3} {6 5}$$

B.$$- \frac{6 3} {6 5}$$

C.$$\frac{3 3} {6 5}$$

D.$$- \frac{3 3} {6 5}$$

9、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率80.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=\frac{1} {2}$$，$$\operatorname{t a n} \beta=\frac{1} {3}$$，则$${{t}{a}{n}{(}{α}{+}{β}{)}{=}{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$

B.$${{−}{1}}$$

C.$$\frac{1} {7}$$

D.$$- \frac{1} {7}$$

10、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率80.0%已知$${{a}{=}{{s}{i}{n}}{{1}{7}}{°}{+}{{c}{o}{s}}{{1}{7}}{°}}$$，$${{b}{=}{2}{\sqrt {2}}{{c}{o}{s}^{2}}{{1}{3}}{°}{−}{\sqrt {2}}}$$，$$c=\frac{\sqrt{6}} {2}$$，则$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$的大小为$${{(}{)}}$$

A.$${{a}{<}{b}{<}{c}}$$

B.$${{a}{>}{b}{>}{c}}$$

C.$${{b}{>}{a}{>}{c}}$$

D.$${{b}{<}{a}{<}{c}}$$

1. 首先将函数化简为单一三角函数形式：$$f(x) = \sqrt{2} \sin\left(\omega x + \frac{\pi}{4}\right)$$。对称中心满足$$\omega x + \frac{\pi}{4} = k\pi$$，解得$$x = \frac{k\pi - \frac{\pi}{4}}{\omega}$$。题目要求对称中心在区间$$\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$$内，即$$\frac{\pi}{4} < \frac{k\pi - \frac{\pi}{4}}{\omega} < \frac{\pi}{2}$$。化简得$$\frac{4k - 1}{4} < \omega < \frac{4k - 1}{2}$$。相邻对称中心距离为$$\frac{\pi}{\omega} > \frac{\pi}{3}$$，即$$\omega < 3$$。结合$$k$$的取值（$$k=1$$时$$\frac{3}{4} < \omega < \frac{3}{2}$$，$$k=2$$时$$\frac{7}{4} < \omega < \frac{7}{2}$$），只有$$k=1$$满足$$\omega < 3$$，因此$$\omega \in \left(\frac{3}{2}, 3\right)$$。答案为$$B$$。

2. 设$$\theta = \alpha + 2\beta$$，则$$\sin(\theta - 2\beta) = 3\sin\theta$$。利用正弦差公式展开得$$\sin\theta \cos 2\beta - \cos\theta \sin 2\beta = 3\sin\theta$$，整理得$$\tan\theta = \frac{\sin 2\beta}{3 - \cos 2\beta}$$。令$$t = \tan\beta$$，则$$\tan\theta = \frac{2t}{3(1 + t^2) - (1 - t^2)} = \frac{2t}{2 + 4t^2} = \frac{t}{1 + 2t^2}$$。求$$\tan\theta$$的最小值，等价于求$$f(t) = \frac{1 + 2t^2}{t}$$的最小值。$$f(t) = \frac{1}{t} + 2t$$，求导得$$f'(t) = -\frac{1}{t^2} + 2$$，令导数为零得$$t = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。代入得$$\tan\theta = \frac{\sqrt{2}/2}{1 + 1} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$。答案为$$B$$。

3. 由$$\cos(\alpha + \beta) = \frac{3}{5}$$，得$$\sin(\alpha + \beta) = \frac{4}{5}$$。由$$\sin\left(\beta - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{5}{13}$$，得$$\cos\left(\beta - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{12}{13}$$。目标为$$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$$，可以表示为$$\cos\left[(\alpha + \beta) - \left(\beta - \frac{\pi}{4}\right)\right]$$。利用余弦差公式展开，结果为$$\frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{56}{65}$$。答案为$$C$$。

4. 化简表达式：$$2\sqrt{3} \sin 75° \cos 75° = \sqrt{3} \sin 150°$$。由于$$\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$$，因此结果为$$\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。答案为$$A$$。

5. 利用正弦差公式化简函数：$$f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right)$$。在$$x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$时，$$2x + \frac{\pi}{12} \in \left[\frac{\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}\right]$$，最小值为$$\sqrt{2} \sin\left(\frac{13\pi}{12}\right) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$$，最大值为$$\sqrt{2}$$。答案为$$A$$。

6. 由$$A + B + C = \pi$$，条件化为$$\sin A + \sin B = 2 \sin C$$。利用正弦定理得$$a + b = 2c$$。由余弦定理和不等式分析，$$\sin C$$的最小值为$$\frac{1}{2}$$（当$$a = b = c$$时取得），但题目中$$a + b = 2c$$，实际最小值为$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$（当$$C = \frac{\pi}{3}$$时）。进一步分析，$$\cos C$$的最大值为$$\frac{1}{2}$$。答案为$$D$$。

7. 条件化简为$$\sin(A + B) - \sin(A - B) = \sin 2A$$，利用正弦和差公式得$$2 \cos A \sin B = 2 \sin A \cos A$$，即$$\cos A (\sin B - \sin A) = 0$$。因此$$\cos A = 0$$或$$\sin B = \sin A$$，对应$$A = \frac{\pi}{2}$$或$$B = A$$。答案为$$D$$。

8. 由$$\cos \alpha = \frac{3}{5}$$，得$$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$。由$$\cos(\alpha + \beta) = -\frac{12}{13}$$，得$$\sin(\alpha + \beta) = \frac{5}{13}$$。利用正弦差公式，$$\sin \beta = \sin[(\alpha + \beta) - \alpha] = \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} - \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \frac{4}{5} = \frac{63}{65}$$。答案为$$A$$。

9. 利用正切和角公式：$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{6}} = 1$$。答案为$$A$$。

10. 化简各表达式：$$a = \sqrt{2} \sin 62°$$，$$b = 2\sqrt{2} \cos^2 13° - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cos 26°$$，$$c = \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1.2247$$。比较大小：$$\sin 62° \approx 0.8829$$，$$\cos 26° \approx 0.8988$$，因此$$a \approx 1.2486$$，$$b \approx 1.2712$$。故$$c < a < b$$。答案为$$C$$。

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