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正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中$$\mathrm{， ~ \operatorname{s i n} \left( A+\frac{\pi} {2} \right)=\frac{\sqrt{3}} {2}，}$$则$$\operatorname{t a n} \frac{A} {2}=$$（）
C
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
D.$$\sqrt{2}-1$$
2、['半角公式']正确率60.0%设$$5 \pi< ~ \theta< ~ 6 \pi， ~ \operatorname{c o s} \frac{\theta} {2}=m，$$则$$\operatorname{s i n} \frac{\theta} {4}$$等于（）
D
A.$$\frac{\sqrt{1+m}} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{1-m}} {2}$$
C.$$- \frac{1+m} {2}$$
D.$$- \sqrt{\frac{1-m} {2}}$$
3、['三角函数中的数学文化'， '两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '半角公式']正确率40.0%svg异常
B
A.①③
B.①③④
C.①④
D.②③④
4、['同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '半角公式']正确率40.0%若$$\alpha\in( 0， \pi)，$$且$$\sqrt{3} \mathrm{s i n} \alpha+2 \mathrm{c o s} \alpha=2，$$则$$\operatorname{t a n} \frac{\alpha} {2}=$$（）
C
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
5、['半角公式']正确率60.0%若$$\pi< \alpha< 2 \pi，$$则$$\operatorname{s i n} \frac{\alpha} {2}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} ).$$
A
A.$$\sqrt{\frac{1-\operatorname{c o s} \alpha} {2}}$$
B.$$- \sqrt{\frac{1-\operatorname{c o s} \alpha} {2}}$$
C.$$\sqrt{\frac{1+\operatorname{c o s} \alpha} {2}}$$
D.$$- \sqrt{\frac{1+\operatorname{c o s} \alpha} {2}}$$
6、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '半角公式'， '余弦（型）函数的单调性']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{c o s}^{2} ( \varpi x+\frac{\pi} {6} )-1 ( \varpi> 0 )$$在区间$$[ \frac{\pi} {6}， \ \frac{\pi} {2} ]$$内单调递减，则$${{ϖ}}$$的最大值是（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
7、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '半角公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$5 \mathrm{s i n} 2 \alpha=6 \mathrm{c o s} \alpha， \alpha\in\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)$$，则$$\operatorname{t a n} \frac{\alpha} {2}=( \rule{0.1 mm} {0.1 mm} )$$
B
A.$$- \frac2 3$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
8、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '在给定区间上恒成立问题'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '辅助角公式'， '半角公式'， '三角函数的性质综合']正确率60.0%不等式$$\sqrt{2} \operatorname{s i n} \frac{x} {4} \operatorname{c o s} \frac{x} {4} \!+\! \sqrt{6} \operatorname{c o s}^{2} \frac{x} {4} \!-\! \frac{\sqrt{6}} {2} \!-\! m \! \geq\! 0$$对于$$x \in[-\frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {3} ]$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$$(-\infty，-\sqrt{2} )$$
B.$$(-\infty， \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$
C.$$[ \frac{\sqrt2} {2}， \sqrt2 ]$$
D.$${{[}{\sqrt {2}}{{，}{+}{∞}{)}}}$$
9、['基本不等式的综合应用'， '半角公式']正确率40.0%已知$$m=\frac{\operatorname{t a n} 2 2. 5^{\circ}} {1-\operatorname{t a n}^{2} 2 2. 5^{\circ}}，$$则函数$$y=2 m \cdot x+\frac{3} {x-1}+1 ( x > 1 )$$的最小值是 （）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{2}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}{−}{2}}$$
10、['两角和与差的正弦公式'， '半角公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \alpha-\beta) \operatorname{c o s} \alpha-\operatorname{c o s} ( \alpha-\beta) \mathrm{s i n} \ \alpha=\frac{4} {5}$$，且$${{β}}$$为第三象限角，则$$\operatorname{c o s} \frac\beta2$$的值为（）
A
A.$$\pm\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\pm\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
C.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
1. 解析：
由 $$ \sin\left(A+\frac{\pi}{2}\right) = \cos A = \frac{\sqrt{3}}{2} $$，得 $$ A = \frac{\pi}{6} $$。
因此，$$ \tan \frac{A}{2} = \tan \frac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3} $$。
答案：$$ \boxed{C} $$
2. 解析：
由 $$ 5\pi < \theta < 6\pi $$，得 $$ \frac{5\pi}{2} < \frac{\theta}{2} < 3\pi $$，故 $$ \cos \frac{\theta}{2} = m < 0 $$。
利用半角公式，$$ \sin \frac{\theta}{4} = -\sqrt{\frac{1 - \cos \frac{\theta}{2}}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - m}{2}} $$。
答案：$$ \boxed{D} $$
4. 解析：
将方程 $$ \sqrt{3} \sin \alpha + 2 \cos \alpha = 2 $$ 化为 $$ \sin(\alpha + \phi) = \frac{2}{\sqrt{7}} $$，其中 $$ \tan \phi = \frac{2}{\sqrt{3}} $$。
解得 $$ \alpha = \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right) - \phi $$。
利用半角公式，$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \sqrt{3} $$。
答案：$$ \boxed{D} $$
5. 解析：
由 $$ \pi < \alpha < 2\pi $$，得 $$ \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \pi $$，此时 $$ \sin \frac{\alpha}{2} > 0 $$。
利用半角公式，$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} $$。
答案：$$ \boxed{A} $$
6. 解析：
函数 $$ f(x) = \cos(2\varpi x + \frac{\pi}{3}) $$ 在 $$ \left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right] $$ 内单调递减，需满足 $$ 2\varpi \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \geq 0 $$ 且 $$ 2\varpi \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} \leq \pi $$。
解得 $$ \varpi \leq \frac{2}{3} $$，故最大值为 $$ \frac{2}{3} $$。
答案：$$ \boxed{C} $$
7. 解析：
由 $$ 5 \sin 2\alpha = 6 \cos \alpha $$，得 $$ 10 \sin \alpha \cos \alpha = 6 \cos \alpha $$。
因 $$ \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) $$，故 $$ \cos \alpha \neq 0 $$，解得 $$ \sin \alpha = \frac{3}{5} $$，$$ \cos \alpha = \frac{4}{5} $$。
利用半角公式，$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{1}{3} $$。
答案：$$ \boxed{B} $$
8. 解析：
不等式化简为 $$ \sqrt{2} \sin \frac{x}{2} + \sqrt{6} \cos \frac{x}{2} \geq m $$，即 $$ 2\sqrt{2} \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) \geq m $$。
对于 $$ x \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right] $$，$$ \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) \in \left[\frac{1}{2}, 1\right] $$，故 $$ m \leq \sqrt{2} $$。
答案：$$ \boxed{B} $$
9. 解析：
由 $$ m = \frac{\tan 22.5^\circ}{1 - \tan^2 22.5^\circ} = \frac{1}{2} \tan 45^\circ = \frac{1}{2} $$。
函数 $$ y = x + \frac{3}{x - 1} + 1 $$，令 $$ t = x - 1 $$，则 $$ y = t + \frac{3}{t} + 2 \geq 2 + 2\sqrt{3} $$。
答案：$$ \boxed{C} $$
10. 解析：
由 $$ \sin(\alpha - \beta) \cos \alpha - \cos(\alpha - \beta) \sin \alpha = \sin(-\beta) = -\sin \beta = \frac{4}{5} $$，得 $$ \sin \beta = -\frac{4}{5} $$。
因 $$ \beta $$ 为第三象限角，故 $$ \cos \beta = -\frac{3}{5} $$。
利用半角公式，$$ \cos \frac{\beta}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \beta}{2}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $$。
答案：$$ \boxed{C} $$