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正确率80.0%已知$${{θ}}$$为锐角，且$$\operatorname{c o s} \left( \theta+\frac{\pi} {6} \right)=\frac{3} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} \theta=$$（）
A
A.$$\frac{4 \sqrt{3}-3} {1 0}$$
B.$$\frac{4 \sqrt{3}+3} {1 0}$$
C.$$\frac{4-3 \sqrt{3}} {1 0}$$
D.$$\frac{4+3 \sqrt{3}} {1 0}$$
2、['给值求值']正确率60.0%已知$$\mathrm{s i n} \alpha=-\frac{1} {3}，$$且$${\frac{3 \pi} {2}} < \alpha< 2 \pi，$$则$${{t}{a}{n}{α}}$$的值为（）
B
A.$$- \frac{2 \sqrt2} 3$$
B.$$- \frac{\sqrt{2}} {4}$$
C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{−}{2}{\sqrt {2}}}$$
3、['三角恒等变换综合应用'， '给值求值'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\mathrm{t a n} \alpha=2， \， \， \， \alpha\in( 0， \， \， \， \pi)，$$则$$\mathrm{c o s} \alpha+\operatorname{t a n} \left( \alpha-\frac{\pi} {4} \right)=$$（）
B
A.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}-\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}+\frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{\sqrt5} {5}+\frac1 3$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {5}-\frac{1} {3}$$
4、['给值求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \alpha+\frac{5} {6} \pi\right)=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s} \left( \frac\pi3-2 \alpha\right)=$$（）
D
A.$$- \frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
5、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '给值求值'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \Bigl( \frac{\pi} {1 2}+\alpha\Bigr)=\frac{\sqrt{2}} {4}，$$则$$\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {3}-2 a \right)=$$（）
B
A.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt{7}} {4}$$
D.$$- \frac{3} {4}$$
6、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '给值求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} \left( \alpha+\frac{\pi} {6} \right)=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{s i n} \left( 2 \alpha-\frac{\pi} {6} \right)=$$（）
B
A.$$- \frac{7} {9}$$
B.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{8} {9}$$
D.$$- \frac{8} {9}$$
7、['给值求值'， '两角和与差的余弦公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} \left( x-\frac{\pi} {6} \right)=$$―$$\frac{\sqrt{3}} {3}，$$则$$\operatorname{c o s} x+\operatorname{c o s} \left( x-\frac\pi3 \right)$$的值是（）
C
A.―$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
B.$$\pm\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
C.―$${{1}}$$
D.$${{±}{1}}$$
8、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '给值求值']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {6}-\alpha)=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {3}+\alpha)$$等于（）
C
A.$$- \frac{7} {9}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
9、['给值求值'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%若$$\alpha\in( 0， \ \frac{\pi} {2} )，$$若$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\frac{\pi} {6} )=\frac{4} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} ( 2 \alpha+\frac{\pi} {3} )$$的值为（）
B
A.$$\frac{1 2} {2 5}$$
B.$$\frac{2 4} {2 5}$$
C.$$- \frac{2 4} {2 5}$$
D.$$- \frac{1 2} {2 5}$$
10、['利用诱导公式化简'， '给值求值'， '两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \left( \alpha+\frac{\pi} {4} \right)=\frac{3} {4}$$，则$$\operatorname{c o s}^{2} \left( \frac{\pi} {4}-\alpha\right)=( \eta)$$
B
A.$$\frac{7} {2 5}$$
B.$$\frac{9} {2 5}$$
C.$$\frac{1 6} {2 5}$$
D.$$\frac{2 4} {2 5}$$
以下是各题的详细解析：
设$$\alpha = \theta + \frac{\pi}{6}$$，则$$\cos \alpha = \frac{3}{5}$$。因为$$θ$$为锐角，$$\alpha \in \left( \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3} \right)$$，所以$$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$。
利用和角公式： $$\sin \theta = \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{6} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{6} - \cos \alpha \sin \frac{\pi}{6} = \frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4\sqrt{3} - 3}{10}$$
答案为 A。
因为$$\alpha$$在第四象限，$$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$。
$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$$
答案为 B。
由$$\tan \alpha = 2$$，得$$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$$。
利用差角公式： $$\tan \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\tan \alpha - 1}{1 + \tan \alpha \cdot 1} = \frac{2 - 1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$$
因此，$$\cos \alpha + \tan \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{3}$$
答案为 B。
设$$\beta = \alpha + \frac{5\pi}{6}$$，则$$\sin \beta = \frac{1}{3}$$。
利用余弦倍角公式： $$\cos \left( \frac{\pi}{3} - 2\alpha \right) = \cos \left( 2\beta - \pi \right) = -\cos 2\beta = - (1 - 2\sin^2 \beta) = -1 + 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 = -\frac{7}{9}$$
但题目选项中有$$\frac{7}{9}$$，可能是符号问题，重新推导： $$\cos \left( \frac{\pi}{3} - 2\alpha \right) = \cos \left( \pi - 2\beta \right) = -\cos 2\beta = 2\sin^2 \beta - 1 = 2 \cdot \frac{1}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$$
答案为 A。
设$$\beta = \frac{\pi}{12} + \alpha$$，则$$\sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{4}$$。
利用正弦倍角公式： $$\sin \left( \frac{\pi}{3} - 2\alpha \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2\beta \right) = \cos 2\beta = 1 - 2\sin^2 \beta = 1 - 2 \cdot \left( \frac{2}{16} \right) = \frac{3}{4}$$
答案为 B。
设$$\beta = \alpha + \frac{\pi}{6}$$，则$$\cos \beta = \frac{1}{3}$$，$$\sin 2\beta = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$$。
利用正弦差角公式： $$\sin \left( 2\alpha - \frac{\pi}{6} \right) = \sin \left( 2\beta - \frac{\pi}{2} \right) = -\cos 2\beta = -\left( 2\cos^2 \beta - 1 \right) = -\left( 2 \cdot \frac{1}{9} - 1 \right) = \frac{7}{9}$$
答案为 B。
利用和差化积公式： $$\cos x + \cos \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \cos \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -1$$
答案为 C。
利用余弦和角公式： $$\cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - \alpha \right) = \sin \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) = \frac{1}{3}$$
答案为 C。
设$$\beta = \alpha + \frac{\pi}{6}$$，则$$\cos \beta = \frac{4}{5}$$，$$\sin \beta = \frac{3}{5}$$。
利用正弦倍角公式： $$\sin \left( 2\alpha + \frac{\pi}{3} \right) = \sin 2\beta = 2 \sin \beta \cos \beta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$$
答案为 B。
设$$\beta = \alpha + \frac{\pi}{4}$$，则$$\tan \beta = \frac{3}{4}$$。
利用余弦平方公式： $$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = \cos^2 \beta = \frac{1}{1 + \tan^2 \beta} = \frac{1}{1 + \left( \frac{3}{4} \right)^2} = \frac{16}{25}$$
答案为 C。