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正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \alpha+6 0^{\circ} )=\frac{4} {5}， ~ 3 0^{\circ} < ~ \alpha< 1 2 0^{\circ}，$$则$${{c}{o}{s}{α}{=}}$$（）
A
A.$$\frac{4 \sqrt{3}-3} {1 0}$$
B.$$- \frac{4 \sqrt{3}+3} {1 0}$$
C.$$\frac{4-3 \sqrt{3}} {1 0}$$
D.$$- \frac{4+3 \sqrt{3}} {1 0}$$
2、['三角恒等变换综合应用'， '利用诱导公式求值'， '给值求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( 3 \pi+\alpha)=-\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s}^{2} \left( \frac{\alpha} {2}-\frac{\pi} {4} \right)$$的值为（）
D
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{3+\sqrt{2}} {6}$$
C.$$\frac{3-\sqrt{2}} {6}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
3、['利用诱导公式化简'， '给值求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \frac{3 \pi} {2}-\alpha\right)=\frac{1} {3}，$$则$${{c}{o}{s}{α}{=}}$$（）
A
A.$$- \frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{2 \sqrt2} 3$$
D.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
4、['给值求值'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{s i n} ( \theta+\frac{\pi} {3} )=1，$$则$$\operatorname{s i n} ( \theta+\frac{\pi} {6} )=$$（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
5、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '给值求值'， '两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} ( \pi+\theta)=-\frac{3} {5}， \ \theta$$是第二象限角，$$\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}+\varphi\right)=-\frac{2 \sqrt{5}} {5}， \ \varphi$$是第三象限角，则$${{c}{o}{s}{(}{θ}{−}{φ}{)}}$$的值是（）
B
A.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{1 1 \sqrt{5}} {2 5}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
6、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '给值求值'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \Bigl( \frac{\pi} {1 2}+\alpha\Bigr)=\frac{\sqrt{2}} {4}，$$则$$\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {3}-2 a \right)=$$（）
B
A.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt{7}} {4}$$
D.$$- \frac{3} {4}$$
7、['给值求值'， '两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率40.0%若$$\operatorname{t a n} \left( \alpha+\frac{\pi} {4} \right)=-3$$，则$${{s}{i}{n}{2}{α}{−}{{c}{o}{s}^{2}}{α}{=}}$$（）
A
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$- \frac{2} {5}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{3}}$$
8、['给值求值'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$${{α}}$$为锐角，且$$\operatorname{s i n} ( \alpha+\frac{\pi} {3} )=\frac{3} {5}，$$则$${{s}{i}{n}{（}{π}{−}{α}{）}{=}{（}}$$）
A
A.$$\frac{3+4 \sqrt{3}} {1 0}$$
B.$$\frac{4 \sqrt{3}-3} {1 0}$$
C.$$\frac{3 \pm4 \sqrt{3}} {1 0}$$
D.$$\frac{4 \sqrt{3} \pm3} {1 0}$$
9、['给值求值'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%设$$0 < \alpha< \beta< \frac{\pi} {2}， \operatorname{s i n} \alpha=\frac{3} {5}， \operatorname{c o s} ( \alpha-\beta)=\frac{1 2} {1 3}$$，则$${{s}{i}{n}{β}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1 6} {6 5}$$
B.$$\frac{3 3} {6 5}$$
C.$$\frac{5 6} {6 5}$$
D.$$\frac{6 3} {6 5}$$
10、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '给值求值'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {6}-\alpha)=\frac{1} {3}， ~ 0 < \alpha< \frac{\pi} {2}，$$则$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {3}+\alpha)=\alpha$$）
C
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt2} 3$$
1. 已知 $$\sin(\alpha + 60^\circ) = \frac{4}{5}$$，且 $$30^\circ < \alpha < 120^\circ$$，求 $$\cos \alpha$$。
解析：
设 $$\beta = \alpha + 60^\circ$$，则 $$\sin \beta = \frac{4}{5}$$，且 $$90^\circ < \beta < 180^\circ$$。
由 $$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$$，得 $$\cos \beta = -\frac{3}{5}$$（因为 $$\beta$$ 在第二象限，$$\cos \beta$$ 为负）。
利用和角公式：
$$\cos \alpha = \cos(\beta - 60^\circ) = \cos \beta \cos 60^\circ + \sin \beta \sin 60^\circ$$
$$= -\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3} - 3}{10}$$
故选 **A**。
2. 已知 $$\sin(3\pi + \alpha) = -\frac{1}{3}$$，求 $$\cos^2 \left( \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4} \right)$$。
解析：
化简 $$\sin(3\pi + \alpha) = \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha = -\frac{1}{3}$$，故 $$\sin \alpha = \frac{1}{3}$$。
利用半角公式：
$$\cos^2 \left( \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1 + \cos(\alpha - \frac{\pi}{2})}{2} = \frac{1 + \sin \alpha}{2} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{2} = \frac{2}{3}$$
故选 **D**。
3. 已知 $$\sin \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) = \frac{1}{3}$$，求 $$\cos \alpha$$。
解析：
化简 $$\sin \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) = -\cos \alpha = \frac{1}{3}$$，故 $$\cos \alpha = -\frac{1}{3}$$。
故选 **A**。
4. 已知 $$\sin \theta + \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) = 1$$，求 $$\sin \left( \theta + \frac{\pi}{6} \right)$$。
解析：
利用和化积公式：
$$\sin \theta + \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin \left( \theta + \frac{\pi}{6} \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = 1$$
即 $$2 \sin \left( \theta + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$$，解得 $$\sin \left( \theta + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。
故选 **B**。
5. 已知 $$\sin(\pi + \theta) = -\frac{3}{5}$$，$$\theta$$ 在第二象限；$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \varphi \right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$，$$\varphi$$ 在第三象限，求 $$\cos(\theta - \varphi)$$。
解析：
由 $$\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta = -\frac{3}{5}$$，得 $$\sin \theta = \frac{3}{5}$$，$$\cos \theta = -\frac{4}{5}$$（$$\theta$$ 在第二象限）。
由 $$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \varphi \right) = \cos \varphi = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$，得 $$\sin \varphi = -\frac{\sqrt{5}}{5}$$（$$\varphi$$ 在第三象限）。
利用差角公式：
$$\cos(\theta - \varphi) = \cos \theta \cos \varphi + \sin \theta \sin \varphi$$
$$= -\frac{4}{5} \cdot \left( -\frac{2\sqrt{5}}{5} \right) + \frac{3}{5} \cdot \left( -\frac{\sqrt{5}}{5} \right) = \frac{8\sqrt{5}}{25} - \frac{3\sqrt{5}}{25} = \frac{5\sqrt{5}}{25} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
故选 **B**。
6. 已知 $$\sin \left( \frac{\pi}{12} + \alpha \right) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$，求 $$\sin \left( \frac{\pi}{3} - 2\alpha \right)$$。
解析：
设 $$\beta = \frac{\pi}{12} + \alpha$$，则 $$\sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{4}$$。
利用倍角公式：
$$\sin \left( \frac{\pi}{3} - 2\alpha \right) = \sin \left( \frac{\pi}{3} - 2(\beta - \frac{\pi}{12}) \right) = \sin \left( \frac{\pi}{3} - 2\beta + \frac{\pi}{6} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2\beta \right) = \cos 2\beta$$
又 $$\cos 2\beta = 1 - 2 \sin^2 \beta = 1 - 2 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$。
故选 **B**。
7. 已知 $$\tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = -3$$，求 $$\sin 2\alpha - \cos^2 \alpha$$。
解析：
设 $$\beta = \alpha + \frac{\pi}{4}$$，则 $$\tan \beta = -3$$。
利用 $$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = -3$$，结合 $$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$$，解得 $$\sin \beta = \frac{3}{\sqrt{10}}$$，$$\cos \beta = -\frac{1}{\sqrt{10}}$$。
利用 $$\alpha = \beta - \frac{\pi}{4}$$，计算 $$\sin 2\alpha - \cos^2 \alpha$$：
$$\sin 2\alpha - \cos^2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha - \cos^2 \alpha$$
通过计算可得结果为 $$\frac{3}{5}$$。
故选 **A**。
8. 已知 $$\alpha$$ 为锐角，且 $$\sin \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{3}{5}$$，求 $$\sin(\pi - \alpha)$$。
解析：
设 $$\beta = \alpha + \frac{\pi}{3}$$，则 $$\sin \beta = \frac{3}{5}$$，且 $$\frac{\pi}{3} < \beta < \frac{5\pi}{6}$$。
由 $$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$$，得 $$\cos \beta = -\frac{4}{5}$$（$$\beta$$ 在第二象限）。
利用 $$\alpha = \beta - \frac{\pi}{3}$$，计算 $$\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$$：
$$\sin \alpha = \sin \left( \beta - \frac{\pi}{3} \right) = \sin \beta \cos \frac{\pi}{3} - \cos \beta \sin \frac{\pi}{3}$$
$$= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} - \left( -\frac{4}{5} \right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 + 4\sqrt{3}}{10}$$
故选 **A**。
9. 已知 $$0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}$$，$$\sin \alpha = \frac{3}{5}$$，$$\cos(\alpha - \beta) = \frac{12}{13}$$，求 $$\sin \beta$$。
解析：
由 $$\sin \alpha = \frac{3}{5}$$，得 $$\cos \alpha = \frac{4}{5}$$。
由 $$\cos(\alpha - \beta) = \frac{12}{13}$$，得 $$\sin(\alpha - \beta) = -\frac{5}{13}$$（因为 $$\alpha - \beta < 0$$）。
利用 $$\beta = \alpha - (\alpha - \beta)$$，计算 $$\sin \beta$$：
$$\sin \beta = \sin \alpha \cos(\alpha - \beta) - \cos \alpha \sin(\alpha - \beta)$$
$$= \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{4}{5} \cdot \left( -\frac{5}{13} \right) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}$$
故选 **C**。
10. 已知 $$\sin \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) = \frac{1}{3}$$，且 $$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$$，求 $$\sin \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right)$$。
解析：
设 $$\beta = \frac{\pi}{6} - \alpha$$，则 $$\sin \beta = \frac{1}{3}$$，且 $$-\frac{\pi}{3} < \beta < \frac{\pi}{6}$$。
由 $$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$$，得 $$\cos \beta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$。
利用 $$\alpha = \frac{\pi}{6} - \beta$$，计算 $$\sin \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) = \sin \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} - \beta \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \beta \right) = \cos \beta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$。
故选 **C**。