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正确率40.0%若$$\mathrm{s i n} \alpha+\mathrm{s i n} \beta=\frac{1 2} {1 3}， ~ \mathrm{c o s} \alpha+\mathrm{c o s} \beta=\frac{6} {1 3}，$$则$$\operatorname{t a n} \frac{\alpha+\beta} {2}$$的值为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
2、['两角和与差的余弦公式']正确率60.0%$${\frac{1} {2}} \mathrm{c o s} 3 0^{\circ}-{\frac{\sqrt{3}} {2}} \mathrm{s i n} 3 0^{\circ}=$$（）
A
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${{1}}$$
3、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%若$$\operatorname{c o s} \alpha=\frac{1} {5}， \， \， \alpha$$为锐角，则$$\operatorname{c o s} ~ \left( \alpha-\frac{\pi} {6} \right)=$$（）
A
A.$$\frac{\sqrt3+2 \sqrt6} {1 0}$$
B.$$\frac{1+6 \sqrt{2}} {1 0}$$
C.$$\frac{6 \sqrt2-\sqrt3} {1 0}$$
D.$$\frac{6 \sqrt{2}-1} {1 0}$$
4、['两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%若$$\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {4}-\theta) \cdot\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {4}+\theta)=\frac{\sqrt{2}} {6} ( 0 < \theta< \frac{\pi} {2} )，$$则$$\operatorname{s i n} 2 \theta=~ ($$）
B
A.$$\frac{\sqrt2} 3$$
B.$$\frac{\sqrt{7}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{7}} {6}$$
D.$$\frac{\sqrt{3 4}} {6}$$
5、['两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} \ ( \frac\pi4-x ) \ =\frac3 5，$$则$$\operatorname{s i n} 2 x=\langle$$）
B
A.$$\frac{7} {2 5}$$
B.$$- \frac{7} {2 5}$$
C.$$\frac{1 8} {2 5}$$
D.$$- \frac{1 6} {2 5}$$
6、['用余弦定理、正弦定理解三角形'， '两角和与差的余弦公式'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， B， C$$的对边分别为$$a， b， c， \， \， \， \operatorname{t a n} A=\frac{\sqrt{2} b c} {b^{2}+c^{2}-a^{2}}， \， \， \， a=\sqrt{2}， \， \， \， S$$为$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的面积，则$$S+\sqrt{2} \operatorname{c o s} B \operatorname{c o s} C$$的最大值为（）
B
A.$${_{4}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
7、['两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%已知$$\alpha， \， \， \， \beta\in( 0， \， \， \， \frac{\pi} {2} )$$且$$3 \sin\beta=\sin\ ( \， 2 \alpha+\beta) \， \， \，， \， \， 4 \tan\frac{\alpha} {2}=1-\tan^{2} \frac{\alpha} {2}$$，则$${{α}{+}{β}}$$的值为（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
8、['函数图象的平移变换'， '辅助角公式'， '两角和与差的余弦公式'， '三角函数的图象变换'， '余弦曲线的对称轴'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']正确率40.0%把函数$$y=\sqrt{3} \operatorname{c o s} x-\operatorname{s i n} x$$的图象向左平移$$m ( m > 0 )$$个单位，所得的图象关于$${{y}}$$轴对称，则$${{m}}$$的最小值是
C
A.$$- \frac{\pi} {6}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{5 \pi} {6}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$
9、['两角和与差的余弦公式'， '余弦（型）函数的单调性']正确率40.0%若$$x \in[ 0， ~ \pi]$$，则函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{c o s} x-\operatorname{s i n} x$$的增区间为（）
D
A.$$[ 0， ~ \frac{\pi} {4} ]$$
B.$$[ \frac{\pi} {4}， \， \， \pi]$$
C.$$[ 0， ~ \frac{3 \pi} {4} ]$$
D.$$[ \frac{3 \pi} {4}， \， \pi]$$
10、['两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%对于集合$$\{a_{1}， a_{2}， \dots， a_{n} \}$$和常数$${{a}_{0}}$$，定义：$$p=\frac{\operatorname{c o s}^{2} ( a_{1}-a_{0} )+\operatorname{c o s}^{2} ( a_{2}-a_{0} )+\cdots+\operatorname{c o s}^{2} ( a_{n}-a_{0} )} {n}$$为集合$$\{a_{1}， a_{2}， \dots， a_{n} \}$$相对$${{a}_{0}}$$的$${{“}}$$余弦方差$${{”}}$$，则集合$$\{0， \frac{2 \pi} {3}， \frac{4 \pi} {3} \}$$相对$${{a}_{0}}$$的$${{“}}$$余弦方差$${{”}}$$为（）
B
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.与$${{a}_{0}}$$有关的一个值
1. 解析：
由已知条件：
$$ \sin \alpha + \sin \beta = \frac{12}{13}, \quad \cos \alpha + \cos \beta = \frac{6}{13} $$
利用和差化积公式：
$$ 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) = \frac{12}{13} $$
$$ 2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) = \frac{6}{13} $$
两式相除得：
$$ \tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) = 2 $$
答案为：A
2. 解析：
利用余弦差公式：
$$ \frac{1}{2} \cos 30^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 30^\circ = \cos (30^\circ + 30^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $$
答案为：B
3. 解析：
已知 $$ \cos \alpha = \frac{1}{5} $$，且 $$ \alpha $$ 为锐角，则 $$ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{2\sqrt{6}}{5} $$。
利用余弦差公式：
$$ \cos \left( \alpha - \frac{\pi}{6} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{6} + \sin \alpha \sin \frac{\pi}{6} $$
$$ = \frac{1}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\sqrt{6}}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{6}}{10} $$
答案为：A
4. 解析：
利用余弦积化和差公式：
$$ \cos \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) \cos \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) = \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + \cos (2\theta) \right] = \frac{\sqrt{2}}{6} $$
化简得：
$$ \cos (2\theta) = \frac{\sqrt{2}}{3} $$
因为 $$ 0 < \theta < \frac{\pi}{2} $$，所以 $$ \sin 2\theta = \sqrt{1 - \cos^2 2\theta} = \frac{\sqrt{7}}{3} $$
答案为：B
5. 解析：
已知 $$ \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) = \frac{3}{5} $$，利用余弦公式：
$$ \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) = \frac{\cos x + \sin x}{\sqrt{2}} = \frac{3}{5} $$
平方得：
$$ \frac{1 + \sin 2x}{2} = \frac{9}{25} $$
解得：
$$ \sin 2x = -\frac{7}{25} $$
答案为：B
6. 解析：
由题意：
$$ \tan A = \frac{\sqrt{2} bc}{b^2 + c^2 - a^2} $$
利用余弦定理 $$ b^2 + c^2 - a^2 = 2bc \cos A $$，代入得：
$$ \tan A = \frac{\sqrt{2}}{2 \cos A} $$
化简得：
$$ \sin A = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
因为 $$ A $$ 为锐角，所以 $$ A = \frac{\pi}{4} $$。
面积公式：
$$ S = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{\sqrt{2}}{4} bc $$
所求表达式：
$$ S + \sqrt{2} \cos B \cos C = \frac{\sqrt{2}}{4} bc + \sqrt{2} \cos B \cos C $$
利用 $$ B + C = \frac{3\pi}{4} $$ 和三角恒等式化简，最终最大值为 $$ \sqrt{2} $$。
答案为：B
7. 解析：
由 $$ 3 \sin \beta = \sin (2\alpha + \beta) $$，展开得：
$$ 3 \sin \beta = \sin 2\alpha \cos \beta + \cos 2\alpha \sin \beta $$
整理得：
$$ \tan \beta = \frac{\sin 2\alpha}{3 - \cos 2\alpha} $$
由 $$ 4 \tan \frac{\alpha}{2} = 1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2} $$，解得：
$$ \tan \alpha = \frac{1}{2} $$
代入上式，最终解得 $$ \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} $$。
答案为：B
8. 解析：
函数 $$ y = \sqrt{3} \cos x - \sin x = 2 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) $$。
向左平移 $$ m $$ 个单位后为 $$ y = 2 \cos \left( x + m + \frac{\pi}{6} \right) $$。
关于 $$ y $$ 轴对称，则 $$ m + \frac{\pi}{6} = k\pi $$，最小正值 $$ m = \frac{5\pi}{6} $$。
答案为：C
9. 解析：
函数 $$ f(x) = \cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) $$。
增区间满足 $$ \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) $$ 递增，即 $$ x + \frac{\pi}{4} \in [\pi, 2\pi] $$。
在 $$ x \in [0, \pi] $$ 时，增区间为 $$ \left[ \frac{3\pi}{4}, \pi \right] $$。
答案为：D
10. 解析：
计算余弦方差：
$$ p = \frac{\cos^2 (0 - a_0) + \cos^2 \left( \frac{2\pi}{3} - a_0 \right) + \cos^2 \left( \frac{4\pi}{3} - a_0 \right)}{3} $$
利用余弦平方和恒等式，化简得 $$ p = \frac{1}{2} $$，与 $$ a_0 $$ 无关。
答案为：B