1、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']正确率60.0%已知$${{α}{，}{β}}$$都是锐角$$\mathrm{c o s} \alpha=\frac{3} {5}， ~ \operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=-\frac{5} {1 3}，$$则$${{c}{o}{s}{β}}$$的值为（）
C
A.$$- \frac{3 3} {6 5}$$
B.$$- \frac{6 3} {6 5}$$
C.$$\frac{3 3} {6 5}$$
D.$$\frac{6 3} {6 5}$$
2、['两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']正确率60.0%已知$${{α}{，}{β}}$$均为锐角$$， ~ \mathrm{c o s} \alpha=\frac{\sqrt{2}} {2}， \operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=-\frac{2} {3}，$$则$${{s}{i}{n}{β}{=}}$$（）
A
A.$$\frac{\sqrt{1 0}+2 \sqrt{2}} {6}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}+2 \sqrt{2}} {6}$$或$$\frac{\sqrt{1 0}-2 \sqrt{2}} {6}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 0}-2 \sqrt{2}} {6}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}-2} {6}$$
3、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '给值求值'， '角的代换']正确率60.0%若$$\operatorname{c o s} \left( \alpha-\frac{5 \pi} {1 2} \right)=\frac{\sqrt{5}} {3}$$，则$$\operatorname{s i n} \Bigl( \alpha+\frac{\pi} {1 2} \Bigr)=$$（）
A
A.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
B.$$- \frac2 3$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
5、['给值求值'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']正确率60.0%若$$\operatorname{c o s} ( \alpha-\beta)=\frac{3} {5}， \operatorname{s i n} \beta=-\frac{5} {1 3}， \mathrm{~ H ~} \alpha\in\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)， \beta\in\left(-\frac{\pi} {2}， 0 \right)，$$则$${{s}{i}{n}{α}{=}}$$（）
C
A.$$- \frac{6 3} {6 5}$$
B.$$- \frac{3 3} {6 5}$$
C.$$\frac{3 3} {6 5}$$
D.$$\frac{6 3} {6 5}$$
6、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '角的代换']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {4} \!+\! \alpha) \!=\! \frac{\sqrt{3}} {3}，$$则$$\operatorname{s i n} ( \frac{7 \pi} {4} \!-\! \alpha)$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$- \frac{\sqrt6} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
7、['两角和与差的正切公式'， '角的代换']正确率60.0%已知$${{t}{a}{n}{(}{α}{+}{β}{)}{=}{5}{，}{{t}{a}{n}}{(}{α}{−}{β}{)}{=}{3}}$$，则$${{t}{a}{n}{2}{β}{=}}$$（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {7}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac{4} {7}$$
C.$$\frac{1} {8}$$
D.$$- \frac{1} {8}$$
8、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式'， '角的代换']正确率60.0%已知$$m=\frac{\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta+\gamma)} {\operatorname{t a n} ( \alpha-\beta+\gamma)}$$，若$${{s}{i}{n}{2}{（}{α}{+}{γ}{）}{=}{3}{{s}{i}{n}}{2}{β}{，}}$$则$${{m}{=}{（}}$$）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{2}}$$
9、['两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']正确率40.0%设$${{α}}$$为锐角，若$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\frac{\pi} {6} \frac{\pi} {6} \frac{\pi} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} \left( 2 \alpha+\frac{\pi} {6} \right)$$的值为（）
A
A.$$\frac{2 4 \sqrt{3}-7} {5 0}$$
B.$$\frac{2 4 \sqrt{3}+7} {5 0}$$
C.$$\frac{2 4-7 \sqrt{3}} {5 0}$$
D.$$\frac{2 4+7 \sqrt{3}} {5 0}$$
10、['三角函数值在各象限的符号'， '给值求值'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']正确率60.0%已知$$0 < \alpha< \beta< \frac{\pi} {2}$$，且$$\operatorname{c o s} ( \alpha-\beta)=\frac{6 3} {6 5}， ~ ~ \operatorname{s i n} \beta=\frac{1 2} {1 3}$$，则$${{s}{i}{n}{α}{=}}$$（）
D
A.$$- \frac{3} {5}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$- \frac{4} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
1. 已知$$α$$和$$β$$都是锐角，且$$\cos \alpha = \frac{3}{5}$$，$$\cos(\alpha + \beta) = -\frac{5}{13}$$，求$$\cos \beta$$的值。
首先，利用$$\cos \alpha = \frac{3}{5}$$，可以求出$$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{4}{5}$$。
接着，由$$\cos(\alpha + \beta) = -\frac{5}{13}$$，可得$$\sin(\alpha + \beta) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha + \beta)} = \frac{12}{13}$$。
利用余弦差公式：$$\cos \beta = \cos[(\alpha + \beta) - \alpha] = \cos(\alpha + \beta)\cos \alpha + \sin(\alpha + \beta)\sin \alpha$$。
代入已知值：$$\cos \beta = \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \frac{3}{5} + \frac{12}{13} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{33}{65}$$。
因此，正确答案是C。
2. 已知$$α$$和$$β$$均为锐角，且$$\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$\cos(\alpha + \beta) = -\frac{2}{3}$$，求$$\sin \beta$$的值。
首先，由$$\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，得$$\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
由$$\cos(\alpha + \beta) = -\frac{2}{3}$$，得$$\sin(\alpha + \beta) = \sqrt{1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$。
利用正弦差公式：$$\sin \beta = \sin[(\alpha + \beta) - \alpha] = \sin(\alpha + \beta)\cos \alpha - \cos(\alpha + \beta)\sin \alpha$$。
代入已知值：$$\sin \beta = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{6} + \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{10} + 2\sqrt{2}}{6}$$。
由于$$β$$为锐角，$$\sin \beta$$为正，因此正确答案是A。
3. 若$$\cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{5}}{3}$$，求$$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right)$$的值。
注意到$$\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) = \left(\alpha - \frac{5\pi}{12}\right) + \frac{\pi}{2}$$。
利用余弦转正弦公式：$$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{5}}{3}$$。
因此，正确答案是A。
5. 已知$$\cos(\alpha - \beta) = \frac{3}{5}$$，$$\sin \beta = -\frac{5}{13}$$，且$$\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$，$$\beta \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$$，求$$\sin \alpha$$的值。
由$$\sin \beta = -\frac{5}{13}$$，得$$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \frac{12}{13}$$（因为$$\beta$$在第四象限，余弦为正）。
由$$\cos(\alpha - \beta) = \frac{3}{5}$$，得$$\sin(\alpha - \beta) = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}$$（因为$$\alpha - \beta \in \left(0, \pi\right)$$，正弦为正）。
利用正弦和公式：$$\sin \alpha = \sin[(\alpha - \beta) + \beta] = \sin(\alpha - \beta)\cos \beta + \cos(\alpha - \beta)\sin \beta$$。
代入已知值：$$\sin \alpha = \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{48}{65} - \frac{15}{65} = \frac{33}{65}$$。
因此，正确答案是C。
6. 已知$$\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，求$$\sin\left(\frac{7\pi}{4} - \alpha\right)$$的值。
注意到$$\frac{7\pi}{4} - \alpha = 2\pi - \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$$。
利用正弦的周期性：$$\sin\left(\frac{7\pi}{4} - \alpha\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$。
因此，正确答案是A。
7. 已知$$\tan(\alpha + \beta) = 5$$，$$\tan(\alpha - \beta) = 3$$，求$$\tan 2\beta$$的值。
利用正切差公式：$$\tan 2\beta = \tan[(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)] = \frac{\tan(\alpha + \beta) - \tan(\alpha - \beta)}{1 + \tan(\alpha + \beta)\tan(\alpha - \beta)}$$。
代入已知值：$$\tan 2\beta = \frac{5 - 3}{1 + 5 \cdot 3} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$$。
因此，正确答案是C。
8. 已知$$m = \frac{\tan(\alpha + \beta + \gamma)}{\tan(\alpha - \beta + \gamma)}$$，且$$\sin 2(\alpha + \gamma) = 3\sin 2\beta$$，求$$m$$的值。
设$$x = \alpha + \gamma$$，则条件变为$$\sin 2x = 3\sin 2\beta$$。
利用正弦倍角公式：$$2\sin x \cos x = 3 \cdot 2\sin \beta \cos \beta$$，即$$\sin x \cos x = 3\sin \beta \cos \beta$$。
将$$m$$表示为：$$m = \frac{\tan(x + \beta)}{\tan(x - \beta)} = \frac{\sin(x + \beta)\cos(x - \beta)}{\cos(x + \beta)\sin(x - \beta)}$$。
利用正弦和余弦公式展开，化简后可得$$m = \frac{\sin x \cos \beta + \cos x \sin \beta}{\sin x \cos \beta - \cos x \sin \beta} \cdot \frac{\cos x \cos \beta + \sin x \sin \beta}{\cos x \cos \beta - \sin x \sin \beta}$$。
代入$$\sin x \cos x = 3\sin \beta \cos \beta$$，化简得$$m = 2$$。
因此，正确答案是D。
9. 设$$α$$为锐角，若$$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{4}{5}$$，求$$\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$$的值。
由$$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{4}{5}$$，得$$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{5}$$。
利用正弦倍角公式：$$\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$$。
注意到$$\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right)\cos\frac{\pi}{6} - \cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right)\sin\frac{\pi}{6}$$。
由$$\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = 1 - 2\sin^2\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = 1 - 2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{7}{25}$$。
代入计算：$$\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{24}{25} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7}{25} \cdot \frac{1}{2} = \frac{24\sqrt{3} - 7}{50}$$。
因此，正确答案是A。
10. 已知$$0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}$$，且$$\cos(\alpha - \beta) = \frac{63}{65}$$，$$\sin \beta = \frac{12}{13}$$，求$$\sin \alpha$$的值。
由$$\sin \beta = \frac{12}{13}$$，得$$\cos \beta = \frac{5}{13}$$。
由$$\cos(\alpha - \beta) = \frac{63}{65}$$，得$$\sin(\alpha - \beta) = \sqrt{1 - \left(\frac{63}{65}\right)^2} = \frac{16}{65}$$。
利用正弦和公式：$$\sin \alpha = \sin[(\alpha - \beta) + \beta] = \sin(\alpha - \beta)\cos \beta + \cos(\alpha - \beta)\sin \beta$$。
代入已知值：$$\sin \alpha = \frac{16}{65} \cdot \frac{5}{13} + \frac{63}{65} \cdot \frac{12}{13} = \frac{80}{845} + \frac{756}{845} = \frac{836}{845} = \frac{4}{5}$$。
因此，正确答案是D。
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