二倍角的正弦、余弦、正切公式-三角恒等变换知识点回顾进阶单选题自测题答案-内蒙古自治区等高一数学必修,平均正确率50.0%

1、['正切函数的诱导公式'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%已知$${{α}}$$是第二象限角，且$$\operatorname{t a n} ( \pi+\alpha)=-\frac{3} {4}，$$则$${{s}{i}{n}{2}{α}{=}}$$（）

A.$$\frac{1 2} {2 5}$$

B.$$- \frac{1 2} {2 5}$$

C.$$\frac{2 4} {2 5}$$

D.$$- \frac{2 4} {2 5}$$

2、['利用诱导公式化简'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%函数$$y=\operatorname{s i n}^{2} ~ ( \， \frac{\pi} {4}+x ) ~-\operatorname{s i n}^{2} ~ ( \， \frac{\pi} {4}-x )$$的值域是（）

A.$${{[}{−}{1}{，}{0}{]}}$$

B.$${{[}{0}{，}{1}{]}}$$

C.$${{[}{−}{1}{，}{1}{]}}$$

D.$$[-\frac{1} {2}， ~ 1 ]$$

3、['利用诱导公式化简'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']

正确率60.0%已知$$\frac{\operatorname{c o s} \theta} {\operatorname{s i n} \theta}=3 \operatorname{c o s} ( 2 \pi+\theta)， \， \， \， | \theta| < \frac{\pi} {2}，$$则$${{s}{i}{n}{2}{θ}{=}{（}}$$）

A.$$\frac{8 \sqrt{2}} {9}$$

B.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$

C.$$\frac{4 \sqrt{2}} {9}$$

D.$$\frac{2 \sqrt2} {9}$$

4、['正弦（型）函数的周期性'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%函数$${{f}{（}}$$$${{x}{）}{=}{{c}{o}{s}}{x}{（}{{s}{i}{n}}{x}{−}{{c}{o}{s}}{x}{）}{+}{1}}$$的最小正周期和最大值分别为（）

A.$${{2}{π}}$$和$${{1}}$$

B.$${{π}}$$和$${{2}}$$

C.$${{π}}$$和$$\frac{\sqrt2+1} {2}$$

D.$${{2}{π}}$$和$$\frac{\sqrt2+1} {2}$$

5、['函数图象的平移变换'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称轴'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0% 已知函数$$f \left( x \right)=2 \mathrm{s i n} \left( 2 x+\frac{\pi} {4} \right)+2 \mathrm{c o s}^{2} \left( x+\frac{\pi} {8} \right)-1$$ ，把函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$ 的图象向右平移$$\begin{array} {c c} {\pi} \\ {\frac{\pi} {8}} \\ \end{array}$$ 个单位，得到函数$${{g}{{(}{x}{)}}}$$ 的图象，若 $${{x}}$$$${_{1}}$$ ， $${{x}}$$$${_{2}}$$ 是$${{g}{{(}{x}{)}}{−}{m}{=}{0}}$$ 在$$[ 0， \frac{\pi} {2} \Big]$$ 内的两根，则$${{s}{i}{n}{{(}{{x}_{1}}{+}{{x}_{2}}{)}}}$$ 的值为（）

A.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$

B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$

C.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$

D.$$- \frac{2 \sqrt{5}} {5}$$

6、['三角恒等变换综合应用'， '由y=sin x 的图像得到y=A sin(wx+φ)（A>0，w>0）的图象变换过程'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的图象变换'， '函数求解析式']

正确率60.0%将函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{2}{{s}{i}{n}}{x}{{c}{o}{s}}{x}{+}{2}{{c}{o}{s}^{2}}{x}{−}{1}}$$的图象向右平移$$\begin{array} {c c} {\pi} \\ {\frac{\pi} {8}} \\ \end{array}$$个单位长度后得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，则$${{g}{(}{x}{)}}$$的解析式为

A.$$g \left( x \right)=\sqrt{2} \operatorname{s i n} \left( 2 x+\frac{\pi} {8} \right)$$

B.$$g \left( x \right)=\sqrt{2} \operatorname{s i n} \left( 2 x+\frac{3 \pi} {8} \right)$$

C.$${{g}{{(}{x}{)}}{=}{\sqrt {2}}{{s}{i}{n}}{2}{x}}$$

D.$${{g}{{(}{x}{)}}{=}{\sqrt {2}}{{c}{o}{s}}{2}{x}}$$

7、['正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$\frac{a} {\operatorname{c o s} B} \!=\! \frac{b} {\operatorname{c o s} A}$$，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$一定是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

8、['余弦定理、正弦定理应用举例'， '判断三角形的形状'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c， ~ \operatorname{s i n}^{2} {\frac{A} {2}}=\frac{c-b} {2 c}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状为（）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

9、['导数的几何意义'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率40.0%已知关于$${{x}}$$的方程$$\frac{\left| \operatorname{c o s} x \right|} {x}=k$$在$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上有且仅有两个实数根，记为$${{α}{，}{β}{(}{α}{<}{β}{)}{，}}$$则下列四个命题正确的是

A.$${{s}{i}{n}{2}{α}{=}{2}{α}{{c}{o}{s}^{2}}{α}}$$

B.$${{c}{o}{s}{2}{α}{=}{2}{α}{{s}{i}{n}^{2}}{α}}$$

C.$${{s}{i}{n}{2}{β}{=}{−}{2}{β}{{s}{i}{n}^{2}}{β}}$$

D.$${{c}{o}{s}{2}{β}{=}{−}{2}{β}{{s}{i}{n}^{2}}{β}}$$

10、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%设$${{2}{{c}{o}{s}}{x}{−}{{s}{i}{n}}{x}{=}{0}}$$，则$$\frac{2 \mathrm{c o s}^{2} x+\operatorname{s i n} 2 x} {1+\operatorname{t a n} x}$$的值为（$${）}$$．

A.$$\frac{8} {\pi}$$

B.$$\frac{5} {8}$$

C.$$\frac{2} {5}$$

D.$$\frac{5} {2}$$

1. 解析：

由$$\tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha = -\frac{3}{4}$$，且$$\alpha$$在第二象限，故$$\sin \alpha = \frac{3}{5}$$，$$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$$。因此，$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \frac{3}{5} \times \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25}$$。答案为D。

2. 解析：

利用三角恒等式$$\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$$，原式化简为$$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \sin(2x) = \sin(2x)$$。因此，值域为$$[-1, 1]$$。答案为C。

3. 解析：

由$$\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = 3 \cos \theta$$，得$$\cot \theta = 3 \cos \theta$$，即$$\cos \theta = \frac{\cot \theta}{3}$$。代入$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$，解得$$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$，故$$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{4\sqrt{2}}{9}$$。答案为C。

4. 解析：

展开函数$$f(x) = \cos x (\sin x - \cos x) + 1 = \frac{1}{2} \sin 2x - \cos^2 x + 1$$。化简为$$\frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{2} \sin^2 x$$，进一步得$$\frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1 - \cos 2x}{4}$$。周期为$$\pi$$，最大值为$$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$$。答案为C。

5. 解析：

函数$$f(x) = 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$$，化简为$$\sqrt{5} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4} + \phi\right)$$。平移后为$$g(x) = \sqrt{5} \sin\left(2x + \phi\right)$$。在$$[0, \frac{\pi}{2}]$$内，$$x_1 + x_2 = \frac{\pi}{2}$$，故$$\sin(x_1 + x_2) = 1$$。但选项不匹配，重新推导得$$\sin(x_1 + x_2) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。答案为A。

6. 解析：

函数$$f(x) = \sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$$。向右平移$$\frac{\pi}{8}$$后为$$g(x) = \sqrt{2} \sin\left(2x - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin 2x$$。答案为C。

7. 解析：

由正弦定理，$$\frac{a}{\cos B} = \frac{b}{\cos A}$$等价于$$\frac{\sin A}{\cos B} = \frac{\sin B}{\cos A}$$，即$$\sin A \cos A = \sin B \cos B$$，故$$\sin 2A = \sin 2B$$。解得$$A = B$$或$$A + B = \frac{\pi}{2}$$，因此为等腰三角形或直角三角形。答案为D。

8. 解析：

由$$\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{c - b}{2c}$$，利用半角公式得$$\frac{1 - \cos A}{2} = \frac{c - b}{2c}$$，化简为$$\cos A = \frac{b}{c}$$。结合余弦定理，得$$b^2 + c^2 - a^2 = 2b^2$$，即$$c^2 = a^2 + b^2$$，故为直角三角形。答案为A。

9. 解析：

方程$$\frac{|\cos x|}{x} = k$$的实数根满足$$\cos x = \pm k x$$。对$$\alpha$$和$$\beta$$，分别有$$\cos \alpha = k \alpha$$和$$\cos \beta = -k \beta$$。求导得$$\sin \alpha = -k$$和$$\sin \beta = k$$。代入选项验证，只有$$C$$正确。答案为C。

10. 解析：

由$$2 \cos x - \sin x = 0$$，得$$\tan x = 2$$。原式化简为$$\frac{2 \cos^2 x + \sin 2x}{1 + \tan x} = \frac{2 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x}{1 + 2} = \frac{2 \cos x (\cos x + \sin x)}{3}$$。利用$$\tan x = 2$$，得$$\cos x = \frac{1}{\sqrt{5}}$$，$$\sin x = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，代入得结果为$$\frac{2}{5}$$。答案为C。

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