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正确率60.0%已知$$\sqrt{2} \mathrm{s i n} \left( \alpha+\frac{\pi} {4} \right)=\mathrm{s i n} \alpha\mathrm{t a n} \frac{\alpha} {2}-1.$$则$$\mathrm{t a n} \alpha=$$（）
A
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
2、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%$$\operatorname{c o s} 7^{\circ} \operatorname{c o s} 3 7^{\circ}+\operatorname{c o s} 8 3^{\circ} \operatorname{c o s} 5 3^{\circ}=$$（）
C
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
3、['利用诱导公式化简'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%$$\operatorname{s i n} 4 5^{0} \operatorname{c o s} 1 5^{0}-\operatorname{c o s} 4 5^{0} \operatorname{s i n} 1 6 5^{0}$$的值是（$${）}$$。
B
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
4、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数基本关系的综合应用']正确率60.0%已知$$0 < \alpha< \frac{\pi} {2}， \， \， \， \frac{\pi} {2} < \beta< \pi， \， \， \operatorname{c o s} ( \alpha+\frac{\pi} {4} )=\frac{1} {3}， \， \， \operatorname{s i n} ( \frac{\beta} {2}+\frac{\pi} {4} )=\frac{\sqrt{3}} {3}$$，则$$\operatorname{c o s} ( \alpha-\frac{\beta} {2} )=\alpha$$）
C
A.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {9}$$
D.$$- \frac{\sqrt6} {9}$$
5、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数基本关系的综合应用']正确率40.0%svg异常
C
A.$$\frac{1 6} {6 5}$$
B.$$- \frac{1 6} {6 5}$$
C.$$\frac{5 6} {6 5}$$
D.$$- \frac{5 6} {6 5}$$
6、['正弦定理及其应用'， '积化和差公式与和差化积公式'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知
，则$${{△}{A}{B}{C}}$$为$${{(}{)}}$$
B
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.锐角非等边三角形
D.钝角三角形
7、['正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边长分别是$$a， b， c$$，若$$c-a \operatorname{c o s} B=( 2 a-b ) \operatorname{c o s} A$$，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的形状为$${{(}{)}}$$三角形
D
A.等腰
B.直角
C.等腰直角
D.等腰或直角
8、['两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \beta=\frac{\sqrt{3}} {2}， ~ ~ \operatorname{c o s} \alpha+\operatorname{s i n} \beta=\frac{1} {2}，$$则$$\operatorname{s i n} ( \alpha+\beta)=$$
A
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
9、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%已知
则$$\operatorname{c o s} ~ ( \ a+\frac{2 \pi} {3} )$$的值是（）
A
A.$$- \frac{4} {5}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$- \frac{3} {5}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
10、['利用诱导公式化简'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{=}{{1}{5}^{∘}}}$$，则$$\sqrt3 \operatorname{s i n} A-\operatorname{c o s} ( B+C )$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$
1. 解析：
首先展开左边的表达式：
$$ \sqrt{2} \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sin \alpha + \cos \alpha $$
右边的表达式为：
$$ \sin \alpha \tan \frac{\alpha}{2} - 1 = \sin \alpha \cdot \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} - 1 = 1 - \cos \alpha - 1 = -\cos \alpha $$
因此，方程变为：
$$ \sin \alpha + \cos \alpha = -\cos \alpha $$
整理得：
$$ \sin \alpha = -2 \cos \alpha $$
两边除以 $$ \cos \alpha $$ 得：
$$ \tan \alpha = -2 $$
答案为：A. $$-2$$
2. 解析：
利用积化和差公式：
$$ \cos 7^\circ \cos 37^\circ = \frac{1}{2} [\cos (37^\circ + 7^\circ) + \cos (37^\circ - 7^\circ)] = \frac{1}{2} [\cos 44^\circ + \cos 30^\circ] $$
$$ \cos 83^\circ \cos 53^\circ = \frac{1}{2} [\cos (83^\circ + 53^\circ) + \cos (83^\circ - 53^\circ)] = \frac{1}{2} [\cos 136^\circ + \cos 30^\circ] $$
将两部分相加：
$$ \frac{1}{2} [\cos 44^\circ + \cos 136^\circ + 2 \cos 30^\circ] $$
注意到 $$ \cos 136^\circ = -\cos 44^\circ $$，因此：
$$ \frac{1}{2} [2 \cos 30^\circ] = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
答案为：C. $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$
3. 解析：
注意到 $$ \sin 165^\circ = \sin (180^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ $$，因此表达式可以写成：
$$ \sin 45^\circ \cos 15^\circ - \cos 45^\circ \sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 15^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $$
答案为：B. $$\frac{1}{2}$$
4. 解析：
已知 $$ \cos \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{3} $$，可以求出：
$$ \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^2} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} $$
已知 $$ \sin \left( \frac{\beta}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3} $$，可以求出：
$$ \cos \left( \frac{\beta}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$
我们需要计算 $$ \cos \left( \alpha - \frac{\beta}{2} \right) $$，可以表示为：
$$ \cos \left( \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) - \left( \frac{\beta}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right) $$
利用余弦差公式：
$$ \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $$
代入得：
$$ \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{9} + \frac{2 \sqrt{6}}{9} = \frac{3 \sqrt{6}}{9} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$
但选项中没有这个结果，可能是题目描述有误或选项不全。
答案为：B. $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$（最接近的选项）
5. 解析：
题目不完整，无法解析。
6. 解析：
题目不完整，无法解析。
7. 解析：
利用余弦定理和正弦定理，将条件 $$ c - a \cos B = (2a - b) \cos A $$ 化简：
由余弦定理，$$ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} $$，$$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $$
代入后化简，可以得到 $$ a = b $$ 或 $$ A = 90^\circ $$，因此三角形为等腰或直角三角形。
答案为：D. 等腰或直角
8. 解析：
将两个方程平方相加：
$$ (\sin \alpha + \cos \beta)^2 + (\cos \alpha + \sin \beta)^2 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 $$
展开得：
$$ \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta + \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} $$
化简得：
$$ 2 + 2 \sin (\alpha + \beta) = 1 $$
解得：
$$ \sin (\alpha + \beta) = -\frac{1}{2} $$
答案为：A. $$-\frac{1}{2}$$
9. 解析：
题目不完整，无法解析。
10. 解析：
在三角形中，$$ B + C = 180^\circ - A = 165^\circ $$，因此：
$$ \cos (B + C) = \cos 165^\circ = -\cos 15^\circ $$
原式变为：
$$ \sqrt{3} \sin 15^\circ + \cos 15^\circ $$
利用辅助角公式：
$$ 2 \sin (15^\circ + 30^\circ) = 2 \sin 45^\circ = \sqrt{2} $$
答案为：C. $$\sqrt{2}$$