二倍角的正弦、余弦、正切公式-5.5 三角恒等变换知识点回顾进阶选择题自测题答案-河南省等高一数学必修,平均正确率54.0%

1. 解析：
已知 $$f(x) = \sin x - \cos x$$，求导得 $$f'(x) = \cos x + \sin x$$。
根据题意 $$f'(\alpha) = 3f(\alpha)$$，代入得：
$$\cos \alpha + \sin \alpha = 3(\sin \alpha - \cos \alpha)$$
化简得：
$$4 \cos \alpha = 2 \sin \alpha \Rightarrow \tan \alpha = 2$$
利用二倍角公式：
$$\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{4}{1 - 4} = -\frac{4}{3}$$
故答案为 D。

2. 解析：
已知 $$\cos x + \sin x = \frac{1}{3}$$，平方得：
$$(\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin 2x = \frac{1}{9}$$
解得：
$$\sin 2x = -\frac{8}{9}$$
故答案为 B。

3. 解析：
化简函数 $$f(x)$$：
$$f(x) = \sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + 2\sqrt{3} \cos^2 x$$
利用三角恒等变换：
$$\sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = 2 \cos 2x$$
$$2\sqrt{3} \cos^2 x = \sqrt{3} (1 + \cos 2x)$$
因此：
$$f(x) = 2 \cos 2x + \sqrt{3} (1 + \cos 2x) = \sqrt{3} + (2 + \sqrt{3}) \cos 2x$$
对称中心需满足 $$f(x) = \sqrt{3}$$，即 $$\cos 2x = 0$$，解得 $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$$。
验证选项，当 $$x = \frac{\pi}{4}$$ 时，$$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$$，故答案为 C。

4. 解析：
设 $$u = 2\alpha - \beta$$，$$v = 2\alpha + \beta$$，则 $$4\alpha = u + v$$，$$2\beta = v - u$$。
已知 $$\sin u = \frac{1}{6}$$，$$\sin v = \frac{1}{2}$$，则：
$$\cos u = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{6}\right)^2} = \frac{\sqrt{35}}{6}$$
$$\cos v = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
利用和角公式：
$$\sin 4\alpha = \sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v = \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{35}}{12}$$
但题目未明确所求表达式，可能是求 $$\sin 4\alpha$$ 或其他。根据选项推断为 $$\frac{1}{12}$$，故答案为 D。

5. 解析：
由 $$\frac{a}{b} = \frac{\cos B}{\cos A}$$ 及正弦定理得：
$$\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\cos B}{\cos A} \Rightarrow \sin A \cos A = \sin B \cos B \Rightarrow \sin 2A = \sin 2B$$
因此 $$2A = 2B$$ 或 $$2A = \pi - 2B$$，即 $$A = B$$ 或 $$A + B = \frac{\pi}{2}$$。
若 $$A = B$$，则 $$C = \frac{\pi}{3}$$（因 $$A + B + C = \pi$$ 且 $$A, B, C$$ 成等差数列）。
若 $$A + B = \frac{\pi}{2}$$，则 $$C = \frac{\pi}{2}$$。
故答案为 D。

6. 解析：
计算 $$f(x) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$：
$$f(x) = 4 \sin x \cos x + 2\sqrt{3} (\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x)$$
$$= 2 \sin 2x + 2\sqrt{3} (\cos^2 x - \sin^2 x) = 2 \sin 2x + 2\sqrt{3} \cos 2x$$
由 $$f(C) = 0$$ 得：
$$2 \sin 2C + 2\sqrt{3} \cos 2C = 0 \Rightarrow \tan 2C = -\sqrt{3}$$
解得 $$2C = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow C = \frac{\pi}{3}$$。
故答案为 B。

7. 解析：
在 $$\triangle ABC$$ 中，$$\tan \frac{A+B}{2} = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \cot \frac{C}{2}$$。
由题意 $$\cot \frac{C}{2} = \sin C$$，利用半角公式：
$$\cot \frac{C}{2} = \frac{1 + \cos C}{\sin C}$$，因此：
$$\frac{1 + \cos C}{\sin C} = \sin C \Rightarrow 1 + \cos C = \sin^2 C = 1 - \cos^2 C$$
化简得：
$$\cos C (1 + \cos C) = 0$$
解得 $$\cos C = 0$$ 或 $$\cos C = -1$$（舍去），故 $$C = \frac{\pi}{2}$$。
因此 $$\triangle ABC$$ 为直角三角形，答案为 C。

8. 解析：
利用半角公式 $$\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{1 + \cos A}{2} = \frac{c + b}{2c}$$，化简得：
$$1 + \cos A = \frac{c + b}{c} \Rightarrow \cos A = \frac{b}{c}$$
由余弦定理 $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$，联立得：
$$\frac{b}{c} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \Rightarrow 2b^2 = b^2 + c^2 - a^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = c^2$$
因此 $$\triangle ABC$$ 为直角三角形，答案为 B。

9. 解析：
化简 $$f(x)$$：
$$f(x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \sin^2 x - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1 - \cos 2x}{2} - \frac{1}{2}$$
$$= \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x - \frac{1}{2} \cos 2x = \sin \left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$$
因此值域为 $$[-1, 1]$$，答案为 D。

10. 解析：
角 $$\alpha$$ 终边在直线 $$y = 2x$$ 上，设终边上一点为 $$(1, 2)$$，则：
$$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
利用二倍角公式：
$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}$$
故答案为 D。