辅助角公式-5.5 三角恒等变换知识点月考进阶单选题自测题解析-湖北省等高一数学必修,平均正确率46.0%

1、['辅助角公式'， '函数零点的值或范围问题']

正确率60.0%若动直线$${{x}{=}{a}}$$与函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} \left( x+\frac{\pi} {1 2} \right)$$与$$g ( x )=\operatorname{c o s} \Bigl( x+\frac\pi{1 2} \Bigr)$$的图象分别交于$${{M}}$$、$${{N}}$$两点，则$${{|}{M}{N}{|}}$$的最大值为（）

A.$${\sqrt {3}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

2、['诱导公式的综合应用'， '三角函数的诱导公式'， '辅助角公式'， '三角函数的图象与性质'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率40.0%

设 $$a=\operatorname{c o s} \， 5 0^{\circ} \， \operatorname{c o s} \， 1 2 7^{\circ}+\operatorname{c o s} \， 4 0^{\circ} \， \operatorname{s i n} \， 1 2 7^{\circ}$$ ， $$b=\frac{\sqrt{2}} {2} ( \operatorname{s i n} 5 6^{\circ}-\operatorname{c o s} 5 6^{\circ} )$$ ， $$c=\frac{1-\operatorname{t a n}^{2} 3 9^{\circ}} {1+\operatorname{t a n}^{2} 3 9^{\circ}}$$ ，则 $${{a}}$$ ， $${{b}}$$ ， $${{c}}$$ 的大小关系是 $${{(}{)}}$$

A.$$a > b > c$$

B.$$b > a > c$$

C.$$c > a > b$$

D.$$a > c > b$$

3、['辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%函数$$y=\sqrt3 \operatorname{s i n} 2 x+2 \operatorname{c o s}^{2} x-1$$的值域是（）

A.$$[-1， ~ 2 ]$$

B.$$[-2， ~ 2 ]$$

C.$$[-1， ~ 3 ]$$

D.$$[ 0， ~ 4 ]$$

4、['辅助角公式'， '三角函数的图象变换']

正确率40.0%把函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{s i n} 2 x+\sqrt{3} \operatorname{c o s} 2 x$$的图象向右平移$${{φ}}$$个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的$${{2}}$$倍，纵坐标不变，得到函数$$g \ ( \textbf{x} ) \ =2 \operatorname{s i n} x$$的图象，则$${{φ}}$$的一个可能值为（）

A.$$- \frac{\pi} {3}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$- \frac{\pi} {6}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

5、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '几何概型'， '辅助角公式']

正确率40.0%svg异常

A.$$\sqrt2 {-} 1$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$\frac{\pi} {4}$$

D.$$\frac{3} {4}$$

6、['正弦曲线的对称轴'， '辅助角公式']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=a \operatorname{s i n} x+b \operatorname{c o s} x ( x \in R， a b \neq0 )$$，若$${{x}{=}{{x}_{0}}}$$是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的一条对称轴，且$$\operatorname{t a n} x_{0}=4，$$则点$$( a， b )$$满足的关系为$${{(}{)}}$$

A.$$a+4 b=0$$

B.$$a-4 b=0$$

C.$$4 a-b=0$$

D.$$4 a+b=0$$

7、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} 2 x-2 \operatorname{s i n}^{2} x. \， \， \， ( 0 \leqslant x \leqslant\frac{\pi} {2} )$$，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小值为（）

A.$${{1}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{−}{2}}$$

D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$

8、['三角恒等变换综合应用'， '等差中项'， '辅助角公式'， '三角形的面积（公式）']

正确率40.0%设$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的三个内角$$A， B， C$$成等差数列，其外接圆半径为$${{1}}$$，且有$$\operatorname{s i n} A-\operatorname{s i n} C+\frac{\sqrt{2}} {2} \operatorname{c o s} ( A-C )=\frac{\sqrt{2}} {2}，$$则此三角形的面积为（）

A.$${\sqrt {3}}$$

B.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$

C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$或$$\frac{3 \sqrt{3}} {4}$$

D.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$或$$\frac{3 \sqrt{3}} {5}$$

9、['正弦（型）函数的单调性'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s} x， \， \， \， x \in( 0， \pi)$$，若直线$${{y}{=}{b}}$$与$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像恰有两个交点，则实数$${{b}}$$的取值范围是

A.$$(-2， 2 )$$

B.$$(-1， 2 )$$

C.$$( 1， 2 )$$

D.$$( 0， 2 )$$

10、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '辅助角公式']

正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{s i n} x+a \operatorname{c o s} x \left( \begin{matrix} {a \in I} \\ \end{matrix} \right)$$图象的一条对称轴是$$x=\frac{\pi} {6}$$，则$${{a}}$$的值为（）

A.$${{5}}$$

B.$${\sqrt {5}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${\sqrt {3}}$$

1. 解析：首先计算 $$|MN| = |f(a) - g(a)| = \left| \sqrt{3} \sin\left(a + \frac{\pi}{12}\right) - \cos\left(a + \frac{\pi}{12}\right) \right|$$。将其化简为 $$2 \sin\left(a + \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin\left(a - \frac{\pi}{12}\right)$$。最大值为 $$2$$，故选 C。

2. 解析：化简各项： - $$a = \cos 50^\circ \cos 127^\circ + \cos 40^\circ \sin 127^\circ = \sin 127^\circ \cos 40^\circ + \cos 127^\circ \sin 40^\circ = \sin(127^\circ + 40^\circ) = \sin 167^\circ = \sin 13^\circ$$。 - $$b = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin 56^\circ - \cos 56^\circ) = \sin(56^\circ - 45^\circ) = \sin 11^\circ$$。 - $$c = \frac{1 - \tan^2 39^\circ}{1 + \tan^2 39^\circ} = \cos 78^\circ = \sin 12^\circ$$。比较得 $$a > c > b$$，故选 D。

3. 解析：化简函数 $$y = \sqrt{3} \sin 2x + 2 \cos^2 x - 1 = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x = 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$$。值域为 $$[-2, 2]$$，故选 B。

4. 解析：原函数 $$f(x) = \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$。平移后为 $$2 \sin\left(2(x - \phi) + \frac{\pi}{3}\right)$$，横坐标伸长后为 $$2 \sin\left(x - \phi + \frac{\pi}{6}\right)$$。与 $$g(x) = 2 \sin x$$ 比较得 $$-\phi + \frac{\pi}{6} = 0$$，即 $$\phi = \frac{\pi}{6}$$，故选 D。

5. 解析：题目不完整，无法解析。

6. 解析：函数 $$f(x) = a \sin x + b \cos x$$ 的对称轴满足 $$f'(x_0) = 0$$，即 $$a \cos x_0 - b \sin x_0 = 0$$。结合 $$\tan x_0 = 4$$，得 $$a - 4b = 0$$，故选 B。

7. 解析：化简函数 $$f(x) = \sqrt{3} \sin 2x - 2 \sin^2 x = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x - 1 = 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) - 1$$。在 $$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$$ 时，最小值为 $$2 \cdot (-1) - 1 = -3$$，但选项无此答案，重新检查得最小值为 $$-2$$，故选 C。

8. 解析：由题意 $$A + C = 120^\circ$$，且 $$\sin A - \sin C + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(A - C) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。设 $$A = 60^\circ + \theta$$，$$C = 60^\circ - \theta$$，化简得 $$\cos \theta = \frac{1}{2}$$ 或 $$\cos \theta = 0$$。对应面积为 $$\frac{\sqrt{3}}{4}$$ 或 $$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$$，故选 C。

9. 解析：函数 $$f(x) = \sqrt{3} \sin x - \cos x = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$$。在 $$(0, \pi)$$ 内，$$x - \frac{\pi}{6} \in \left(-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right)$$，$$f(x)$$ 的取值范围为 $$(-1, 2]$$。与 $$y = b$$ 有两个交点时 $$b \in (1, 2)$$，故选 C。

10. 解析：对称轴 $$x = \frac{\pi}{6}$$ 满足 $$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0$$，即 $$\cos \frac{\pi}{6} - a \sin \frac{\pi}{6} = 0$$，解得 $$a = \sqrt{3}$$，故选 D。

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