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正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \alpha-\frac{\pi} {6} \right)=-\frac{\sqrt{2}} {3}，$$则$$\operatorname{c o s} \left( \frac\pi3-2 \alpha\right)=$$（）
C
A.$$- \frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
2、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '给值求值'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \Bigl( \frac{\pi} {1 2}+\alpha\Bigr)=\frac{\sqrt{2}} {4}，$$则$$\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {3}-2 a \right)=$$（）
B
A.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt{7}} {4}$$
D.$$- \frac{3} {4}$$
3、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '给值求值']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {6}-\alpha)=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {3}+\alpha)$$等于（）
C
A.$$- \frac{7} {9}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
4、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '给值求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} \alpha=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s}^{2} ( \frac{\alpha} {2}+\frac{\pi} {4} )=$$（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$${{0}}$$
5、['给值求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \theta=\frac{1} {3}，$$则$${{c}{o}{s}{2}{θ}{=}}$$（）
D
A.$$- \frac{2} {9}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$- \frac{7} {9}$$
D.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
6、['给值求值'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$${{α}}$$为锐角，且$$\operatorname{s i n} ( \alpha+\frac{\pi} {3} )=\frac{3} {5}，$$则$${{s}{i}{n}{（}{π}{−}{α}{）}{=}{（}}$$）
A
A.$$\frac{3+4 \sqrt{3}} {1 0}$$
B.$$\frac{4 \sqrt{3}-3} {1 0}$$
C.$$\frac{3 \pm4 \sqrt{3}} {1 0}$$
D.$$\frac{4 \sqrt{3} \pm3} {1 0}$$
7、['利用诱导公式求值'， '给值求值'， '两角和与差的余弦公式']正确率60.0%$$\operatorname{s i n} \left( \alpha-\frac{\pi} {1 2} \right)=\frac1 3$$，则$$\operatorname{c o s} \left( \alpha+\frac{5 \pi} {1 2} \right)$$的值是 （）
C
A.$$\pm\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{1} {3}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
8、['给值求值'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \alpha-\frac{\pi} {4} \right)=\frac{3} {5}， \， \， \， \alpha\in\left( \frac{\pi} {2}， \frac{5 \pi} {4} \right)，$$则$${{s}{i}{n}{α}{=}{（}}$$）
D
A.$$\frac{7 \sqrt{2}} {1 0}$$
B.$$- \frac{\sqrt2} {1 0}$$或$$\frac{7 \sqrt{2}} {1 0}$$
C.$$\pm\frac{\sqrt{2}} {1 0}$$
D.$$- \frac{\sqrt2} {1 0}$$
9、['给值求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {3}-x )=\frac{4} {5}，$$则$$\operatorname{c o s} ( \frac{2 \pi} {3}-2 x )$$的值为（）
D
A.$$- \frac{2 4} {2 5}$$
B.$$\frac{2 4} {2 5}$$
C.$$\frac{7} {2 5}$$
D.$$- \frac{7} {2 5}$$
10、['给值求值'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} ~ ( \alpha+\frac{\pi} {3} ) ~=-\frac{\sqrt{3}} {3} ~ ( \alpha$$为锐角$${）}$$，则$${{s}{i}{n}{α}{=}}$$（）
C
A.$$\frac{2 \sqrt2+\sqrt3} {6}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{2}-\sqrt{3}} {6}$$
C.$$\frac{\sqrt6+3} {6}$$
D.$$\frac{3-\sqrt{6}} {6}$$
1. 已知 $$\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$，求 $$\cos\left(\frac{\pi}{3}-2\alpha\right)$$。
解析：
设 $$\theta = \alpha - \frac{\pi}{6}$$，则 $$\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{3}$$。
利用余弦倍角公式：
$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-2\alpha\right) = \cos\left(2\theta\right) = 1 - 2\sin^2\theta = 1 - 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$。
答案为 C。
2. 已知 $$\sin\left(\frac{\pi}{12}+\alpha\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}$$，求 $$\sin\left(\frac{\pi}{3}-2\alpha\right)$$。
解析：
设 $$\theta = \frac{\pi}{12} + \alpha$$，则 $$\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{4}$$。
利用正弦倍角公式：
$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-2\alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-2\theta\right) = \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta = 1 - 2\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$。
答案为 B。
3. 若 $$\sin\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=\frac{1}{3}$$，求 $$\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$$。
解析：
设 $$\theta = \frac{\pi}{6} - \alpha$$，则 $$\sin\theta = \frac{1}{3}$$。
注意到 $$\frac{\pi}{3} + \alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$$，因此：
$$\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right) = \sin\theta = \frac{1}{3}$$。
答案为 C。
4. 若 $$\sin\alpha = \frac{1}{3}$$，求 $$\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$。
解析：
利用余弦平方公式：
$$\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)}{2} = \frac{1 - \sin\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{1}{3}$$。
答案为 C。
5. 已知 $$\sin\theta = \frac{1}{3}$$，求 $$\cos2\theta$$。
解析：
利用余弦倍角公式：
$$\cos2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 1 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$$。
答案为 D。
6. 已知 $$\alpha$$ 为锐角，且 $$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{5}$$，求 $$\sin(\pi - \alpha)$$。
解析：
设 $$\theta = \alpha + \frac{\pi}{3}$$，则 $$\sin\theta = \frac{3}{5}$$，且 $$\theta \in \left(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}\right)$$。
利用余弦公式：
$$\cos\theta = -\frac{4}{5}$$（因为 $$\theta$$ 在第二象限）。
因此：
$$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha = \sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\theta\cos\frac{\pi}{3} - \cos\theta\sin\frac{\pi}{3} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} - \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 + 4\sqrt{3}}{10}$$。
答案为 A。
7. 已知 $$\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{3}$$，求 $$\cos\left(\alpha + \frac{5\pi}{12}\right)$$。
解析：
设 $$\theta = \alpha - \frac{\pi}{12}$$，则 $$\sin\theta = \frac{1}{3}$$。
注意到 $$\alpha + \frac{5\pi}{12} = \theta + \frac{\pi}{2}$$，因此：
$$\cos\left(\alpha + \frac{5\pi}{12}\right) = -\sin\theta = -\frac{1}{3}$$。
答案为 C。
8. 已知 $$\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{5}$$，且 $$\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4}\right)$$，求 $$\sin\alpha$$。
解析：
设 $$\theta = \alpha - \frac{\pi}{4}$$，则 $$\sin\theta = \frac{3}{5}$$，且 $$\theta \in \left(\frac{\pi}{4}, \pi\right)$$。
利用余弦公式：
$$\cos\theta = -\frac{4}{5}$$（因为 $$\theta$$ 在第二象限）。
因此：
$$\sin\alpha = \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\theta\cos\frac{\pi}{4} + \cos\theta\sin\frac{\pi}{4} = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{10}$$。
答案为 D。
9. 若 $$\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \frac{4}{5}$$，求 $$\cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2x\right)$$。
解析：
设 $$\theta = \frac{\pi}{3} - x$$，则 $$\sin\theta = \frac{4}{5}$$。
注意到 $$\frac{2\pi}{3} - 2x = 2\theta$$，因此：
$$\cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2x\right) = \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta = 1 - 2\left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{32}{25} = -\frac{7}{25}$$。
答案为 D。
10. 已知 $$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$（$$\alpha$$ 为锐角），求 $$\sin\alpha$$。
解析：
设 $$\theta = \alpha + \frac{\pi}{3}$$，则 $$\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$，且 $$\theta \in \left(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}\right)$$。
利用正弦公式：
$$\sin\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$$（因为 $$\theta$$ 在第二象限）。
因此：
$$\sin\alpha = \sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\theta\cos\frac{\pi}{3} - \cos\theta\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6} + 3}{6}$$。
答案为 C。