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正确率60.0%已知$$\alpha\in\left( \frac{\pi} {2}， \ \pi\right)， \ \mathrm{s i n} \alpha=\frac{3} {5}，$$则$$\operatorname{c o s} \left( \pi-\frac\alpha2 \right)=$$（）
A
A.$$- \frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
C.$$- \frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
2、['半角公式']正确率60.0%若$$\mathrm{c o s} \alpha=-\frac{2} {3}， \， \， \， \alpha\in\left[ \pi， \， \， \frac{3 \pi} {2} \right]，$$则$$\operatorname{c o s} \frac{\alpha} {2}=$$（）
A
A.$$- \frac{\sqrt{6}} {6}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {6}$$
C.$$- \frac{\sqrt{3 0}} {6}$$
D.$$\frac{\sqrt{3 0}} {6}$$
3、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '半角公式']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中$$， ~ \operatorname{c o s} A=\frac{\sqrt{3}} {2}，$$则$$\operatorname{t a n} \frac{A} {2}=$$（）
C
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
D.$$\sqrt{2}-1$$
4、['同角三角函数的商数关系'， '半角公式']正确率60.0%已知$${{α}}$$是第二象限角，且$$3 \operatorname{s i n} \alpha+4 \operatorname{c o s} \alpha=0$$，则$$\operatorname{t a n} \frac{\alpha} {2}=( \rule{0.1 mm} {0.1 mm} )$$
A
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
5、['已知某个三角函数值，求其余三角函数值'， '半角公式']正确率60.0%设$${{α}}$$是第二象限角$$， ~ \mathrm{t a n} \alpha=-\frac{4} {3}，$$且$$\operatorname{s i n} \frac\alpha2 < \operatorname{c o s} \frac\alpha2，$$则$$\operatorname{c o s} \frac{\alpha} {2}=$$（）
A
A.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$- \frac{3} {5}$$
6、['利用诱导公式化简'， '对数（型）函数的定义域'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '半角公式'， '函数零点的概念'， '函数零点个数的判定'， '分段函数的图象']正确率19.999999999999996%函数$$f ( x )=4 \operatorname{c o s}^{2} \frac{x} {2} \mathrm{c o s} \Big( \frac{\pi} {2}-x \Big)-2 \operatorname{s i n} \， x-| \operatorname{l n} ( x+1 ) |$$的零点个数（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
7、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的平方关系'， '半角公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha={\frac{4} {5}}， \， \， \， \alpha\in( {\frac{\pi} {2}} \not\pi，$$则$$\operatorname{c o s} ( \frac{\alpha+\pi} {2} )=\alpha$$）
D
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
8、['半角公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} \alpha=\frac{1} {3}， \， \， \， \alpha\in( \pi， 2 \pi)，$$则$$\operatorname{c o s} \frac\alpha2$$等于$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
B.$$- \frac{\sqrt6} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
9、['余弦定理及其应用'， '半角公式']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\operatorname{c o s} \， \frac{C} {2}=\frac{\sqrt{5}} {5}， \， \， B C=1，$$$$A C=5，$$则$${{A}{B}{=}}$$（）
D
A.$${\sqrt {{3}{0}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
C.$${\sqrt {{2}{9}}}$$
D.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
10、['三角函数值在各象限的符号'， '同角三角函数的平方关系'， '半角公式']正确率60.0%已知$$\alpha\in\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)， \operatorname{s i n} \alpha=\frac{3} {5}$$，则$$\operatorname{t a n} \frac{\alpha} {2}=$$（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$- \frac{1} {3}$$
1. 已知 $$\alpha\in\left( \frac{\pi} {2}, \ \pi\right), \ \mathrm{sin} \alpha=\frac{3} {5}$$，求 $$\cos\left( \pi-\frac{\alpha}{2} \right)$$。
解析：
由于 $$\alpha$$ 在第二象限，$$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\frac{4}{5}$$。
利用半角公式，$$\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$（因为 $$\frac{\alpha}{2}$$ 在第一象限，$$\cos \frac{\alpha}{2}$$ 为负）。
因此，$$\cos\left( \pi - \frac{\alpha}{2} \right) = -\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$。
正确答案：B。
2. 若 $$\cos \alpha=-\frac{2} {3}, \, \alpha\in\left[ \pi, \, \frac{3 \pi} {2} \right]$$，求 $$\cos \frac{\alpha} {2}$$。
解析：
$$\alpha$$ 在第三象限，$$\frac{\alpha}{2}$$ 在第二象限，$$\cos \frac{\alpha}{2}$$ 为负。
利用半角公式，$$\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{2}{3}}{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{6}$$。
正确答案：A。
3. 在 $$\triangle ABC$$ 中，$$\cos A=\frac{\sqrt{3}} {2}$$，求 $$\tan \frac{A} {2}$$。
解析：
由 $$\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，得 $$A = \frac{\pi}{6}$$。
因此，$$\tan \frac{A}{2} = \tan \frac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3}$$。
正确答案：C。
4. 已知 $$\alpha$$ 是第二象限角，且 $$3 \sin \alpha + 4 \cos \alpha = 0$$，求 $$\tan \frac{\alpha}{2}$$。
解析：
由 $$3 \sin \alpha + 4 \cos \alpha = 0$$，得 $$\tan \alpha = -\frac{4}{3}$$。
利用半角公式，$$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$$。
由 $$\tan \alpha = -\frac{4}{3}$$ 及 $$\alpha$$ 在第二象限，解得 $$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$，$$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$$。
因此，$$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)}{\frac{4}{5}} = 2$$。
正确答案：A。
5. 设 $$\alpha$$ 是第二象限角，$$\tan \alpha = -\frac{4}{3}$$，且 $$\sin \frac{\alpha}{2} < \cos \frac{\alpha}{2}$$，求 $$\cos \frac{\alpha}{2}$$。
解析：
由 $$\tan \alpha = -\frac{4}{3}$$ 及 $$\alpha$$ 在第二象限，得 $$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$，$$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$$。
利用半角公式，$$\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$（因为 $$\sin \frac{\alpha}{2} < \cos \frac{\alpha}{2}$$，$$\frac{\alpha}{2}$$ 在第一象限）。
正确答案：B。
6. 函数 $$f(x) = 4 \cos^2 \frac{x}{2} \cos\left( \frac{\pi}{2} - x \right) - 2 \sin x - |\ln(x+1)|$$ 的零点个数。
解析：
化简函数：
$$4 \cos^2 \frac{x}{2} \cos\left( \frac{\pi}{2} - x \right) = 4 \cos^2 \frac{x}{2} \sin x = 2 (1 + \cos x) \sin x$$。
因此，$$f(x) = 2 \sin x (1 + \cos x) - 2 \sin x - |\ln(x+1)| = 2 \sin x \cos x - |\ln(x+1)| = \sin 2x - |\ln(x+1)|$$。
通过图像分析，$$\sin 2x$$ 和 $$|\ln(x+1)|$$ 在 $$x > -1$$ 上有两个交点。
正确答案：B。
7. 已知 $$\sin \alpha = \frac{4}{5}, \, \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，求 $$\cos \left( \frac{\alpha + \pi}{2} \right)$$。
解析：
由 $$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$ 及 $$\alpha$$ 在第二象限，得 $$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$$。
利用和角公式，$$\cos \left( \frac{\alpha + \pi}{2} \right) = -\sin \frac{\alpha}{2}$$。
利用半角公式，$$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$。
因此，$$\cos \left( \frac{\alpha + \pi}{2} \right) = -\frac{2 \sqrt{5}}{5}$$。
正确答案：D。
8. 已知 $$\cos \alpha = \frac{1}{3}, \, \alpha \in (\pi, 2\pi)$$，求 $$\cos \frac{\alpha}{2}$$。
解析：
$$\alpha$$ 在第三或第四象限，$$\frac{\alpha}{2}$$ 在第二或第四象限。
利用半角公式，$$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{3}}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$$。
由于 $$\frac{\alpha}{2}$$ 在第二象限时 $$\cos \frac{\alpha}{2}$$ 为负，在第四象限时为正，但题目未限定范围，通常取负。
正确答案：B。
9. 在 $$\triangle ABC$$ 中，$$\cos \frac{C}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$BC = 1$$，$$AC = 5$$，求 $$AB$$。
解析：
由 $$\cos \frac{C}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，得 $$\cos C = 2 \cos^2 \frac{C}{2} - 1 = -\frac{3}{5}$$。
利用余弦定理，$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C = 25 + 1 - 2 \cdot 5 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = 30$$。
因此，$$AB = \sqrt{30}$$。
正确答案：A。
10. 已知 $$\alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right), \sin \alpha = \frac{3}{5}$$，求 $$\tan \frac{\alpha}{2}$$。
解析：
由 $$\sin \alpha = \frac{3}{5}$$ 及 $$\alpha$$ 在第一象限，得 $$\cos \alpha = \frac{4}{5}$$。
利用半角公式，$$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{1}{3}$$。
正确答案：C。