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正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} \theta=\frac{3} {5}， ~ \theta$$是第二象限角，则$$\frac{2+\mathrm{t a n} \frac{\theta} {2}} {2-\mathrm{t a n} \frac{\theta} {2}}=$$（）
D
A.$$- \frac{1} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{5}}$$
2、['半角公式']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} \theta=\frac{3} {5}， \， \， \， \frac{5 \pi} {2} < \， \theta< \， 3 \pi，$$则$$\mathrm{t a n} \frac{\theta} {2}+\mathrm{c o s} \frac{\theta} {2}=$$（）
B
A.$$3+\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
B.$$3-\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
C.$$3+\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
D.$$3-\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
3、['半角公式']正确率60.0%已知$$\mathrm{c o s} \alpha=-\frac{3} {5}， \， \， \， \frac{\pi} {2} < \， \alpha< \， \pi，$$则$$\operatorname{s i n} \frac{\alpha} {2}$$等于（）
D
A.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$- \frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
4、['半角公式']正确率60.0%若$$\pi< \alpha< 2 \pi，$$则$$\operatorname{s i n} \frac{\alpha} {2}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} ).$$
A
A.$$\sqrt{\frac{1-\operatorname{c o s} \alpha} {2}}$$
B.$$- \sqrt{\frac{1-\operatorname{c o s} \alpha} {2}}$$
C.$$\sqrt{\frac{1+\operatorname{c o s} \alpha} {2}}$$
D.$$- \sqrt{\frac{1+\operatorname{c o s} \alpha} {2}}$$
5、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的平方关系'， '半角公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha={\frac{4} {5}}， \， \， \， \alpha\in( {\frac{\pi} {2}} \not\pi，$$则$$\operatorname{c o s} ( \frac{\alpha+\pi} {2} )=\alpha$$）
D
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
6、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '半角公式'， '余弦（型）函数的单调性']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{c o s}^{2} ( \varpi x+\frac{\pi} {6} )-1 ( \varpi> 0 )$$在区间$$[ \frac{\pi} {6}， \ \frac{\pi} {2} ]$$内单调递减，则$${{ϖ}}$$的最大值是（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
7、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '在给定区间上恒成立问题'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '辅助角公式'， '半角公式'， '三角函数的性质综合']正确率60.0%不等式$$\sqrt{2} \operatorname{s i n} \frac{x} {4} \operatorname{c o s} \frac{x} {4} \!+\! \sqrt{6} \operatorname{c o s}^{2} \frac{x} {4} \!-\! \frac{\sqrt{6}} {2} \!-\! m \! \geq\! 0$$对于$$x \in[-\frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {3} ]$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$$(-\infty，-\sqrt{2} )$$
B.$$(-\infty， \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$
C.$$[ \frac{\sqrt2} {2}， \sqrt2 ]$$
D.$${{[}{\sqrt {2}}{{，}{+}{∞}{)}}}$$
8、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '半角公式']正确率40.0%若$$\operatorname{s i n} 7 6^{\circ}=m$$，则$$\operatorname{c o s} 7^{\circ}$$可用含$${{m}}$$的式子表示为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\sqrt{\frac{1-m} {2}}$$
B.$$\sqrt{\frac{1+m} {2}}$$
C.$$\sqrt{\frac{1-m} {1+m}}$$
D.$$\sqrt{\frac{1+m} {1-m}}$$
9、['基本不等式的综合应用'， '半角公式']正确率40.0%已知$$m=\frac{\operatorname{t a n} 2 2. 5^{\circ}} {1-\operatorname{t a n}^{2} 2 2. 5^{\circ}}，$$则函数$$y=2 m \cdot x+\frac{3} {x-1}+1 ( x > 1 )$$的最小值是 （）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{2}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}{−}{2}}$$
10、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '半角公式']正确率40.0%已知$$\frac{1+\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta} {1+\operatorname{s i n} \theta-\operatorname{c o s} \theta}=\frac{1} {2}$$，则$$\operatorname{t a n} \theta=$$（）
D
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$$- \frac{4} {3}$$
以下是各题的详细解析： --- ### 1. **解析：** 已知 $$\sin \theta = \frac{3}{5}$$，且 $$\theta$$ 在第二象限，因此 $$\cos \theta = -\sqrt{1 - \sin^2 \theta} = -\frac{4}{5}$$。 利用半角公式计算 $$\tan \frac{\theta}{2}$$： $$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{\frac{3}{5}} = 3$$。 代入所求表达式： $$\frac{2 + \tan \frac{\theta}{2}}{2 - \tan \frac{\theta}{2}} = \frac{2 + 3}{2 - 3} = -5$$。 **答案：**D. $$-5$$
--- ### 2. **解析：** $$\theta$$ 的范围为 $$\frac{5\pi}{2} < \theta < 3\pi$$，即 $$\theta$$ 在第三象限。 由 $$\sin \theta = \frac{3}{5}$$，得 $$\cos \theta = -\frac{4}{5}$$。 利用半角公式： $$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{\frac{3}{5}} = 3$$， $$\cos \frac{\theta}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$。 因此： $$\tan \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2} = 3 - \frac{\sqrt{10}}{10}$$。 **答案：**B. $$3 - \frac{\sqrt{10}}{10}$$
--- ### 3. **解析：** $$\alpha$$ 在第二象限，$$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$$，故 $$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$。 利用半角公式： $$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{3}{5})}{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。 **答案：**D. $$\frac{2\sqrt{5}}{5}$$
--- ### 4. **解析：** 当 $$\pi < \alpha < 2\pi$$ 时，$$\frac{\alpha}{2}$$ 在第二或第四象限，$$\sin \frac{\alpha}{2}$$ 的符号取决于 $$\frac{\alpha}{2}$$ 的位置。 一般公式为： $$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$$。 由于题目未指定 $$\frac{\alpha}{2}$$ 的具体象限，但选项中仅有一个负号选项符合一般情况。 **答案：**B. $$- \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$$
--- ### 5. **解析：** $$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$，且 $$\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，故 $$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$$。 利用余弦加法公式： $$\cos \left(\frac{\alpha + \pi}{2}\right) = \cos \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin \frac{\alpha}{2}$$。 由半角公式： $$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$， 因此 $$\cos \left(\frac{\alpha + \pi}{2}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$。 **答案：**D. $$- \frac{2\sqrt{5}}{5}$$
--- ### 6. **解析：** 函数化简为 $$f(x) = \cos \left(2\varpi x + \frac{\pi}{3}\right)$$。 要求在区间 $$\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$$ 内单调递减，即导数 $$f'(x) = -2\varpi \sin \left(2\varpi x + \frac{\pi}{3}\right) \leq 0$$。 解得 $$\varpi \leq \frac{2}{3}$$。 **答案：**C. $$\frac{2}{3}$$
--- ### 7. **解析：** 不等式化简为 $$\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} + \sqrt{6} \cos \frac{x}{2} \geq m$$。 利用合角公式： $$2\sqrt{2} \sin \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) \geq m$$。 对于 $$x \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$$，最小值为 $$m \leq \sqrt{2}$$。 **答案：**B. $$(-\infty, \frac{\sqrt{2}}{2}]$$
--- ### 8. **解析：** 已知 $$\sin 76^\circ = m$$，利用余弦半角公式： $$\cos 7^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 14^\circ}{2}}$$。 由 $$\cos 14^\circ = \sin 76^\circ = m$$，故 $$\cos 7^\circ = \sqrt{\frac{1 + m}{2}}$$。 **答案：**B. $$\sqrt{\frac{1 + m}{2}}$$
--- ### 9. **解析：** 由 $$m = \frac{\tan 22.5^\circ}{1 - \tan^2 22.5^\circ} = \frac{1}{2} \tan 45^\circ = \frac{1}{2}$$。 函数为 $$y = x + \frac{3}{x - 1} + 1$$，令 $$t = x - 1$$（$$t > 0$$），则 $$y = t + \frac{3}{t} + 2$$。 最小值为 $$2 + 2\sqrt{3}$$。 **答案：**C. $$2 + 2\sqrt{3}$$
--- ### 10. **解析：** 化简方程： $$\frac{1 + \sin \theta + \cos \theta}{1 + \sin \theta - \cos \theta} = \frac{1}{2}$$。 利用万能公式，设 $$t = \tan \frac{\theta}{2}$$，解得 $$t = -\frac{1}{2}$$。 因此 $$\tan \theta = \frac{2t}{1 - t^2} = -\frac{4}{3}$$。 **答案：**D. $$- \frac{4}{3}$$
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