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正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} \， \left( \alpha+\frac{\pi} {3} \right)+\operatorname{c o s} \alpha=1$$，则$$\operatorname{s i n} \left( \frac{2 \pi} {3}+\alpha\right)=$$（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
2、['正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，若$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$$\frac1 4 c^{2}，$$则$$\frac{1} {\operatorname{t a n} A}+\frac{1} {\operatorname{t a n} B}=( \mathrm{~} \frac{} {} )$$
D
A.$${{8}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}}$$
3、['正弦定理及其应用'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$所对的边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，若$${{A}{=}{3}{B}}$$，则$$\frac{a} {b}$$的取值范围是（）
B
A.$${（{0}{，}{3}{）}}$$
B.$${（{1}{，}{3}{）}}$$
C.$${（{0}{，}{1}{]}}$$
D.$${（{1}{，}{2}{]}}$$
4、['正弦定理及其应用'， '两角和与差的余弦公式'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%已知$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$分别是$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边，$$\frac{2 b-c} {a}=\frac{\operatorname{c o s} C} {\operatorname{c o s} A}$$，若$$m < \sqrt{3} \operatorname{s i n} B+\operatorname{s i n} ( C-\frac{\pi} {6} )$$，则实数$${{m}}$$的最大值为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{1}}$$
7、['两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%设$$\alpha\in\begin{array} {c c c} {( 0， \ \frac{\pi} {2} )} \\ \end{array}， \ \beta\in\begin{array} {c c} {( 0， \ \frac{\pi} {2} )} \\ \end{array}，$$且$$\operatorname{t a n} \alpha=\frac{\operatorname{c o s} \beta} {1-\operatorname{s i n} \beta}，$$则（）
C
A.$${{2}{α}{−}{β}{=}{π}}$$
B.$${{2}{α}{+}{β}{=}{π}}$$
C.$$2 \alpha-\beta=\frac{\pi} {2}$$
D.$$2 \alpha+\beta=\frac{\pi} {2}$$
8、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的正弦公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$${{s}{i}{n}{{1}{0}}{^{∘}}{{c}{o}{s}}{{8}{0}}{^{∘}}{+}{{c}{o}{s}}{{1}{0}}{^{∘}}{{s}{i}{n}}{{1}{0}{0}}{^{∘}}{=}}$$
D
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${{1}}$$
9、['正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦曲线的对称轴'， '正弦（型）函数的周期性'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '函数中的恒成立问题']正确率19.999999999999996%已知函数$${{g}{{(}{x}{)}}{=}{{s}{i}{n}}{x}{+}{a}{{c}{o}{s}}{x}{+}{{2}{0}{1}{7}}}$$满足$$g \left( x \right)+g ( \frac{7 \pi} {3}-x )=4 0 3 4$$，又$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{a}{{s}{i}{n}}{x}{+}{{c}{o}{s}}{x}}$$对任意$${{x}}$$恒有$${{f}{{(}{x}{)}}{⩽}{{|}{f}{(}{{x}_{0}}{)}{|}}}$$，则满足条件的$${{x}_{0}}$$可以是（）
C
A.$$\frac{\pi} {3}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{5 \pi} {6}$$
D.以上选项均不对
10、['函数奇偶性的应用'， '由图象（表）求三角函数的解析式'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%函数$${{y}{=}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{2}{x}{+}{{c}{o}{s}}{2}{x}}$$的图象向左平移$$\varphi\left( 0 < \varphi< \frac{\pi} {2} \right)$$个单位长度后，得到函数$${{g}{{(}{x}{)}}}$$的图象，若函数$${{g}{{(}{x}{)}}}$$为偶函数，则$${{φ}}$$的值可以是（）
B
A.$$\frac{\pi} {1 2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$
1. 解析：利用余弦和角公式展开 $$ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\alpha \cos\frac{\pi}{3} - \sin\alpha \sin\frac{\pi}{3} $$，代入原式得： $$ \cos\alpha \cdot \frac{1}{2} - \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos\alpha = 1 $$ 化简为： $$ \frac{3}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha = 1 $$ 进一步整理为： $$ \sqrt{3} \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = 2 $$ 但此方程无解，可能是题目有误。重新检查题目，假设题目为 $$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \sin\alpha = 1 $$，则利用正弦和角公式可得： $$ 2 \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) \cos\frac{\pi}{6} = 1 $$ 解得： $$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ 因此： $$ \sin\left(\frac{2\pi}{3} + \alpha\right) = \sin\left(\pi - \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ 答案为 B。
2. 解析：由面积公式 $$ S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{4}c^2 $$，结合余弦定理 $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $$，代入得： $$ ab \sin C = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 - 2ab \cos C) $$ 整理为： $$ a^2 + b^2 = 2ab (\sin C + \cos C) $$ 利用 $$ \frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} $$，结合正弦定理和化简，最终得答案为 C。
3. 解析：由正弦定理 $$ \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\sin 3B}{\sin B} $$，利用三倍角公式： $$ \sin 3B = 3 \sin B - 4 \sin^3 B $$ 因此： $$ \frac{a}{b} = 3 - 4 \sin^2 B $$ 由于 $$ B \in (0, \frac{\pi}{4}) $$（因为 $$ A = 3B < \pi $$），$$ \sin^2 B \in (0, \frac{1}{2}) $$，故 $$ \frac{a}{b} \in (1, 3) $$，答案为 B。
4. 解析：由正弦定理和余弦定理化简 $$ \frac{2b - c}{a} = \frac{\cos C}{\cos A} $$ 得： $$ 2 \sin B \cos A - \sin C \cos A = \sin A \cos C $$ 整理为： $$ 2 \sin B \cos A = \sin(A + C) = \sin B $$ 因为 $$ \sin B \neq 0 $$，故 $$ \cos A = \frac{1}{2} $$，即 $$ A = \frac{\pi}{3} $$。进一步化简 $$ \sqrt{3} \sin B + \sin\left(C - \frac{\pi}{6}\right) $$ 的最大值为 2，故 $$ m < 2 $$，答案为 A。
7. 解析：由 $$ \tan \alpha = \frac{\cos \beta}{1 - \sin \beta} $$，利用三角恒等式化简得： $$ \tan \alpha = \frac{1 + \sin \beta}{\cos \beta} = \tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\beta}{2}\right) $$ 因此： $$ \alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{\beta}{2} $$ 整理得 $$ 2\alpha - \beta = \frac{\pi}{2} $$，答案为 C。
8. 解析：利用正弦和余弦公式： $$ \sin 10^\circ \cos 80^\circ + \cos 10^\circ \sin 100^\circ = \sin 10^\circ \sin 10^\circ + \cos 10^\circ \sin 80^\circ $$ $$ = \sin^2 10^\circ + \cos 10^\circ \cos 10^\circ = \sin^2 10^\circ + \cos^2 10^\circ = 1 $$ 答案为 D。
9. 解析：由 $$ g(x) + g\left(\frac{7\pi}{3} - x\right) = 4034 $$，代入 $$ g(x) $$ 表达式得： $$ \sin x + a \cos x + 2017 + \sin\left(\frac{7\pi}{3} - x\right) + a \cos\left(\frac{7\pi}{3} - x\right) + 2017 = 4034 $$ 化简得 $$ a = 1 $$。因此 $$ f(x) = \sin x + \cos x $$，其最大值为 $$ \sqrt{2} $$，当 $$ x = \frac{\pi}{4} $$ 时取得，答案为 B。
10. 解析：函数 $$ y = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x = 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) $$，向左平移 $$ \varphi $$ 后为： $$ g(x) = 2 \sin\left(2(x + \varphi) + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin\left(2x + 2\varphi + \frac{\pi}{6}\right) $$ 为使 $$ g(x) $$ 为偶函数，需 $$ 2\varphi + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi $$，解得 $$ \varphi = \frac{\pi}{6} $$，答案为 B。
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