两角和与差的正弦公式-三角恒等变换知识点月考进阶单选题自测题解析-北京市等高一数学必修,平均正确率46.0%

1、['两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} ( 2 \alpha-\beta)=\frac{1} {6}， ~ ~ \operatorname{s i n} ( 2 \alpha+\beta)=\frac{1} {2}，$$则$${{s}{i}{n}{α}{{c}{o}{s}}{α}{{c}{o}{s}}{β}{=}{（}}$$）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{1} {3}$$

C.$$\frac{1} {6}$$

D.$$\frac1 {1 2}$$

2、['两角和与差的余弦公式'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '三角函数的图象变换']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {6} )+\operatorname{c o s} ( 2 x+\frac{\pi} {6} )$$，将函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象向右平移$$\frac{3 \pi} {4}$$个单位后得到函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象，则函数$${{g}{（}{x}{）}}$$在$$[-\frac{\pi} {4}， \ \frac{\pi} {6} ]$$上的最小值为（）

A.$${{−}{2}}$$

B.$${{−}{1}}$$

C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$

3、['正弦（型）函数的周期性'， '两角和与差的余弦公式'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式']

正确率40.0%已知$${{f}{(}{x}{)}}$$$$= \operatorname{s i n} \left( 2 0 1 9 x+\frac{\pi} {6} \right)+\operatorname{c o s} \left( 2 0 1 9 x-\frac\pi3 \right)$$的最大值为$${{A}{，}}$$若存在实数$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}}$$使得对任意实数$${{x}{，}{f}{(}{{x}_{1}}{)}{⩽}{f}{(}{x}{)}{⩽}{f}{(}{{x}_{2}}{)}}$$恒成立，则$${{A}{|}{{x}_{1}}{−}{{x}_{2}}{|}}$$的最小值为（）

A.$$\frac{\pi} {2 \， 0 1 9}$$

B.$$\frac{4 \pi} {2 \; 0 1 9}$$

C.$$\frac{2 \pi} {2 \; 0 1 9}$$

D.$$\frac{\pi} {4 \; 0 3 8}$$

4、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的周期性'， '两角和与差的正弦公式']

正确率19.999999999999996%设$$f \left( \， x \right) \ =4 \cos\ ( \， \omega x-\frac{\pi} {6} ) \ \sin\omega x-\cos\ ( \， 2 \omega x+\pi)$$，其中$${{ω}{>}{0}{，}}$$若$${{f}{（}{x}{）}}$$在区间$$[-\frac{3 \pi} {2}， \ \frac{\pi} {2} ]$$上为增函数，则$${{ω}}$$的最大值为（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{1} {4}$$

C.$$\frac{1} {6}$$

D.$$\frac{1} {8}$$

5、['两角和与差的正弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的图象变换']

正确率60.0%将函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x+\operatorname{c o s}^{2} x-\frac1 2$$的图象向左平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位长度后得到$${{y}{=}{g}{(}{x}{)}}$$的图象，则$${{g}{(}{x}{)}}$$在$$[-\frac{\pi} {1 2}， \frac{\pi} {3} ]$$上的值域为$${{(}{)}}$$

A.$$[-\frac{1} {2}， 1 ]$$

B.$$[-\frac{\sqrt{3}} {2}， 1 ]$$

C.$$[-\frac{\sqrt{3}} {2}， \frac{1} {2} ]$$

D.$$[-\frac{1} {2}， \frac{\sqrt{3}} {2} ]$$

6、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \theta+\frac{\pi} {4} \right)=2 \operatorname{c o s} \left( \theta+\frac{\pi} {4} \right)，$$则$${{s}{i}{n}{2}{θ}{=}}$$（）

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$\frac{3} {1 0}$$

C.$$\frac{3} {5}$$

D.$$\frac{4} {5}$$

7、['正弦定理及其应用'， '两角和与差的正弦公式'， '特殊角的三角函数值']

正确率60.0%$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，已知$${{2}{c}{⋅}{{c}{o}{s}}{B}{=}{2}{a}{+}{b}}$$，则$${{∠}{C}{=}{(}{)}}$$

A.$${{3}{0}^{∘}}$$

B.$${{6}{0}^{∘}}$$

C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$

D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$

8、['两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']

正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {4} \!+\! \alpha)=\frac{1} {4}，$$则$${{s}{i}{n}{2}{α}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{7} {8}$$

B.$$\frac{\sqrt{1 5}} {8}$$

C.$$- \frac{\sqrt{1 5}} {8}$$

D.$$- \frac{7} {8}$$

9、['利用诱导公式求值'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系']

正确率40.0%若锐角$${{α}{，}{β}}$$满足$$\operatorname{c o s} ( \pi-\alpha)=-~ \frac{4} {5}， ~ ~ \operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=\frac{3} {5}$$，则$${{s}{i}{n}{β}}$$的值是$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1 7} {2 5}$$

B.$$\frac{3} {5}$$

C.$$\frac{7} {2 5}$$

D.$$\frac{1} {5}$$

10、['两角和与差的正弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率60.0%设实数$${{a}{，}{b}{，}{c}{，}{d}}$$满足$${{a}^{2}{+}{{b}^{2}}{=}{1}{，}{{c}^{2}}{+}{{d}^{2}}{=}{4}}$$，则$${{a}{c}{+}{b}{d}}$$的最大值是（）

A.$${{2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${\sqrt {5}}$$

D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$

1. 解析：利用和差公式展开已知条件：

$$ \sin(2\alpha - \beta) = \sin 2\alpha \cos \beta - \cos 2\alpha \sin \beta = \frac{1}{6} $$ $$ \sin(2\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \cos \beta + \cos 2\alpha \sin \beta = \frac{1}{2} $$

将两式相加和相减： $$ 2 \sin 2\alpha \cos \beta = \frac{2}{3} \Rightarrow \sin 2\alpha \cos \beta = \frac{1}{3} $$ $$ 2 \cos 2\alpha \sin \beta = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos 2\alpha \sin \beta = \frac{1}{6} $$

题目所求为： $$ \sin \alpha \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $$ 答案为 $$C$$。

2. 解析：首先化简函数 $$f(x)$$：

$$ f(x) = \sqrt{3} \sin(2x + \frac{\pi}{6}) + \cos(2x + \frac{\pi}{6}) = 2 \sin(2x + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = 2 \sin(2x + \frac{\pi}{3}) $$

平移后得到： $$ g(x) = 2 \sin(2(x - \frac{3\pi}{4}) + \frac{\pi}{3}) = 2 \sin(2x - \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = 2 \sin(2x - \frac{7\pi}{6}) $$

在区间 $$[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6}]$$ 上，$$2x - \frac{7\pi}{6}$$ 的范围为 $$[-\frac{5\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}]$$，最小值为 $$-1$$。答案为 $$B$$。

3. 解析：化简函数 $$f(x)$$：

$$ f(x) = \sin(2019x + \frac{\pi}{6}) + \cos(2019x - \frac{\pi}{3}) $$ $$ = \sin(2019x) \cos \frac{\pi}{6} + \cos(2019x) \sin \frac{\pi}{6} + \cos(2019x) \cos \frac{\pi}{3} + \sin(2019x) \sin \frac{\pi}{3} $$ $$ = \sin(2019x) (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos(2019x) (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) $$ $$ = \sqrt{3} \sin(2019x) + \cos(2019x) = 2 \sin(2019x + \frac{\pi}{6}) $$

最大值为 $$A = 2$$。$$f(x)$$ 的周期为 $$\frac{2\pi}{2019}$$，$$|x_1 - x_2|$$ 的最小值为半个周期 $$\frac{\pi}{2019}$$。答案为 $$A$$。

4. 解析：化简函数 $$f(x)$$：

$$ f(x) = 4 \cos(\omega x - \frac{\pi}{6}) \sin \omega x - \cos(2 \omega x + \pi) $$ $$ = 4 \cos(\omega x - \frac{\pi}{6}) \sin \omega x + \cos 2 \omega x $$ $$ = 2 [\sin(2 \omega x - \frac{\pi}{6}) + \sin \frac{\pi}{6}] + \cos 2 \omega x $$ $$ = 2 \sin(2 \omega x - \frac{\pi}{6}) + 1 + \cos 2 \omega x $$

进一步化简为： $$ f(x) = \sqrt{3} \sin 2 \omega x + 2 $$

增区间要求 $$\omega$$ 满足 $$\frac{3\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2 \omega}$$，解得 $$\omega \leq \frac{1}{3}$$。最大值为 $$\frac{1}{3}$$。答案为 $$B$$。

5. 解析：化简函数 $$f(x)$$：

$$ f(x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1 + \cos 2x}{2} - \frac{1}{2} $$ $$ = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x = \sin(2x + \frac{\pi}{6}) $$

平移后得到： $$ g(x) = \sin(2(x + \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{6}) = \sin(2x + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = \sin(2x + \frac{2\pi}{3}) $$

在区间 $$[-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{3}]$$ 上，$$2x + \frac{2\pi}{3}$$ 的范围为 $$[\frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3}]$$，值域为 $$[-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$$。答案为 $$B$$。

6. 解析：设 $$\theta + \frac{\pi}{4} = \phi$$，则 $$\sin \phi = 2 \cos \phi$$，即 $$\tan \phi = 2$$。

$$ \sin 2\theta = \sin(2\phi - \frac{\pi}{2}) = -\cos 2\phi = -\frac{1 - \tan^2 \phi}{1 + \tan^2 \phi} = -\frac{1 - 4}{1 + 4} = \frac{3}{5} $$ 答案为 $$C$$。

7. 解析：利用余弦定理：

$$ 2c \cos B = 2a + b $$ $$ 2c \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = 2a + b $$ $$ \frac{a^2 + c^2 - b^2}{a} = 2a + b $$ $$ a^2 + c^2 - b^2 = 2a^2 + a b $$ $$ c^2 - b^2 = a^2 + a b $$

结合余弦定理 $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$，代入得： $$ a^2 + b^2 - 2ab \cos C - b^2 = a^2 + a b $$ $$ -2ab \cos C = a b $$ $$ \cos C = -\frac{1}{2} $$ $$ C = 120^\circ $$ 答案为 $$C$$。

8. 解析：利用倍角公式：

$$ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{1}{4} $$ $$ \sin 2\alpha = -\cos(2\alpha + \frac{\pi}{2}) = -[1 - 2 \sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha)] = -[1 - 2 \times \frac{1}{16}] = -\frac{7}{8} $$ 答案为 $$D$$。

9. 解析：由条件：

$$ \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha = -\frac{4}{5} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{4}{5}, \sin \alpha = \frac{3}{5} $$ $$ \cos(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \Rightarrow \sin(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} $$

$$ \sin \beta = \sin[(\alpha + \beta) - \alpha] = \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha - \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha = \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} - \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{7}{25} $$ 答案为 $$C$$。

10. 解析：利用柯西不等式：

$$ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2 $$ $$ 1 \times 4 \geq (ac + bd)^2 $$ $$ ac + bd \leq 2 $$

最大值为 $$2$$。答案为 $$A$$。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}