辅助角公式-三角恒等变换知识点考前进阶单选题自测题答案-黑龙江省等高一数学必修,平均正确率50.0%

1、['交集'， '辅助角公式'， '不等式的解集与不等式组的解集']

正确率60.0%设集合$$M=\{x | x^{-\frac{1} {2}} < 1 \}$$，集合$${{N}{=}{\{}{y}{|}{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}{+}{{c}{o}{s}}{x}{\}}}$$，则$${{M}{∩}{N}{=}{（}}$$）

A.$${{[}{−}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$

B.$${（{1}{，}{\sqrt {2}}{]}}$$

C.$${{[}{−}{\sqrt {2}}{，}{+}{∞}{）}}$$

D.$${（{1}{，}{2}{]}}$$

2、['函数奇偶性的应用'， '函数图象的平移变换'， '辅助角公式']

正确率40.0%定义运算：$$\left| \begin{matrix} {a_{1}} & {a_{2}} \\ {a_{3}} & {a_{4}} \\ \end{matrix} \right|=a_{1} a_{4}-a_{2} a_{3}$$，将函数$$f ( x )=\left| \begin{matrix} {\sqrt{3} \quad\operatorname{s i n} \omega x} \\ {1 \ \ \operatorname{c o s} \omega x} \\ \end{matrix} \right| ( \omega> 0 )$$的图象向左平移$$\frac{2 \pi} {3}$$个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则$${{ω}}$$的最小值是$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1} {4}$$

B.$$\frac{5} {4}$$

C.$$\frac{7} {4}$$

D.$$\frac{3} {4}$$

3、['根据三角函数的性质求参数取值范围'， '正弦（型）函数的零点'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s}^{2} \frac{\omega x} {2}+\frac{\sqrt{3}} {2} \mathrm{s i n} ~ \omega x-\frac{1} {2}$$$${{(}{0}{<}{ω}{<}{1}{，}{x}{∈}{R}{)}{.}}$$若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$${{(}{π}{，}{2}{π}{)}}$$上没有零点，则$${{ω}}$$的取值范围是（）

A.$$( 0， {\frac{5} {1 2}} ]$$

B.$$( 0， \frac{5} {1 2} ] \cup[ \frac{5} {6}， \frac{1 1} {1 2} )$$

C.$$( 0， \frac{5} {6} ]$$

D.$$( 0， \frac{5} {1 2} ] \cup[ \frac{5} {6}， \frac{1 1} {1 2} ]$$

4、['三角函数与其他知识的综合应用'， '给值求角'， '辅助角公式']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{s}{i}{n}}{ω}{x}{−}{\sqrt {3}}{{c}{o}{s}}{ω}{x}{(}{ω}{>}{0}{)}}$$，若集合$${{\{}{x}{∈}{（}{0}{，}{π}{）}{|}{f}{（}{x}{）}{=}{−}{1}{\}}}$$含有$${{4}}$$个元素，则实数$${{ω}}$$的取值范围是（）

A.$$[ \frac{3} {2}， ~ \frac{5} {2} )$$

B.$${( \frac{3} {2}， ~ \frac{5} {2} ]}$$

C.$$[ \frac{7} {2}， ~ \frac{2 5} {6} )$$

D.$$( \frac{7} {2}， ~ \frac{2 5} {6} ]$$

5、['向量坐标与向量的数量积'， '辅助角公式'， '余弦（型）函数的定义域和值域']

正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{{c}{o}{s}}{x}{，}{{s}{i}{n}}{x}{)}{，}{x}{∈}{[}{0}{，}{π}{]}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{3}{，}{−}{\sqrt {3}}{)}{，}}$$则$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$${{[}{−}{3}{，}{3}{]}}$$

B.$${{[}{−}{2}{\sqrt {3}}{，}{2}{\sqrt {3}}{]}}$$

C.$${{[}{−}{2}{\sqrt {3}}{，}{3}{]}}$$

D.$${{[}{−}{3}{，}{2}{\sqrt {3}}{]}}$$

7、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '辅助角公式']

正确率40.0%$$\frac{\operatorname{c o s} 2 3^{\circ}+\operatorname{c o s} 6 7^{\circ}} {\sqrt{2} \operatorname{s i n} 6 8^{\circ}}=\mathrm{( ~}$$）

A.$${{2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${\sqrt {2}}$$

D.$${{1}}$$

8、['正弦（型）函数的单调性'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '不等式比较大小']

正确率40.0%已知$$a=\frac{\sqrt{2}} {2} ( \operatorname{s i n} 1 8^{\circ}+\operatorname{c o s} 1 8^{\circ} )， \ b=2 \operatorname{c o s}^{2} 1 6^{\circ}-1， \ c=\frac{\sqrt{3}} {2}$$，则

A.$${{c}{<}{a}{<}{b}}$$

B.$${{b}{<}{c}{<}{a}}$$

C.$${{a}{<}{b}{<}{c}}$$

D.$${{b}{<}{a}{<}{c}}$$

9、['正弦曲线的对称轴'， '两角和与差的余弦公式'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} x \cdot\operatorname{c o s} ( x+\frac{\pi} {6} )$$的图象的一条对称轴方程是$${{(}{)}}$$

A.$$x=\frac{\pi} {1 2}$$

B.$$x=\frac{\pi} {6}$$

C.$$x=\frac{\pi} {4}$$

D.$$x=\frac{\pi} {3}$$

10、['利用诱导公式化简'， '辅助角公式'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式']

正确率40.0%计算：$${{4}{{c}{o}{s}}{{5}{0}^{∘}}{−}{{t}{a}{n}}{{4}{0}^{∘}}{=}{（}}$$）

A.$${\sqrt {3}}$$

B.$$\frac{{\sqrt2}+{\sqrt3}} {2}$$

C.$${\sqrt {2}}$$

D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

1、解析：

首先求集合M的范围：$$x^{-\frac{1}{2}} < 1$$，即$$\frac{1}{\sqrt{x}} < 1$$，解得$$x > 1$$，所以$$M = (1, +\infty)$$。

再求集合N的范围：$$y = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$，其取值范围为$$[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$。

因此，$$M \cap N = (1, \sqrt{2}]$$，对应选项B。

2、解析：

根据行列式定义，函数$$f(x) = \sqrt{3} \cos \omega x - \sin \omega x = 2 \cos\left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right)$$。

向左平移$$\frac{2\pi}{3}$$个单位后，得到$$g(x) = 2 \cos\left(\omega \left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\omega x + \frac{2\omega \pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right)$$。

要求$$g(x)$$为偶函数，需满足$$\frac{2\omega \pi}{3} + \frac{\pi}{6} = k\pi$$（k为整数），解得$$\omega = \frac{3k}{2} - \frac{1}{4}$$。

取最小正值$$k=1$$，得$$\omega = \frac{5}{4}$$，对应选项B。

3、解析：

化简函数$$f(x) = \cos^2 \frac{\omega x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega x - \frac{1}{2} = \frac{1 + \cos \omega x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega x - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega x + \frac{1}{2} \cos \omega x = \sin\left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right)$$。

函数在$$(\pi, 2\pi)$$无零点，即$$\sin\left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right) \neq 0$$，即$$\omega x + \frac{\pi}{6} \neq k\pi$$（k为整数）。

解得$$x \neq \frac{k\pi - \frac{\pi}{6}}{\omega}$$，需保证$$(\pi, 2\pi)$$不包含任何解。通过分析边界条件，得到$$\omega \in \left(0, \frac{5}{12}\right] \cup \left[\frac{5}{6}, \frac{11}{12}\right)$$，对应选项B。

4、解析：

函数$$f(x) = \sin \omega x - \sqrt{3} \cos \omega x = 2 \sin\left(\omega x - \frac{\pi}{3}\right)$$。

方程$$f(x) = -1$$在$$(0, \pi)$$有4个解，即$$\sin\left(\omega x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$$。

解得$$\omega x - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$$或$$\frac{11\pi}{6} + 2k\pi$$（k为整数）。

要求4个解落在$$(0, \pi)$$内，通过分析周期和边界条件，得到$$\omega \in \left[\frac{7}{2}, \frac{25}{6}\right)$$，对应选项C。

5、解析：

向量点积$$a \cdot b = 3 \cos x - \sqrt{3} \sin x = 2\sqrt{3} \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$。

由于$$x \in [0, \pi]$$，$$x + \frac{\pi}{6} \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right]$$，$$\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$的取值范围为$$\left[-1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$$。

因此，$$a \cdot b \in \left[-2\sqrt{3}, 3\right]$$，对应选项C。

7、解析：

利用和差化积公式：$$\cos 23^\circ + \cos 67^\circ = 2 \cos 45^\circ \cos 22^\circ = \sqrt{2} \cos 22^\circ$$。

分母为$$\sqrt{2} \sin 68^\circ = \sqrt{2} \cos 22^\circ$$。

因此，原式等于$$\frac{\sqrt{2} \cos 22^\circ}{\sqrt{2} \cos 22^\circ} = 1$$，对应选项D。

8、解析：

计算各值：

$$a = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin 18^\circ + \cos 18^\circ) = \sin 63^\circ \approx 0.891$$。

$$b = 2 \cos^2 16^\circ - 1 = \cos 32^\circ \approx 0.848$$。

$$c = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$$。

比较得$$b < c < a$$，对应选项B。

9、解析：

化简函数$$f(x) = \sin x \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \left[\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) - \sin \frac{\pi}{6}\right]$$。

对称轴满足$$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$$。

取$$k=0$$，得$$x = \frac{\pi}{6}$$，对应选项B。

10、解析：

计算$$4 \cos 50^\circ - \tan 40^\circ$$：

$$= 4 \cos 50^\circ - \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ}$$

$$= \frac{4 \cos 50^\circ \cos 40^\circ - \sin 40^\circ}{\cos 40^\circ}$$

利用$$\cos 50^\circ = \sin 40^\circ$$，化简得$$\frac{4 \sin 40^\circ \cos 40^\circ - \sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{2 \sin 80^\circ - \sin 40^\circ}{\cos 40^\circ}$$。

进一步化简得$$\sqrt{3}$$，对应选项A。

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