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正确率60.0%若直线$$y=\frac{1} {2} x+3$$的倾斜角为$${{α}{，}}$$直线$${{y}{=}{k}{x}{−}{5}}$$的倾斜角为$${{3}{α}{，}}$$则$${{k}{=}}$$（）
D
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$${{5}}$$
C.$$\frac{9} {2}$$
D.$$\frac{1 1} {2}$$
2、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%已知角$${{α}}$$的终边过点$${{P}{（}{1}{，}{2}{）}}$$，则$$\operatorname{t a n} \ ( \alpha-\frac{\pi} {4} ) \ =\ ($$）
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{3}}$$
4、['三角函数值在各象限的符号'， '两角和与差的正切公式']正确率40.0%已知$$\operatorname{c o s} \theta> 0， ~ \operatorname{t a n} ( \theta+\frac{\pi} {4} )=\frac{1} {3}，$$则$${{θ}}$$在$${{(}{)}}$$
D
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5、['一元二次方程根与系数的关系'， '对数方程与对数不等式的解法'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%已知$${{t}{a}{n}{α}{，}{{t}{a}{n}}{β}}$$是方程$${{l}{g}{{(}{{3}{{x}^{2}}{−}{x}{−}{2}}{)}}{=}{0}}$$的两个实数根，则$${{t}{a}{n}{{(}{{α}{+}{β}}{)}}{=}}$$（）
C
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{1} {5}$$
C.$$\frac{1} {6}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
7、['一元二次方程根与系数的关系'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%设$${{t}{a}{n}{α}{、}{{t}{a}{n}}{β}}$$是方程$${{x}^{2}{+}{3}{\sqrt {3}}{x}{+}{4}{=}{0}}$$的两根，且$$\alpha， ~ \beta\mathrm{\backslash i n} ~ \left(-\frac{\pi} {2}， \frac{\pi} {2} \right)，$$则$${{α}{+}{β}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$$- \frac{2 \pi} {3}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$或$$- \frac{2 \pi} {3}$$
D.$$- \frac{\pi} {3}$$或$$\frac{2 \pi} {3}$$
8、['辅助角公式'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${\sqrt {3}{{s}{i}{n}}{B}{+}{{c}{o}{s}}{B}{=}{2}}$$，则$$\operatorname{t a n} {\frac{A} {2}}+\operatorname{t a n} {\frac{C} {2}}+\sqrt{3} \operatorname{t a n} {\frac{A} {2}} \operatorname{t a n} {\frac{C} {2}}$$的值是（）
C
A.$${{±}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
9、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%设向量$${{a}^{→}{=}{{(}{{c}{o}{s}}{α}{，}{−}{1}{)}}{，}{{b}^{→}}{=}{{(}{2}{，}{{s}{i}{n}}{α}{)}}}$$，若$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$，则$$\operatorname{t a n} \Bigl( \alpha-\frac{\pi} {4} \Bigr)=\textsubscript{c}$$）
B
A.$$- \frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{0}}$$
10、['两角和与差的正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=\frac{2} {5}$$，$$\operatorname{t a n} \left( \beta-\frac{\pi} {4} \right)=\frac1 4$$，则$$\operatorname{t a n} {( \alpha+\frac{\pi} {4}} )$$的值为（）
B
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$\frac{3} {2 2}$$
C.$$\frac{2 2} {1 3}$$
D.$$\frac{1 3} {1 8}$$
1. 解析：直线 $$y=\frac{1}{2}x+3$$ 的斜率 $$k_1 = \frac{1}{2}$$，倾斜角 $$α$$ 满足 $$\tan α = \frac{1}{2}$$。直线 $$y=kx-5$$ 的倾斜角为 $$3α$$，其斜率 $$k = \tan 3α$$。利用三倍角公式：
$$\tan 3α = \frac{3\tan α - \tan^3 α}{1 - 3\tan^2 α} = \frac{3 \cdot \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^3}{1 - 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{8}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{11}{8}}{\frac{1}{4}} = \frac{11}{2}$$
因此 $$k = \frac{11}{2}$$，答案为 D。
2. 解析：角 $$α$$ 的终边过点 $$P(1,2)$$，则 $$\tan α = \frac{2}{1} = 2$$。利用差角公式：
$$\tan \left(α - \frac{π}{4}\right) = \frac{\tan α - \tan \frac{π}{4}}{1 + \tan α \tan \frac{π}{4}} = \frac{2 - 1}{1 + 2 \cdot 1} = \frac{1}{3}$$
答案为 A。
4. 解析：由 $$\cos θ > 0$$，$$θ$$ 在第一或第四象限。又 $$\tan \left(θ + \frac{π}{4}\right) = \frac{1}{3}$$，展开得：
$$\frac{\tan θ + 1}{1 - \tan θ} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3\tan θ + 3 = 1 - \tan θ \Rightarrow 4\tan θ = -2 \Rightarrow \tan θ = -\frac{1}{2}$$
由于 $$\cos θ > 0$$ 且 $$\tan θ < 0$$，$$θ$$ 在第四象限，答案为 D。
5. 解析：方程 $$\lg(3x^2 - x - 2) = 0$$ 转化为 $$3x^2 - x - 2 = 1$$，即 $$3x^2 - x - 3 = 0$$。设 $$tan α$$ 和 $$tan β$$ 为根，由韦达定理：
$$\tan α + \tan β = \frac{1}{3}$$，$$\tan α \tan β = -1$$。
利用和角公式：
$$\tan(α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - (-1)} = \frac{\frac{1}{3}}{2} = \frac{1}{6}$$
答案为 C。
7. 解析：方程 $$x^2 + 3\sqrt{3}x + 4 = 0$$ 的判别式 $$Δ = 27 - 16 = 11 > 0$$，设 $$tan α$$ 和 $$tan β$$ 为根，由韦达定理：
$$\tan α + \tan β = -3\sqrt{3}$$，$$\tan α \tan β = 4$$。
利用和角公式：
$$\tan(α + β) = \frac{-3\sqrt{3}}{1 - 4} = \sqrt{3}$$。
由于 $$α, β \in \left(-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}\right)$$，且 $$\tan α + \tan β < 0$$，$$\tan α \tan β > 0$$，说明 $$α, β$$ 均为负角，故 $$α + β = -\frac{2π}{3}$$，答案为 A。
8. 解析：在 $$△ABC$$ 中，化简 $$\sqrt{3}\sin B + \cos B = 2$$：
$$2\sin\left(B + \frac{π}{6}\right) = 2 \Rightarrow \sin\left(B + \frac{π}{6}\right) = 1 \Rightarrow B = \frac{π}{3}$$。
由于 $$A + C = \frac{2π}{3}$$，设 $$\frac{A}{2} = x$$，$$\frac{C}{2} = \frac{π}{3} - x$$，则：
$$\tan x + \tan\left(\frac{π}{3} - x\right) + \sqrt{3} \tan x \tan\left(\frac{π}{3} - x\right)$$
利用恒等式 $$\tan\left(\frac{π}{3}\right) = \sqrt{3}$$，化简得结果为 $$\sqrt{3}$$，答案为 C。
9. 解析：向量 $$\vec{a} = (\cos α, -1)$$ 与 $$\vec{b} = (2, \sin α)$$ 垂直，则：
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\cos α - \sin α = 0 \Rightarrow \tan α = 2$$。
利用差角公式：
$$\tan\left(α - \frac{π}{4}\right) = \frac{\tan α - 1}{1 + \tan α} = \frac{2 - 1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$$
答案为 B。
10. 解析：已知 $$\tan(α + β) = \frac{2}{5}$$，$$\tan\left(β - \frac{π}{4}\right) = \frac{1}{4}$$，设 $$γ = β - \frac{π}{4}$$，则：
$$\tan(α + \frac{π}{4} + γ) = \frac{2}{5}$$，展开得：
$$\frac{\tan\left(α + \frac{π}{4}\right) + \frac{1}{4}}{1 - \tan\left(α + \frac{π}{4}\right) \cdot \frac{1}{4}} = \frac{2}{5}$$
解得 $$\tan\left(α + \frac{π}{4}\right) = \frac{3}{22}$$，答案为 B。