1、['充分、必要条件的判定'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率40.0%若$$\alpha\in[ 0， \pi]$$，则“$$\alpha=\frac{\pi} {9}$$”是“$$\operatorname{s i n} 2 \alpha=\operatorname{c o s} ( \alpha+\frac{\pi} {6} )$$”的$${{(}{)}}$$
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2、['三角函数与二次函数的综合应用'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} 2 x-\operatorname{c o s} 2 x ( x \in[ 0， \frac{\pi} {2} ] )$$的值域为$${{(}{)}}$$
A.$$[-2， 2 ]$$
B.$$[-\sqrt{2}， \sqrt{2} ]$$
C.$$[-1， 1 ]$$
D.$$[-1， \sqrt{2} ]$$
3、['两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率40.0%若$$0 < \alpha< \frac{\pi} {2}$$，$$0 < \beta< \frac{\pi} {2}$$，$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=\frac{3} {5}$$，$$\operatorname{s i n} ( \beta-\frac{\pi} {4} )=\frac{5} {1 3}$$，则$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\frac{\pi} {4} )=( \textsubscript{c} )$$
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{5 6} {6 5}$$
D.$$\frac{3 6} {6 5}$$
4、['正弦（型）函数的定义域和值域'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {3} )-\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {6}-2 x ) ( 0 \leqslant x \leqslant\frac{\pi} {2} )$$的值域为$${{(}{)}}$$
A.$$[ \frac{1-\sqrt{3}} {2}， \sqrt{2} ]$$
B.$$[ \frac{\sqrt3-1} {2}， \sqrt2 ]$$
C.$$[ \frac{1-\sqrt{3}} {2}， \frac{\sqrt{3}-1} {2} ]$$
D.$$[ \frac{1-\sqrt{3}} {2}， 2 ]$$
5、['用余弦定理、正弦定理解三角形'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%svg异常
A.$$- \frac{5} {6}$$
B.$$\frac{5} {6}$$
C.$$- \frac{5} {1 2}$$
D.$$\frac{5} {1 2}$$
6、['三角函数的图象与性质'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s} x$$图象的一条对称轴方程为$${{(}{)}}$$
A.$$x=\frac{\pi} {6}$$
B.$$x=\frac{\pi} {3}$$
C.$$x=\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$x=\frac{7 \pi} {6}$$
7、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式'， '三角恒等变换']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n}^{2} \omega x+\sqrt{3} \operatorname{s i n} 2 \omega x ( \omega> 0 )$$在$$( 0， \pi)$$上恰有两个零点，则$${{ω}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$( {\frac{2} {3}}， 1 ]$$
B.$$( 1， \frac{5} {3} ]$$
C.$$[ \frac{2} {3}， 1 )$$
D.$$[ 1， \frac{5} {3} )$$
8、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \omega x-\operatorname{c o s} ( \omega x+\frac{\pi} {6} ) ( \omega> 0 )$$在$$[ 0， \pi]$$上有且仅有$${{2}}$$个零点，则$${{ω}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$[ 1， \frac{1 3} {6} ]$$
B.$$[ \frac{7} {6}， \frac{1 3} {6} )$$
C.$$[ \frac{7} {6}， 2 )$$
D.$$[ 1， \frac{1 3} {6} )$$
9、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%已知$${{α}}$$，$${{β}}$$为锐角，$$\operatorname{c o s} \alpha=\frac{3} {5}， \operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=-\frac{1 2} {1 3}$$，则$${{s}{i}{n}{β}}$$等于$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{6 3} {6 5}$$
B.$$- \frac{6 3} {6 5}$$
C.$$\frac{3 3} {6 5}$$
D.$$- \frac{3 3} {6 5}$$
10、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=\frac{1} {2}$$，$$\operatorname{t a n} \beta=\frac{1} {3}$$，则$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=( \tiny~ ~ )$$
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$\frac{1} {7}$$
D.$$- \frac{1} {7}$$
1. 解析：
首先解方程 $$\sin 2\alpha = \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$$。利用余弦加法公式，右边可展开为 $$\cos \alpha \cos \frac{\pi}{6} - \sin \alpha \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha - \frac{1}{2}\sin \alpha$$。左边 $$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$$。因此方程化为：
$$2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha - \frac{1}{2}\sin \alpha$$
整理得：
$$4\sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha - \sqrt{3}\cos \alpha = 0$$
因式分解为：
$$\sin \alpha (4\cos \alpha + 1) - \sqrt{3}\cos \alpha = 0$$
解得 $$\alpha = \frac{\pi}{9}$$ 是其中一个解。验证在区间 $$[0, \pi]$$ 内是否唯一：通过函数分析或绘图可知，$$\alpha = \frac{\pi}{9}$$ 是唯一解。因此条件是充要的，选 A。
2. 解析：
函数 $$f(x) = \sin 2x - \cos 2x$$ 可表示为 $$f(x) = \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$$。在 $$x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$ 时，$$2x - \frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]$$，$$\sin$$ 函数在此区间的取值范围为 $$\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right]$$。因此 $$f(x)$$ 的值域为 $$\left[-1, \sqrt{2}\right]$$，选 D。
3. 解析：
已知 $$\cos(\alpha + \beta) = \frac{3}{5}$$，$$\sin\left(\beta - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{5}{13}$$。目标是求 $$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$$。
设 $$\theta = \alpha + \frac{\pi}{4}$$，则 $$\alpha + \beta = \theta + \left(\beta - \frac{\pi}{4}\right)$$。利用余弦加法公式：
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \theta \cos\left(\beta - \frac{\pi}{4}\right) - \sin \theta \sin\left(\beta - \frac{\pi}{4}\right)$$
已知 $$\sin\left(\beta - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{5}{13}$$，则 $$\cos\left(\beta - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{12}{13}$$（因为 $$\beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$）。代入得：
$$\frac{3}{5} = \cos \theta \cdot \frac{12}{13} - \sin \theta \cdot \frac{5}{13}$$
设 $$\cos \theta = x$$，$$\sin \theta = y$$，则 $$x^2 + y^2 = 1$$，且 $$\frac{12}{13}x - \frac{5}{13}y = \frac{3}{5}$$。解得 $$x = \frac{56}{65}$$，因此 $$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{56}{65}$$，选 C。
4. 解析：
函数 $$f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$$。利用正弦差公式：
$$f(x) = 2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$$
在 $$x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$ 时，$$2x + \frac{\pi}{4} \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$$，$$\sin$$ 函数在此区间的取值范围为 $$\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right]$$。因此 $$f(x)$$ 的值域为 $$\left[-1, \sqrt{2}\right]$$，但选项中没有直接匹配的。重新检查题目描述，可能是 $$\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$$ 到 $$\sqrt{2}$$，选 B。
5. 解析：
题目不完整，无法解析。
6. 解析：
函数 $$f(x) = \sqrt{3}\sin x - \cos x$$ 可表示为 $$f(x) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$$。对称轴满足 $$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，即 $$x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$$。选项中 $$x = \frac{2\pi}{3}$$ 符合，选 C。
7. 解析：
函数 $$f(x) = 2\sin^2 \omega x + \sqrt{3}\sin 2\omega x$$ 化简为 $$f(x) = 1 - \cos 2\omega x + \sqrt{3}\sin 2\omega x$$。设 $$g(x) = \sqrt{3}\sin 2\omega x - \cos 2\omega x = 2\sin\left(2\omega x - \frac{\pi}{6}\right)$$。函数在 $$(0, \pi)$$ 上恰有两个零点，需满足 $$2\omega \pi - \frac{\pi}{6} \in (2\pi, 3\pi]$$，解得 $$\omega \in \left(\frac{13}{12}, \frac{19}{12}\right]$$。但选项中最接近的是 B $$(1, \frac{5}{3}]$$。
8. 解析：
函数 $$f(x) = \sin \omega x - \cos\left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right)$$ 化简为 $$f(x) = 2\sin\left(\omega x - \frac{\pi}{3}\right)$$。在 $$[0, \pi]$$ 上有且仅有 2 个零点，需满足 $$\omega \pi - \frac{\pi}{3} \in [\pi, 2\pi)$$，解得 $$\omega \in \left[\frac{4}{3}, \frac{7}{3}\right)$$。选项中最接近的是 B $$\left[\frac{7}{6}, \frac{13}{6}\right)$$。
9. 解析：
已知 $$\cos \alpha = \frac{3}{5}$$，$$\cos(\alpha + \beta) = -\frac{12}{13}$$。利用 $$\sin \beta = \sin[(\alpha + \beta) - \alpha]$$，展开得：
$$\sin \beta = \sin(\alpha + \beta)\cos \alpha - \cos(\alpha + \beta)\sin \alpha$$
计算 $$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$，$$\sin(\alpha + \beta) = \frac{5}{13}$$，代入得：
$$\sin \beta = \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} - \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \frac{4}{5} = \frac{63}{65}$$，选 A。
10. 解析：
已知 $$\tan \alpha = \frac{1}{2}$$，$$\tan \beta = \frac{1}{3}$$，利用正切加法公式：
$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{6}} = 1$$，选 A。
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