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正确率60.0%$$\alpha Z=\frac{1} {\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta\cdot i}-\frac{1} {2} \ ($$其中$${{i}}$$是虚数单位）是纯虚数．$${{”}}$$是$${}^{\omega} \theta=\frac{\pi} {6}+2 k \pi"$$的（）条件．
B
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
2、['给值求角'， '两角和与差的正弦公式'， '特殊角的三角函数值'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%设$$\alpha， \， \， \， \beta\in[ 0， \pi]，$$且满足$$\operatorname{s i n} \! \alpha\! \operatorname{c o s} \! \beta-\operatorname{c o s} \! \alpha\! \operatorname{s i n} \! \beta=1$$，则$$\operatorname{s i n} ( 2 \alpha-\beta)+\operatorname{s i n} ( \alpha-2 \beta)$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
C
A.$$[-\sqrt{2}， 1 ]$$
B.$$[-1， \sqrt{2} ]$$
C.$$[-1， 1 ]$$
D.$$[ 1， \sqrt{2} ]$$
3、['一元二次方程根与系数的关系'， '给值求角'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha， ~ \operatorname{t a n} \beta$$是方程$$x^{2}+\sqrt{3} x-2=0$$的两个根，且$$- \frac{\pi} {2} < \alpha< \frac{\pi} {2}， ~ ~-\frac{\pi} {2} < \beta< \frac{\pi} {2}$$，则$${{α}{+}{β}}$$的值是（）
C
A.$$- \frac{\pi} {6}$$
B.$$- \frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$或$$- \frac{5 \pi} {6}$$
D.$$- \frac{\pi} {3}$$或$$\frac{2 \pi} {3}$$
4、['余弦定理及其应用'， '给值求角']正确率60.0%在$$\backslash\mathrm{D e l t a \ A B C}$$中，若$$c^{2} \!=\! a^{2} \!+\! b^{2} \!+\! \mathrm{a b}$$，则
）
A
A.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
B.$${{9}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
D.$${{6}{0}^{∘}}$$
5、['给值求角'， '充分、必要条件的判定'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%命题$$p \colon x \in{\bf R}$$且满足$$\operatorname{s i n} 2 x=1.$$命题$$q \colon x \in{\bf R}$$且满足$$\operatorname{t a n} x=1.$$则$${{p}}$$是$${{q}}$$的（）
C
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6、['正弦定理及其应用'， '给值求角']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$a=5 \sqrt{2}， \， \， \， c=1 0， \， \， \， A=3 0^{\circ}$$，则$${{B}{=}{(}}$$)
D
A.$${{4}{5}^{∘}}$$或$${{1}{3}{5}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{5}^{∘}}$$
D.$${{1}{0}{5}^{∘}}$$或$${{1}{5}^{∘}}$$
7、['终边相同的角'， '弧长公式及扇形面积公式的两种表示'， '给值求角'， '三角函数值在各象限的符号'， '命题的真假性判断']正确率60.0%给出下列说法：
$${①}$$终边相同的角同一三角函数值相等；
$${②}$$在三角形中，若$$\operatorname{s i n} A \!=\! \operatorname{s i n} B，$$则有$${{A}{=}{B}}$$；
$${③}$$不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
$${④}$$若$$\operatorname{s i n} \alpha\!=\! \operatorname{s i n} \beta，$$则$${{α}}$$与$${{β}}$$的终边相同；
$${⑤}$$若$$\operatorname{c o s} \theta< 0，$$则$${{θ}}$$是第二或第三象限的角．
其中正确说法的个数是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
8、['等差中项'， '给值求角'， '充分、必要条件的判定']正确率40.0%$${{“}}$$等式$$\operatorname{s i n} ( \alpha+\gamma)=\operatorname{s i n} ( 2 \beta)$$成立$${{”}}$$是$${}^{\alpha} \alpha， \beta， \gamma$$，成等差数列$${{”}}$$的（）
C
A.充分而不必要条件
B.充分必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分又不必要条件
9、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '给值求角']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，已知$$a \operatorname{s i n} A-c \operatorname{s i n} C=( \sqrt{2} a-b ) \operatorname{s i n} B$$，则角$${{C}}$$的大小为（）
B
A.$$\frac{3} {4} \pi$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
10、['给值求角'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '两角和与差的正切公式']正确率40.0%已知角$$\alpha， \， \， \， \beta\in\， \， ( \， 0， \， \， \pi) \， \， \，，$$$$\operatorname{t a n} ~ ( \alpha+\beta) ~=\frac{1} {2}，$$$$\operatorname{c o s} \beta=\frac{7 \sqrt{2}} {1 0}$$，则角$$2 \alpha+\beta=$$（）
D
A.$$\frac{9 \pi} {4}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{5 \pi} {4}$$
D.$$\frac{\pi} {4}$$
以下是各题的详细解析： --- ### 第1题首先化简复数表达式： $$Z = \frac{1}{\sin \theta + \cos \theta \cdot i} - \frac{1}{2} = \frac{\sin \theta - \cos \theta \cdot i}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} - \frac{1}{2} = \left(\sin \theta - \frac{1}{2}\right) - \cos \theta \cdot i.$$ 因为 $$Z$$ 是纯虚数，其实部为零： $$\sin \theta - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ 或 } \frac{5\pi}{6} + 2k\pi.$$ 题目中条件 $$\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$ 仅是解的一部分，因此是充分不必要条件。
答案：A
--- ### 第2题由已知条件： $$\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha - \beta) = 1.$$ 因为 $$\alpha, \beta \in [0, \pi]$$，所以 $$\alpha - \beta = \frac{\pi}{2}$$。代入目标式： $$\sin(2\alpha - \beta) + \sin(\alpha - 2\beta) = \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(-\beta - \frac{\pi}{2}\right) = \cos \alpha - \cos \beta.$$ 由于 $$\alpha = \beta + \frac{\pi}{2}$$，且 $$\beta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$，通过分析可得取值范围为 $$[-1, 1]$$。
答案：C
--- ### 第3题由韦达定理： $$\tan \alpha + \tan \beta = -\sqrt{3}, \quad \tan \alpha \tan \beta = -2.$$ 利用正切和角公式： $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{-\sqrt{3}}{1 - (-2)} = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$ 由于 $$\alpha, \beta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$，且 $$\tan \alpha \tan \beta < 0$$，说明两角异号。因此 $$\alpha + \beta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$，唯一解为 $$\alpha + \beta = -\frac{\pi}{6}$$。
答案：A
--- ### 第4题由余弦定理： $$c^2 = a^2 + b^2 + ab = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \Rightarrow \cos C = -\frac{1}{2}.$$ 因此角 $$C = 120^\circ$$。
答案：A
--- ### 第5题命题 $$p$$ 的解为 $$x = \frac{\pi}{4} + k\pi$$，命题 $$q$$ 的解为 $$x = \frac{\pi}{4} + m\pi$$（$$k, m \in \mathbb{Z}$$）。显然 $$p$$ 的解集与 $$q$$ 的解集相同，因此是充要条件。
答案：C
--- ### 第6题利用正弦定理： $$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow \sin C = \frac{c \sin A}{a} = \frac{10 \times \frac{1}{2}}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$ 因为 $$C \in (0, \pi)$$，所以 $$C = 45^\circ$$ 或 $$135^\circ$$。对应地： - 若 $$C = 45^\circ$$，则 $$B = 105^\circ$$； - 若 $$C = 135^\circ$$，则 $$B = 15^\circ$$。
答案：D
--- ### 第7题逐条分析： 1. 正确，终边相同的角三角函数值相同； 2. 错误，在三角形中 $$\sin A = \sin B$$ 还可能 $$A + B = \pi$$； 3. 正确，角的度量与半径无关； 4. 错误，$$\sin \alpha = \sin \beta$$ 还可能 $$\alpha + \beta = \pi + 2k\pi$$； 5. 错误，$$\cos \theta < 0$$ 还可能 $$\theta$$ 在第三象限或终边在负实轴。
综上，正确的有 2 条。
答案：B
--- ### 第8题等式 $$\sin(\alpha + \gamma) = \sin(2\beta)$$ 成立有两种情况： 1. $$\alpha + \gamma = 2\beta$$（即 $$\alpha, \beta, \gamma$$ 成等差数列）； 2. $$\alpha + \gamma + 2\beta = \pi + 2k\pi$$。 因此条件是必要的但不充分。
答案：C
--- ### 第9题利用正弦定理将方程转化为： $$a^2 - c^2 = \sqrt{2}ab - b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 - c^2 = \sqrt{2}ab.$$ 由余弦定理： $$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{\sqrt{2}ab}{2ab} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$ 因此 $$C = \frac{\pi}{4}$$。
答案：B
--- ### 第10题由 $$\cos \beta = \frac{7\sqrt{2}}{10}$$ 得 $$\sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{10}$$，$$\tan \beta = \frac{1}{7}$$。利用正切和角公式： $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{1}{2} \Rightarrow \tan \alpha = \tan[(\alpha + \beta) - \beta] = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{7}}{1 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{7}} = \frac{1}{3}.$$ 因此 $$\tan 2\alpha = \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{3}{4}$$，进一步： $$\tan(2\alpha + \beta) = \frac{\tan 2\alpha + \tan \beta}{1 - \tan 2\alpha \tan \beta} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{1}{7}} = 1.$$ 因为 $$\alpha, \beta \in (0, \pi)$$，通过分析可知 $$2\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$$。
答案：D
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