1、['充分、必要条件的判定'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%设命题$${{p}}$$：$$3 \operatorname{s i n} \alpha\operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=\operatorname{s i n} ( 2 \alpha+\beta)$$，命题$${{q}}$$：$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=2 \operatorname{t a n} \alpha$$，则$${{p}}$$是$${{q}}$$的$${{(}{)}}$$
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
2、['任意角的三角函数的概念'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率0.0%在直角坐标系中，$$P_{1} ( x_{1}， x_{2} )$$，$$P_{2} ( x_{2}， y_{2} )$$是单位圆上的两点，则$${{∠}{{P}_{1}}{O}{{P}_{2}}}$$的余弦值等于$${{(}{)}}$$
A.$$x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}$$
B.$$x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}$$
C.$$x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}$$
D.$$x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}$$
3、['同角三角函数的基本关系'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha=\frac{\sqrt{5}} {5}$$，$$\operatorname{s i n} \beta=\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$，且$${{α}}$$，$${{β}}$$均为锐角，则$${{α}{+}{β}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$或$$\frac{3 \pi} {4}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
4、['三角函数的图象与性质'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率0.0%已知函数$$f ( x )=-2 \operatorname{c o s} ( 2 x+\frac{\pi} {3} ) \operatorname{s i n} 2 x-\frac{\sqrt{3}} {2}$$，则$${{(}{)}}$$
A.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期是$${{π}}$$
B.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {4} ]$$上单调递增
C.$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于点$$( \frac{k \pi} {2}+\frac{\pi} {1 2}， 0 ) ( k \in Z )$$对称
D.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[-\frac{\pi} {4}， 0 ]$$上的值域是$$[-1， \frac{\sqrt{3}} {2} ]$$
5、['三角函数的图象与性质'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s} x$$图象的一条对称轴方程为$${{(}{)}}$$
A.$$x=\frac{\pi} {6}$$
B.$$x=\frac{\pi} {3}$$
C.$$x=\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$x=\frac{7 \pi} {6}$$
6、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式'， '三角恒等变换']正确率80.0%设$$a=\frac{1} {\sqrt{2}} ( \operatorname{s i n} 5 6^{\circ}-\operatorname{c o s} 5 6^{\circ} )$$，$$b=\operatorname{c o s} 5 0^{\circ} \， \operatorname{c o s} 1 2 8^{\circ}+\operatorname{c o s} 4 0^{\circ} \， \operatorname{c o s} 3 8^{\circ}$$，$$c=2 \operatorname{c o s}^{2} 4 0^{\circ}-1$$，则$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$的大小关系是$${{(}{)}}$$
A.$$a > b > c$$
B.$$b > a > c$$
C.$$c > a > b$$
D.$$a > c > b$$
7、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%已知$$\alpha+\beta=\frac{\pi} {3} ( \alpha> 0， \beta> 0 )$$，则$$\operatorname{t a n} \alpha+\operatorname{t a n} \beta$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$\sqrt3+1$$
8、['余弦定理、正弦定理'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长$${{l}}$$与太阳天顶距$$\theta( 0 < \theta< \frac{\pi} {2} )$$的对应数表，这是世界数学史上最早的正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度$${{l}}$$等于表高$${{h}}$$与太阳天顶距$${{θ}}$$正切值的乘积，即$$l=h \operatorname{t a n} \theta.$$对同一“表高”进行两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为$${{α}}$$，$${{β}}$$，若第一次的“晷影长”是“表高”的$${{2}{.}{5}}$$倍，且$$\operatorname{t a n} ( \alpha-\beta)=\frac{1} {2}$$，则第二次“晷影长”是“表高”的$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{8} {9}$$倍
B.$${{1}}$$倍
C.$$\frac{4} {3}$$倍
D.$$\frac{5} {3}$$倍
9、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率40.0%已知$${{x}}$$为锐角，$$\operatorname{s i n} ( x-\frac{\pi} {4} )=\frac{\sqrt{5}} {5}$$，则$$\operatorname{c o s} ( 2 x-\frac{\pi} {3} )=( \eta)$$
A.$$\frac{2 \sqrt{3}-3} {1 0}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3} \pm3} {1 0}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{3}-4} {1 0}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{3} \pm4} {1 0}$$
10、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=\frac{1} {2}$$，$$\operatorname{t a n} \beta=\frac{1} {3}$$，则$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=( \tiny~ ~ )$$
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$\frac{1} {7}$$
D.$$- \frac{1} {7}$$
1. 首先分析命题$$p$$和$$q$$的关系：
由$$3 \sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = \sin (2\alpha + \beta)$$，利用三角恒等式展开右边：
$$\sin (2\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \cos \beta + \cos 2\alpha \sin \beta$$
左边：
$$3 \sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = 3 \sin \alpha (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)$$
化简后得到：
$$3 \sin \alpha \cos \alpha \cos \beta - 3 \sin^2 \alpha \sin \beta = 2 \sin \alpha \cos \alpha \cos \beta + \cos 2\alpha \sin \beta$$
进一步整理：
$$\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta - 3 \sin^2 \alpha \sin \beta = \cos 2\alpha \sin \beta$$
利用$$\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha$$，代入后得到：
$$\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta = (1 + \sin^2 \alpha) \sin \beta$$
两边除以$$\cos \alpha \cos \beta$$：
$$\tan \alpha = \frac{(1 + \sin^2 \alpha) \tan \beta}{\cos \alpha}$$
这一步表明$$p$$可以推导出$$q$$，但反过来$$q$$不一定能推导出$$p$$。因此$$p$$是$$q$$的充分非必要条件，选A。
2. 单位圆上两点$$P_1$$和$$P_2$$的夹角余弦值：
根据向量点积公式：
$$\cos \angle P_1 O P_2 = \frac{\vec{OP_1} \cdot \vec{OP_2}}{|\vec{OP_1}| |\vec{OP_2}|}$$
由于$$P_1$$和$$P_2$$在单位圆上，$$|\vec{OP_1}| = |\vec{OP_2}| = 1$$，因此：
$$\cos \angle P_1 O P_2 = x_1 x_2 + y_1 y_2$$
选A。
3. 已知$$\sin \alpha$$和$$\sin \beta$$，求$$\alpha + \beta$$：
由$$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\cos \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$；
由$$\sin \beta = \frac{\sqrt{10}}{10}$$，$$\cos \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$；
利用正弦和公式：
$$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} + \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{5\sqrt{50}}{50} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$；
由于$$\alpha$$和$$\beta$$均为锐角，$$\alpha + \beta$$的范围是$$(0, \pi)$$，因此$$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$$或$$\frac{3\pi}{4}$$；
但进一步计算$$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{6\sqrt{50}}{50} - \frac{\sqrt{50}}{50} = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$$，所以$$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$$，选A。
4. 分析函数$$f(x) = -2 \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \sin 2x - \frac{\sqrt{3}}{2}$$的性质：
化简函数：
$$f(x) = -2 \left(\cos 2x \cos \frac{\pi}{3} - \sin 2x \sin \frac{\pi}{3}\right) \sin 2x - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$= -2 \left(\frac{1}{2} \cos 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x\right) \sin 2x - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$= -\cos 2x \sin 2x + \sqrt{3} \sin^2 2x - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$= -\frac{1}{2} \sin 4x + \sqrt{3} \cdot \frac{1 - \cos 4x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$= -\frac{1}{2} \sin 4x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 4x$$
$$= -\sin \left(4x + \frac{\pi}{3}\right)$$；
周期为$$\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$，A错误；
在$$\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$$上，$$4x + \frac{\pi}{3} \in \left[\pi, \frac{4\pi}{3}\right]$$，$$\sin$$函数递减，因此$$f(x)$$递增，B正确；
对称中心满足$$4x + \frac{\pi}{3} = k\pi$$，即$$x = \frac{k\pi}{4} - \frac{\pi}{12}$$，C错误；
在$$\left[-\frac{\pi}{4}, 0\right]$$上，$$4x + \frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$$，$$\sin$$函数的值域为$$[-1, \frac{\sqrt{3}}{2}]$$，因此$$f(x)$$的值域为$$[-1, \frac{\sqrt{3}}{2}]$$，D正确。
综上，选B、D。
5. 函数$$f(x) = \sqrt{3} \sin x - \cos x$$的对称轴：
将函数表示为振幅相位形式：
$$f(x) = 2 \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right)$$；
对称轴满足$$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，即$$x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$$；
选项中$$x = \frac{2\pi}{3}$$符合，选C。
6. 比较$$a$$、$$b$$、$$c$$的大小：
化简各项：
$$a = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sin 56^\circ - \cos 56^\circ) = \sin (56^\circ - 45^\circ) = \sin 11^\circ$$；
$$b = \cos 50^\circ \cos 128^\circ + \cos 40^\circ \cos 38^\circ$$；
注意到$$\cos 128^\circ = -\cos 52^\circ$$，因此：
$$b = -\cos 50^\circ \cos 52^\circ + \cos 40^\circ \cos 38^\circ$$；
利用积化和差公式：
$$b = \frac{1}{2} [\cos (40^\circ - 38^\circ) + \cos (40^\circ + 38^\circ)] - \frac{1}{2} [\cos (50^\circ - 52^\circ) + \cos (50^\circ + 52^\circ)]$$
$$= \frac{1}{2} [\cos 2^\circ + \cos 78^\circ] - \frac{1}{2} [\cos 2^\circ + \cos 102^\circ]$$
$$= \frac{1}{2} (\cos 78^\circ - \cos 102^\circ)$$
$$= \sin 90^\circ \sin 12^\circ = \sin 12^\circ$$；
$$c = 2 \cos^2 40^\circ - 1 = \cos 80^\circ = \sin 10^\circ$$；
比较$$\sin 11^\circ$$、$$\sin 12^\circ$$、$$\sin 10^\circ$$，显然$$\sin 12^\circ > \sin 11^\circ > \sin 10^\circ$$，即$$b > a > c$$，选B。
7. 求$$\tan \alpha + \tan \beta$$的最小值：
由$$\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$$，利用正切和公式：
$$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \sqrt{3}$$；
设$$\tan \alpha + \tan \beta = t$$，则：
$$\frac{t}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \sqrt{3}$$；
又$$\tan \alpha \tan \beta \leq \left(\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{2}\right)^2 = \frac{t^2}{4}$$；
代入得：
$$\frac{t}{1 - \frac{t^2}{4}} \geq \sqrt{3}$$；
解得$$t \geq \frac{2\sqrt{3}}{3}$$，当$$\tan \alpha = \tan \beta = \frac{\sqrt{3}}{3}$$时取等，选C。
8. 古代数学问题中的“晷影长”计算：
第一次测量：$$l_1 = h \tan \alpha = 2.5 h$$，因此$$\tan \alpha = 2.5$$；
第二次测量：$$l_2 = h \tan \beta$$；
已知$$\tan (\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$$，利用差角公式：
$$\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} = \frac{1}{2}$$；
代入$$\tan \alpha = 2.5$$：
$$\frac{2.5 - \tan \beta}{1 + 2.5 \tan \beta} = \frac{1}{2}$$；
解得$$\tan \beta = \frac{4}{3}$$，因此$$l_2 = \frac{4}{3} h$$，选C。
9. 已知$$\sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，求$$\cos \left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$$：
设$$\theta = x - \frac{\pi}{4}$$，则$$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$；
$$\cos (2x - \frac{\pi}{3}) = \cos \left(2\theta + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \cos \left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right)$$；
利用余弦和公式：
$$\cos 2\theta \cos \frac{\pi}{6} - \sin 2\theta \sin \frac{\pi}{6}$$；
计算$$\cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{3}{5}$$，$$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{4}{5}$$；
代入得：
$$\frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3} - 4}{10}$$，选C。
10. 已知$$\tan \alpha = \frac{1}{2}$$，$$\tan \beta = \frac{1}{3}$$，求$$\tan (\alpha + \beta)$$：
利用正切和公式：
$$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$$，选A。
题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱
.jpg)