给值求值-5.5 三角恒等变换知识点月考进阶选择题自测题解析-西藏自治区等高一数学必修,平均正确率57.99999999999999%

1、['给值求值']

正确率80.0%已知$$\mathrm{s i n} \alpha=\frac{\sqrt{5}} {5}，$$则$$\operatorname{c o s} \left( \alpha-\frac{\pi} {2} \right)=$$（）

A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$

B.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$

C.$$- \frac{2 \sqrt{5}} {5}$$

D.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$

2、['给值求值'， '两角和与差的余弦公式']

正确率60.0%已知$${{α}{，}{β}}$$为第四象限角$$\mathrm{c o s} \alpha=\frac{3} {5}， ~ \operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=-\frac{5} {1 3}，$$则$${{c}{o}{s}{β}}$$的值为（）

A.$$\frac{3 3} {6 5}$$

B.$$- \frac{3 3} {6 5}$$

C.$$\frac{5 4} {6 5}$$

D.$$- \frac{5 4} {6 5}$$

3、['给值求值'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正切公式']

正确率60.0%已知$$\alpha\in( 0， \pi)，$$且$$\operatorname{t a n} \left( \alpha+\frac{\pi} {4} \right)=\frac{1} {7}，$$则$$\operatorname{s i n} \! \alpha=$$（）

A.$$\frac{3} {5}$$

B.$$- \frac{3} {5}$$

C.$$\frac{4} {5}$$

D.$$- \frac{4} {5}$$

4、['给值求值'， '两角和与差的正切公式']

正确率40.0%已知$$\mathrm{s i n} 2 \alpha=\frac{3} {5} \Big( \frac{\pi} {2} < 2 \alpha< \pi\Big) \，，$$$$\operatorname{t a n} ( \alpha-\beta)=\frac{1} {2}，$$则$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=$$（）

A.$${{−}{2}}$$

B.$${{−}{1}}$$

C.$$- \frac2 {1 1}$$

D.$$\frac{2} {1 1}$$

5、['给值求值'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%若$$\alpha\in( 0， \ \frac{\pi} {2} )，$$若$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\frac{\pi} {6} )=\frac{4} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} ( 2 \alpha+\frac{\pi} {3} )$$的值为（）

A.$$\frac{1 2} {2 5}$$

B.$$\frac{2 4} {2 5}$$

C.$$- \frac{2 4} {2 5}$$

D.$$- \frac{1 2} {2 5}$$

6、['给值求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \theta=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s} 2 \theta=$$（）

A.$$- \frac{2} {9}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$

C.$$- \frac{7} {9}$$

D.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$

7、['给值求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']

正确率60.0%若$$\frac{\sqrt{2} \operatorname{c o s} 2 \theta} {\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {4}+\theta)}=\sqrt{3} \operatorname{s i n} 2 \theta，$$则$$( \operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta)^{\textit{2}}=\ub($$）

A.$$\frac{4} {3}$$

B.$$\frac{5} {3}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

8、['给值求值'， '同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '同角三角函数的平方关系'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=3，$$则$$\frac{1+\operatorname{c o s}^{2} \alpha} {\operatorname{s i n} \alpha\operatorname{c o s} \alpha+\operatorname{s i n}^{2} \alpha}=\ ($$）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{9} {1 6}$$

C.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{1 1} {1 2}$$

9、['利用诱导公式化简'， '给值求值'， '同角三角函数的商数关系'， '角的代换']

正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \frac{1 2 \! \pi} {5}+\theta\right)+2 \operatorname{s i n} \left( \frac{1 1 \! \pi} {1 0}-\theta\right)=0.$$则$$\operatorname{t a n} \left( \frac{\mathrm{\ensuremath{~ \pi~}}} {5}+\theta\right)=\textsubscript{(}$$）

A.$${{2}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$${{−}{2}}$$

D.$$- \frac{1} {2}$$

10、['利用诱导公式化简'， '给值求值'， '两角和与差的正切公式']

正确率60.0%若$$\operatorname{t a n} \left( \alpha+\frac{7 \pi} {4} \right)=\frac{1} {3}，$$则$$\mathrm{t a n} \alpha=$$（）

A.$${{3}}$$

B.$${{−}{3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{−}{2}}$$

1. 解析：利用余弦的性质，$$\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。因此，答案为 A。

2. 解析：已知 $$\cos \alpha = \frac{3}{5}$$，$$\alpha$$ 在第四象限，故 $$\sin \alpha = -\frac{4}{5}$$。又 $$\cos(\alpha + \beta) = -\frac{5}{13}$$，且 $$\alpha + \beta$$ 在第三象限，故 $$\sin(\alpha + \beta) = -\frac{12}{13}$$。利用余弦差公式： $$ \cos \beta = \cos[(\alpha + \beta) - \alpha] = \cos(\alpha + \beta)\cos \alpha + \sin(\alpha + \beta)\sin \alpha = \left(-\frac{5}{13}\right)\left(\frac{3}{5}\right) + \left(-\frac{12}{13}\right)\left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{33}{65} $$ 答案为 A。

3. 解析：由 $$\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{7}$$，利用正切加法公式： $$ \frac{\tan \alpha + 1}{1 - \tan \alpha} = \frac{1}{7} \Rightarrow 7\tan \alpha + 7 = 1 - \tan \alpha \Rightarrow \tan \alpha = -\frac{3}{4} $$ 因为 $$\alpha \in (0, \pi)$$，且 $$\tan \alpha < 0$$，故 $$\alpha$$ 在第二象限，$$\sin \alpha = \frac{3}{5}$$。答案为 A。

4. 解析：已知 $$\frac{\pi}{2} < 2\alpha < \pi$$，故 $$\alpha$$ 在第一象限，$$\cos 2\alpha = -\frac{4}{5}$$。由 $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$$，设 $$\tan \alpha = t$$，则： $$ \tan(\alpha + \beta) = \tan[2\alpha - (\alpha - \beta)] = \frac{\tan 2\alpha - \tan(\alpha - \beta)}{1 + \tan 2\alpha \tan(\alpha - \beta)} $$ 利用 $$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = -\frac{3}{4}$$，代入得： $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1 + \left(-\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{-\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} = -2 $$ 答案为 A。

5. 解析：由 $$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{4}{5}$$，$$\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$，故 $$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{5}$$。利用二倍角公式： $$ \sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25} $$ 答案为 B。

6. 解析：利用余弦二倍角公式： $$ \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta = 1 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} $$ 答案为 D。

7. 解析：化简方程： $$ \frac{\sqrt{2} \cos 2\theta}{\cos\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right)} = \sqrt{3} \sin 2\theta $$ 利用 $$\cos 2\theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right)$$ 和 $$\cos\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)$$，化简得： $$ \frac{\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)} = \sqrt{3} \sin 2\theta $$ 利用 $$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$，进一步化简可得： $$ (\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + \sin 2\theta = \frac{4}{3} $$ 答案为 A。

8. 解析：已知 $$\tan \alpha = 3$$，将表达式化简： $$ \frac{1 + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha} = \frac{1 + \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha}}{\frac{\tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} + \frac{\tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}} = \frac{1 + \frac{1}{10}}{\frac{3}{10} + \frac{9}{10}} = \frac{\frac{11}{10}}{\frac{12}{10}} = \frac{11}{12} $$ 答案为 D。

9. 解析：利用正弦函数的周期性化简方程： $$ \sin\left(\frac{12\pi}{5} + \theta\right) + 2\sin\left(\frac{11\pi}{10} - \theta\right) = 0 $$ 化简后可得： $$ \tan\left(\frac{\pi}{5} + \theta\right) = -2 $$ 答案为 C。

10. 解析：由 $$\tan\left(\alpha + \frac{7\pi}{4}\right) = \frac{1}{3}$$，利用正切周期性： $$ \tan\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{3} $$ 利用正切减法公式： $$ \frac{\tan \alpha - 1}{1 + \tan \alpha} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3\tan \alpha - 3 = 1 + \tan \alpha \Rightarrow \tan \alpha = 2 $$ 答案为 C。

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