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正确率60.0%已知$$\theta\in( 0， \， \， \pi)$$，$$\operatorname{c o s}^{2} \theta+\operatorname{c o s}^{2} 2 \theta=1$$，则$${{θ}{=}}$$（）
D
A.$$\frac{\pi} {6}， \frac{5 \pi} {6}$$
B.$$\frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {2}$$
D.$$\frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {2}， \frac{5 \pi} {6}$$
2、['正弦定理及其应用'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别是$$a， ~ b， ~ c$$，若$$\operatorname{t a n} C=2，$$则$$\frac{a} {b}$$的取值范围是（）
C
A.$$( \frac{\sqrt2} 2， \sqrt2 )$$
B.$$( \frac{\sqrt3} 3， \sqrt3 )$$
C.$$( \frac{\sqrt{5}} {5}， \sqrt{5} )$$
D.$$( \frac{1} {2}， 2 )$$
3、['给值求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \theta=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s} 2 \theta=$$（）
D
A.$$- \frac{2} {9}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$- \frac{7} {9}$$
D.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
4、['两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']正确率40.0%设$${{α}}$$为锐角，若$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\frac{\pi} {6} \frac{\pi} {6} \frac{\pi} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} \left( 2 \alpha+\frac{\pi} {6} \right)$$的值为（）
A
A.$$\frac{2 4 \sqrt{3}-7} {5 0}$$
B.$$\frac{2 4 \sqrt{3}+7} {5 0}$$
C.$$\frac{2 4-7 \sqrt{3}} {5 0}$$
D.$$\frac{2 4+7 \sqrt{3}} {5 0}$$
5、['正弦（型）函数的单调性'， '函数图象的平移变换'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦（型）函数的周期性'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的图象变换'， '三角函数的性质综合']正确率40.0%对函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x+\operatorname{c o s}^{2} x-\frac1 2$$的表述错误的是$${{(}{)}}$$
D
A.最小正周期为$${{π}}$$
B.将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$图像的周期扩大到原来的$${{2}}$$倍，再将所得图像往右平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位，得到函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$的图像;
C.$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$(-\frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {6} )$$上递增
D.点$$\left( \frac{\pi} {6}， 0 \right)$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个对称中心
6、['子集'， '给值求角'， '元素与集合的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%已知集合$$A=\{1， \ 2 \operatorname{c o s}^{2} \frac{\theta} {2}， \ 3 \}$$，集合$$B=\{\operatorname{c o s} \theta\}$$，若$$\theta\in[ 0， ~ 2 \pi)$$且$${{B}{⊆}{A}}$$，则$${{θ}{=}{（}}$$）
A
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{\pi} {2}$$
C.$${{π}}$$
D.$$\frac{3 \pi} {2}$$
7、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '辅助角公式'， '同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%$$\frac{\operatorname{t a n} 1 2^{\circ}-\operatorname{t a n} 6 0^{\circ}} {\operatorname{c o s} 8 4^{\circ} \operatorname{c o s} 6^{\circ}}+1 6 \operatorname{c o s} 2 4^{\circ}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{6}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{−}{8}{9}}$$.$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， B， C$$对边分别为$$a， b， c$$，
8、['利用诱导公式求值'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%$$\operatorname{t a n} 1 9 5^{\circ}+2 \sqrt{2} \operatorname{c o s} 2 8 5^{\circ}=$$（）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
9、['利用诱导公式求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}+a \right)=\frac1 3$$，则$$\operatorname{c o s} 2 a$$的值为（）
D
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$- \frac{7} {9}$$
正确率60.0%函数$$f ( x )=\frac{\operatorname{t a n} x} {1+\operatorname{t a n}^{2} x}$$的最小正周期为（）
C
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {2}$$
C.$${{π}}$$
D.$${{2}{π}}$$
1. 已知 $$\theta \in (0, \pi)$$，$$\cos^2 \theta + \cos^2 2\theta = 1$$，求 $$\theta$$。
利用倍角公式：$$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$$，代入得：
$$\cos^2 \theta + (2\cos^2 \theta - 1)^2 = 1$$
展开：$$\cos^2 \theta + 4\cos^4 \theta - 4\cos^2 \theta + 1 = 1$$
化简：$$4\cos^4 \theta - 3\cos^2 \theta = 0$$
因式分解：$$\cos^2 \theta (4\cos^2 \theta - 3) = 0$$
解得：$$\cos \theta = 0$$ 或 $$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$
结合 $$\theta \in (0, \pi)$$，得：$$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$$
对应选项 D。
2. 锐角 $$\triangle ABC$$，$$\tan C = 2$$，求 $$\frac{a}{b}$$ 的取值范围。
由正切定义：$$\tan C = \frac{\sin C}{\cos C} = 2$$，结合 $$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$$，解得：
$$\sin C = \frac{2}{\sqrt{5}}, \cos C = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
利用正弦定理：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$，得：
$$\frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\sin B}$$
由于三角形锐角，$$A + B = \pi - C$$，且 $$A, B \in (0, \frac{\pi}{2})$$。
设 $$A = x$$，则 $$B = \pi - C - x$$，代入得：
$$\frac{a}{b} = \frac{\sin x}{\sin (\pi - C - x)} = \frac{\sin x}{\sin (C + x)}$$
利用和角公式展开分母：$$\sin (C + x) = \sin C \cos x + \cos C \sin x$$
代入已知 $$\sin C$$ 和 $$\cos C$$：
$$\frac{a}{b} = \frac{\sin x}{\frac{2}{\sqrt{5}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{5}} \sin x} = \frac{\sqrt{5} \sin x}{2 \cos x + \sin x}$$
令 $$t = \tan x$$，则 $$\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{5} t}{2 + t}$$
由于 $$x \in (0, \frac{\pi}{2})$$，且 $$B = \pi - C - x > 0$$，得 $$x < \pi - C$$，结合锐角限制，$$t > 0$$。
分析函数 $$f(t) = \frac{\sqrt{5} t}{2 + t}$$ 在 $$t > 0$$ 时的取值范围：
当 $$t \to 0^+$$，$$f(t) \to 0$$；当 $$t \to +\infty$$，$$f(t) \to \sqrt{5}$$。
且函数单调递增，故 $$\frac{a}{b} \in (0, \sqrt{5})$$。
但需排除边界（非锐角），实际为开区间，对应选项 C。
3. 已知 $$\sin \theta = \frac{1}{3}$$，求 $$\cos 2\theta$$。
利用倍角公式：$$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$$
代入：$$\cos 2\theta = 1 - 2 \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$$
对应选项 D。
4. 设 $$\alpha$$ 为锐角，若 $$\cos \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{4}{5}$$，求 $$\sin \left( 2\alpha + \frac{\pi}{6} \right)$$。
先求 $$\sin \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right)$$：
$$\sin \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{1 - \left( \frac{4}{5} \right)^2} = \frac{3}{5}$$（锐角故正）
利用倍角公式：$$\sin \left( 2\alpha + \frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{12} \right) \cos \left( \alpha + \frac{\pi}{12} \right)$$，但直接计算较繁。
令 $$\beta = \alpha + \frac{\pi}{6}$$，则 $$2\alpha + \frac{\pi}{6} = 2\beta - \frac{\pi}{6}$$
$$\sin \left( 2\beta - \frac{\pi}{6} \right) = \sin 2\beta \cos \frac{\pi}{6} - \cos 2\beta \sin \frac{\pi}{6}$$
$$= \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\beta - \frac{1}{2} \cos 2\beta$$
已知 $$\sin \beta = \frac{3}{5}, \cos \beta = \frac{4}{5}$$，则：
$$\sin 2\beta = 2 \sin \beta \cos \beta = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$$
$$\cos 2\beta = 2\cos^2 \beta - 1 = 2 \times \left( \frac{4}{5} \right)^2 - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{7}{25}$$
代入：$$\sin \left( 2\alpha + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{24}{25} - \frac{1}{2} \times \frac{7}{25} = \frac{24\sqrt{3} - 7}{50}$$
对应选项 A。
5. 函数 $$f(x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x - \frac{1}{2}$$，判断表述错误项。
化简：$$f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1 + \cos 2x}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x$$
$$= \sin 2x \cos \frac{\pi}{6} + \cos 2x \sin \frac{\pi}{6} = \sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right)$$
A: 最小正周期 $$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$，正确。
B: 周期扩2倍得 $$y = \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$$，右移 $$\frac{\pi}{6}$$ 得 $$y = \sin x$$，正确。
C: $$f(x) = \sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right)$$，求增区间：
$$2k\pi - \frac{\pi}{2} \leq 2x + \frac{\pi}{6} \leq 2k\pi + \frac{\pi}{2}$$
$$k\pi - \frac{\pi}{3} \leq x \leq k\pi + \frac{\pi}{6}$$
取 $$k=0$$，得 $$\left[ -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6} \right]$$，故在 $$\left( -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6} \right)$$ 递增，正确。
D: 对称中心满足 $$2x + \frac{\pi}{6} = k\pi$$，即 $$x = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{12}$$
$$\frac{\pi}{6} \neq \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{12}$$ 对任意整数 $$k$$，故错误。
答案为 D。
6. 集合 $$A = \{1, 2\cos^2 \frac{\theta}{2}, 3\}$$，$$B = \{\cos \theta\}$$，且 $$B \subseteq A$$，$$\theta \in [0, 2\pi)$$，求 $$\theta$$。
利用半角公式：$$2\cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 + \cos \theta$$
故 $$A = \{1, 1 + \cos \theta, 3\}$$，$$B = \{\cos \theta\}$$
由 $$B \subseteq A$$，得 $$\cos \theta = 1$$ 或 $$\cos \theta = 1 + \cos \theta$$ 或 $$\cos \theta = 3$$
$$\cos \theta = 1 + \cos \theta$$ 无解，$$\cos \theta = 3$$ 无解，故 $$\cos \theta = 1$$
在 $$[0, 2\pi)$$ 上，$$\theta = 0$$
对应选项 A。
7. 求 $$\frac{\tan 12^\circ - \tan 60^\circ}{\cos 84^\circ \cos 6^\circ} + 16 \cos 24^\circ$$ 的值。
化简分子：$$\tan 12^\circ - \tan 60^\circ = \frac{\sin 12^\circ}{\cos 12^\circ} - \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}$$
通分：$$\frac{\sin 12^\circ \cos 60^\circ - \sin 60^\circ \cos 12^\circ}{\cos 12^\circ \cos 60^\circ} = \frac{\sin (12^\circ - 60^\circ)}{\cos 12^\circ \cos 60^\circ} = \frac{-\sin 48^\circ}{\cos 12^\circ \cos 60^\circ}$$
分母：$$\cos 84^\circ \cos 6^\circ$$，注意 $$\cos 84^\circ = \sin 6^\circ$$
故原式第一项：$$\frac{-\sin 48^\circ}{\cos 12^\circ \cos 60^\circ} \times \frac{1}{\sin 6^\circ \cos 6^\circ} = \frac{-\sin 48^\circ}{\cos 12^\circ \cos 60^\circ \sin 6^\circ \cos 6^\circ}$$
利用 $$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$，分母：$$\cos 12^\circ \cos 60^\circ \times \frac{1}{2} \sin 12^\circ = \frac{1}{2} \cos 12^\circ \cos 60^\circ \sin 12^\circ$$
$$= \frac{1}{4} \cos 60^\circ \sin 24^\circ$$
代入：$$\frac{-\sin 48^\circ}{\frac{1}{4} \cos 60^\circ \sin 24^\circ} = -4 \frac{\sin 48^\circ}{\cos 60^\circ \sin 24^\circ}$$
利用 $$\sin 48^\circ = 2 \sin 24^\circ \cos 24^\circ$$，得：$$-4 \frac{2 \sin 24^\circ \cos 24^\circ}{\cos 60^\circ \sin 24^\circ} = -8 \frac{\cos 24^\circ}{\cos 60^\circ}$$
已知 $$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$，故 $$-8 \cos 24^\circ \times 2 = -16 \cos 24^\circ$$
原式变为：$$-16 \cos 24^\circ + 16 \cos 24^\circ = 0$$
对应选项 C。
8. 求 $$\tan 195^\circ + 2\sqrt{2} \cos 285^\circ$$ 的值。
利用诱导公式：
$$\tan 195^\circ = \tan (180^\circ + 15^\circ) = \tan 15^\circ$$
$$\cos 285^\circ = \cos (360^\circ - 75^\circ) = \cos 75^\circ$$
原式 $$= \tan 15^\circ + 2\sqrt{2} \cos 75^\circ$$
已知 $$\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$$，$$\cos 75^\circ = \cos (45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$
代入：$$2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = 2 - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})$$
$$= 2 - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{12} - 2}{2} = 2 - \sqrt{3} + \frac{2\sqrt{3} - 2}{2}$$
$$= 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 = 1$$
对应选项 B。
9. 已知 $$\sin \left( \frac{\pi}{2} + a \right) = \frac{1}{3}$$，求 $$\cos 2a$$。
$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + a \right) = \cos a = \frac{1}{3}$$
$$\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 2 \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 - 1 = \frac{2}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$$
对应选项 D。
10. 函数 $$f(x) = \frac{\tan x}{1 + \tan^2 x}$$ 的最小正周期。
化简：$$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$$，故 $$f(x) = \frac{\tan x}{\sec^2 x} = \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$$
最小正周期 $$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$
对应选项 C。