二倍角的正弦、余弦、正切公式-5.5 三角恒等变换知识点回顾基础自测题解析-山西省等高一数学必修,平均正确率60.0%

1、['同角三角函数的基本关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率80.0%已知$$\operatorname{c o s} x+\operatorname{s i n} x=\frac1 3$$，则$$\operatorname{s i n} 2 x=( \begin{array} {c} {\} \\ {\} \\ \end{array} )$$

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$- \frac{8} {9}$$

C.$$- \frac2 3$$

D.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$

2、['向量的模'， '向量与其他知识的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%已知向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$| \boldsymbol{a} |=\sqrt{3}， | \boldsymbol{b} |=1$$，且对任意实数$${{x}}$$，不等式$$| \boldsymbol{a}+x \boldsymbol{b} | \geqslant| \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} |$$恒成立，设$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角为$${{θ}{，}}$$则$$\operatorname{t a n} 2 \theta=$$（）

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${{−}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{−}{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

3、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%如果$${{|}{{c}{o}{s}}}$$$$| \theta|=\frac{1} {5}， \， \， \， \frac{7 \pi} {2} < \theta< 4 \pi，$$那么$$\operatorname{c o s} \frac{\theta} {2}$$的值等于（）

A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$

B.$$- \frac{\sqrt{1 0}} {5}$$

C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$

D.$$- \frac{\sqrt{1 5}} {5}$$

4、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '特殊角的三角函数值']

正确率60.0%计算：$$2 \operatorname{s i n} {\frac{\pi} {1 2}} \operatorname{c o s} {\frac{\pi} {1 2}}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

C.$$\frac{1} {4}$$

D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

5、['正弦定理及其应用'， '万能公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$a ( 2 \operatorname{c o s}^{2} {\frac{A} {2}}-1 )=b {\frac{1-\operatorname{t a n}^{2} {\frac{B} {2}}} {1+\operatorname{t a n}^{2} {\frac{B} {2}}}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰或直角三角形

D.等腰直角三角形

6、['直线的一般式方程与其他形式方程的互化'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '直线的斜率'， '齐次式的求值问题'， '直线的倾斜角']

正确率60.0%已知直线$$2 x-4 y+9=0$$的倾斜角为$${{α}{，}}$$则$$\operatorname{s i n} 2 \alpha=$$

A.$$\frac{2} {5}$$

B.$$\frac{4} {5}$$

C.$$\frac{3} {1 0}$$

D.$$\frac{1} {2}$$

7、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的周期性']

正确率60.0%若函数$$f ( x )=\operatorname{c o s}^{2} x-\frac{1} {2} ( x \in{\bf R} )$$，则$${{f}{（}{x}{）}}$$是（）

A.最小正周期为$$\frac{\pi} {2}$$的奇函数

B.最小正周期为$${{π}}$$的奇函数

C.最小正周期为$${{π}}$$的偶函数

D.最小正周期为$${{2}{π}}$$的偶函数

8、['三角函数值在各象限的符号'， '同角三角函数的平方关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \， \theta+\operatorname{c o s} \， \theta=\frac{1} {3} (-\pi< \! \theta< 0 )，$$则$$\operatorname{s i n} \， \theta-\operatorname{c o s} \， \theta$$的值为$${{(}{)}}$$．

A.$$\frac{\sqrt{1 5}} {3}$$

B.$$- \frac{\sqrt{1 5}} {3}$$

C.$$\frac{\sqrt{1 7}} {3}$$

D.$$- \frac{\sqrt{1 7}} {3}$$

9、['利用诱导公式化简'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '特殊角的三角函数值']

正确率60.0%设$$a=\operatorname{s i n} 1 7^{\circ} \operatorname{c o s} 4 5^{\circ}+\operatorname{c o s} 1 7^{\circ} \operatorname{s i n} 4 5^{\circ}， \ b=2 \operatorname{c o s}^{2} 1 3^{\circ}-1， \ c=\frac{\sqrt{3}} {2}$$，则有$${{(}{)}}$$

A.$$a < b < c$$

B.$$b < c < a$$

C.$$c < a < b$$

D.$$b < a < c$$

10、['同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率80.0%已知$$\alpha\in R， \operatorname{s i n} \alpha+2 \operatorname{c o s} \alpha=\frac{\sqrt{1 0}} {2}$$，则$$\operatorname{t a n} 2 \alpha=( \phantom{h} )$$

A.$$\frac{4} {3}$$

B.$$\frac{3} {4}$$

C.$$- \frac{3} {4}$$

D.$$- \frac{4} {3}$$

1. 已知 $$ \cos x + \sin x = \frac{1}{3} $$，两边平方得： $$ (\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin 2x = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} $$ 解得： $$ \sin 2x = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9} $$ 答案为 B。

2. 不等式 $$ | \boldsymbol{a} + x \boldsymbol{b} | \geq | \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} | $$ 对所有实数 $$ x $$ 成立，说明 $$ x = 1 $$ 是极小值点。由向量模的性质： $$ | \boldsymbol{a} + x \boldsymbol{b} |^2 = | \boldsymbol{a} |^2 + x^2 | \boldsymbol{b} |^2 + 2x (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) $$ 求导并令导数为零： $$ 2x | \boldsymbol{b} |^2 + 2 (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) = 0 \Rightarrow x = -\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{| \boldsymbol{b} |^2} $$ 由题意 $$ x = 1 $$ 是极小值点，故： $$ 1 = -\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{1} \Rightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -1 $$ 又 $$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = | \boldsymbol{a} | | \boldsymbol{b} | \cos \theta = \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \cos \theta = -1 $$，解得： $$ \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}} $$ 进一步求得： $$ \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{\frac{2}{3}} $$ $$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\sqrt{2} $$ $$ \tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{-2\sqrt{2}}{1 - 2} = 2\sqrt{2} $$ 答案为 D。

3. 由 $$ | \cos \theta | = \frac{1}{5} $$ 且 $$ \frac{7\pi}{2} < \theta < 4\pi $$，知 $$ \theta $$ 在第四象限，故 $$ \cos \theta = \frac{1}{5} $$。设 $$ \alpha = \frac{\theta}{2} $$，则 $$ \frac{7\pi}{4} < \alpha < 2\pi $$，$$ \alpha $$ 在第四象限，$$ \cos \alpha > 0 $$。利用半角公式： $$ \cos \alpha = \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5} $$ 但 $$ \alpha $$ 在第四象限，$$ \cos \alpha $$ 为正，故答案为 C。

4. 利用二倍角公式： $$ 2 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{12} \right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $$ 答案为 A。

5. 化简等式： $$ a \left( 2 \cos^2 \frac{A}{2} - 1 \right) = a \cos A $$ $$ b \left( \frac{1 - \tan^2 \frac{B}{2}}{1 + \tan^2 \frac{B}{2}} \right) = b \cos B $$ 故等式为 $$ a \cos A = b \cos B $$。由正弦定理： $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow a = b \frac{\sin A}{\sin B} $$ 代入得： $$ b \frac{\sin A}{\sin B} \cos A = b \cos B \Rightarrow \sin A \cos A = \sin B \cos B $$ 即 $$ \sin 2A = \sin 2B $$，解得 $$ 2A = 2B $$ 或 $$ 2A = \pi - 2B $$，即 $$ A = B $$ 或 $$ A + B = \frac{\pi}{2} $$。故三角形为等腰或直角三角形，答案为 C。

6. 直线 $$ 2x - 4y + 9 = 0 $$ 的斜率为 $$ \frac{1}{2} $$，故 $$ \tan \alpha = \frac{1}{2} $$。利用二倍角公式： $$ \sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} $$ 答案为 B。

7. 函数 $$ f(x) = \cos^2 x - \frac{1}{2} $$ 可化简为： $$ f(x) = \frac{1 + \cos 2x}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\cos 2x}{2} $$ 周期为 $$ \pi $$，且为偶函数，答案为 C。

8. 设 $$ \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3} $$，平方得： $$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 1 + \sin 2\theta = \frac{1}{9} \Rightarrow \sin 2\theta = -\frac{8}{9} $$ 又 $$ (\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - \sin 2\theta = 1 - \left( -\frac{8}{9} \right) = \frac{17}{9} $$ 由于 $$ -\pi < \theta < 0 $$，且 $$ \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3} > 0 $$，知 $$ \theta $$ 在第四象限，$$ \sin \theta - \cos \theta < 0 $$，故： $$ \sin \theta - \cos \theta = -\frac{\sqrt{17}}{3} $$ 答案为 D。

9. 计算各值： $$ a = \sin 17^\circ \cos 45^\circ + \cos 17^\circ \sin 45^\circ = \sin (17^\circ + 45^\circ) = \sin 62^\circ $$ $$ b = 2 \cos^2 13^\circ - 1 = \cos 26^\circ $$ $$ c = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60^\circ $$ 比较大小： $$ \sin 62^\circ > \sin 60^\circ > \cos 26^\circ $$ 即 $$ b < c < a $$，答案为 B。

10. 设 $$ \sin \alpha + 2 \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{2} $$，两边平方： $$ \sin^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha + 4 \cos^2 \alpha = \frac{10}{4} $$ 化简为： $$ 1 + 4 \sin \alpha \cos \alpha + 3 \cos^2 \alpha = \frac{5}{2} $$ 利用 $$ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $$ 和 $$ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} $$，得： $$ 1 + 2 \sin 2\alpha + \frac{3}{2} (1 + \cos 2\alpha) = \frac{5}{2} $$ 整理得： $$ 2 \sin 2\alpha + \frac{3}{2} \cos 2\alpha = 0 \Rightarrow \tan 2\alpha = -\frac{3}{4} $$ 答案为 C。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}