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正确率40.0%定义运算$$\left| \begin{matrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \\ \end{matrix} \right|$$$$= a d-b c，$$若$$\left| \begin{matrix} {\operatorname{s i n} \alpha} & {\operatorname{s i n} \beta} \\ {\operatorname{c o s} \alpha} & {\operatorname{c o s} \beta} \\ \end{matrix} \right|$$$$=-\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}， ~ \mathrm{s i n} \alpha=\frac{\sqrt{5}} {5}$$，$$\alpha， \beta\in\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)，$$则$${{β}{=}}$$（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
2、['给值求角'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\theta\in( 0， \， \， \pi)$$，$$\operatorname{c o s}^{2} \theta+\operatorname{c o s}^{2} 2 \theta=1$$，则$${{θ}{=}}$$（）
D
A.$$\frac{\pi} {6}， \frac{5 \pi} {6}$$
B.$$\frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {2}$$
D.$$\frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {2}， \frac{5 \pi} {6}$$
3、['给值求角']正确率40.0%已知函数$$y={\sqrt{3}} \operatorname{t a n} {\frac{x} {2}}， ~ x \neq~ ( 2 k+1 ) ~ \pi~ ( ~ k \in Z )$$，若$${{y}{=}{1}}$$，则（）
B
A.$$x=k \pi+{\frac{\pi} {3}} \ ( \ k \in Z )$$
B.$$x=2 k \pi+{\frac{\pi} {3}} \ ( \ k \in Z )$$
C.$$x=k \pi+{\frac{\pi} {6}} \ ( \ k \in Z )$$
D.$$x=2 k \pi+{\frac{\pi} {6}} \ ( \ k \in Z )$$
4、['一元二次方程根与系数的关系'， '给值求角'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha， ~ \operatorname{t a n} \beta$$是方程$$x^{2}+\sqrt{3} x-2=0$$的两个根，且$$- \frac{\pi} {2} < \alpha< \frac{\pi} {2}， ~ ~-\frac{\pi} {2} < \beta< \frac{\pi} {2}$$，则$${{α}{+}{β}}$$的值是（）
C
A.$$- \frac{\pi} {6}$$
B.$$- \frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$或$$- \frac{5 \pi} {6}$$
D.$$- \frac{\pi} {3}$$或$$\frac{2 \pi} {3}$$
5、['给值求角'， '两角和与差的正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知$${{α}}$$为第二象限角，且$$\operatorname{s i n} \alpha=\frac{\sqrt{2}} {2}，$$则$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\frac{\pi} {3} )=$$（）
A
A.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}{+}{\sqrt {3}}}$$
C.$$\sqrt3-1$$
D.$$\sqrt3+1$$
6、['给值求角']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，如果$$\operatorname{c o s} A=-\frac{1} {2}，$$则角$${{A}{=}{（}}$$）
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
7、['给值求角'， '充分、必要条件的判定'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%命题$$p \colon x \in{\bf R}$$且满足$$\operatorname{s i n} 2 x=1.$$命题$$q \colon x \in{\bf R}$$且满足$$\operatorname{t a n} x=1.$$则$${{p}}$$是$${{q}}$$的（）
C
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8、['正弦定理及其应用'， '给值求角']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， B， C$$的对边分别为$$a， b， c， \， \， \， a=3， \， \， \， b=2， \， \， \， \， \operatorname{s i n} B=\frac{1} {3}$$，则$${{A}}$$为（）
C
A.$${{3}{0}{^{∘}}}$$
B.$${{1}{5}{0}{^{∘}}}$$
C.$${{3}{0}{^{∘}}}$$或$${{1}{5}{0}{^{∘}}}$$
D.$${{6}{0}{^{∘}}}$$或$${{1}{2}{0}{^{∘}}}$$
9、['给值求角'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$2 \operatorname{s i n} A+\sqrt{3} \operatorname{c o s} B=3， ~ 2 \operatorname{c o s} A+\sqrt{3} \operatorname{s i n} B=2$$，则角$${{C}{=}}$$
C
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$或$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$或$$\frac{5 \pi} {6}$$
10、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '给值求角'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%已知在三角形$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=\sqrt{3}， \ B C=1， \ c \operatorname{s i n} B=\sqrt{3} b \operatorname{c o s} C$$，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的面积为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
1. 根据行列式定义：$$ \left| \begin{matrix} \sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & \cos \beta \end{matrix} \right| = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \sin (\alpha - \beta) = -\frac{\sqrt{10}}{10} $$
已知 $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，且 $$\alpha, \beta \in (0, \frac{\pi}{2})$$，则 $$\alpha - \beta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$$
由 $$\sin (\alpha - \beta) = -\frac{\sqrt{10}}{10} < 0$$，得 $$\alpha - \beta < 0$$，即 $$\beta > \alpha$$
计算 $$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$
设 $$\sin (\beta - \alpha) = \frac{\sqrt{10}}{10}$$，则 $$\cos (\beta - \alpha) = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$
计算 $$\sin \beta = \sin [\alpha + (\beta - \alpha)] = \sin \alpha \cos (\beta - \alpha) + \cos \alpha \sin (\beta - \alpha) = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} + \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{3\sqrt{50} + 2\sqrt{50}}{50} = \frac{5\sqrt{50}}{50} = \frac{\sqrt{50}}{10} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
因此 $$\beta = \frac{\pi}{4}$$，选B
2. 已知 $$\cos^2 \theta + \cos^2 2\theta = 1$$，利用二倍角公式 $$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$$
代入得：$$\cos^2 \theta + (2\cos^2 \theta - 1)^2 = 1$$
展开：$$\cos^2 \theta + 4\cos^4 \theta - 4\cos^2 \theta + 1 = 1$$
整理：$$4\cos^4 \theta - 3\cos^2 \theta = 0$$
因式分解：$$\cos^2 \theta (4\cos^2 \theta - 3) = 0$$
解得：$$\cos \theta = 0$$ 或 $$\cos^2 \theta = \frac{3}{4}$$
当 $$\cos \theta = 0$$ 时，$$\theta = \frac{\pi}{2}$$（$$\theta \in (0, \pi)$$）
当 $$\cos^2 \theta = \frac{3}{4}$$ 时，$$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$
在 $$(0, \pi)$$ 内：$$\theta = \frac{\pi}{6}$$ 或 $$\theta = \frac{5\pi}{6}$$（$$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 或 $$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$）
因此 $$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}$$，选D
3. 解方程：$$\sqrt{3} \tan \frac{x}{2} = 1$$，即 $$\tan \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
通解：$$\frac{x}{2} = k\pi + \frac{\pi}{6}$$（$$k \in Z$$）
因此 $$x = 2k\pi + \frac{\pi}{3}$$，选B
4. 由韦达定理：$$\tan \alpha + \tan \beta = -\sqrt{3}$$，$$\tan \alpha \tan \beta = -2$$
$$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{-\sqrt{3}}{1 - (-2)} = \frac{-\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$
由 $$\alpha, \beta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$$，且 $$\tan \alpha \tan \beta < 0$$，说明一正一负
因此 $$\alpha + \beta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$$，且 $$\tan (\alpha + \beta) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$
得 $$\alpha + \beta = -\frac{\pi}{6}$$，选A
5. 已知 $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，且 $$\alpha$$ 为第二象限角，则 $$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -1$$
$$\tan (\alpha + \frac{\pi}{3}) = \frac{\tan \alpha + \tan \frac{\pi}{3}}{1 - \tan \alpha \tan \frac{\pi}{3}} = \frac{-1 + \sqrt{3}}{1 - (-1) \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$$
有理化：$$\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$$
选A
6. 已知 $$\cos A = -\frac{1}{2}$$，且 $$A$$ 为三角形内角（$$0 < A < \pi$$）
因此 $$A = \frac{2\pi}{3} = 120^\circ$$，选C
7. 命题 $$p: \sin 2x = 1$$ 的解为 $$2x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$$，即 $$x = k\pi + \frac{\pi}{4}$$（$$k \in Z$$）
命题 $$q: \tan x = 1$$ 的解为 $$x = k\pi + \frac{\pi}{4}$$（$$k \in Z$$）
两者解集相同，因此 $$p$$ 是 $$q$$ 的充要条件，选C
8. 由正弦定理：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$
代入：$$\frac{3}{\sin A} = \frac{2}{\frac{1}{3}} = 6$$，因此 $$\sin A = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
由于 $$a > b$$，则 $$A > B$$，且 $$\sin B = \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$$，说明 $$B < 30^\circ$$
因此 $$A$$ 可能为 $$30^\circ$$ 或 $$150^\circ$$，但若 $$A = 150^\circ$$，则 $$A + B > 150^\circ$$，$$C < 30^\circ$$，可能成立
验证：若 $$A = 30^\circ$$，$$\sin A = \frac{1}{2}$$ 符合；若 $$A = 150^\circ$$，$$\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$$ 也符合
但需检查三角形内角和：若 $$A = 150^\circ$$，则 $$B < 30^\circ$$，$$C < 0^\circ$$，矛盾
因此只有 $$A = 30^\circ$$ 有效，选A
9. 设 $$2\sin A + \sqrt{3}\cos B = 3$$ 为(1)，$$2\cos A + \sqrt{3}\sin B = 2$$ 为(2)
将(1)平方加(2)平方：$$4\sin^2 A + 4\sqrt{3}\sin A\cos B + 3\cos^2 B + 4\cos^2 A + 4\sqrt{3}\cos A\sin B + 3\sin^2 B = 9 + 4$$
整理：$$4(\sin^2 A + \cos^2 A) + 3(\sin^2 B + \cos^2 B) + 4\sqrt{3}(\sin A\cos B + \cos A\sin B) = 13$$
即：$$4 + 3 + 4\sqrt{3}\sin(A + B) = 13$$
得：$$4\sqrt{3}\sin(A + B) = 6$$，$$\sin(A + B) = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
因此 $$A + B = \frac{\pi}{3}$$ 或 $$\frac{2\pi}{3}$$
则 $$C = \pi - (A + B) = \frac{2\pi}{3}$$ 或 $$\frac{\pi}{3}$$
但需验证原方程：若 $$C = \frac{\pi}{3}$$，则 $$A + B = \frac{2\pi}{3}$$，$$\sin(A + B) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 符合
若 $$C = \frac{2\pi}{3}$$，则 $$A + B = \frac{\pi}{3}$$，$$\sin(A + B) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 也符合
因此 $$C = \frac{\pi}{3}$$ 或 $$\frac{2\pi}{3}$$，选C
10. 已知 $$c\sin B = \sqrt{3}b\cos C$$，由正弦定理：$$\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}$$
代入：$$\sin C \sin B = \sqrt{3} \sin B \cos C$$
若 $$\sin B \neq 0$$，则 $$\sin C = \sqrt{3} \cos C$$，即 $$\tan C = \sqrt{3}$$，$$C = \frac{\pi}{3}$$
已知 $$AB = c = \sqrt{3}$$，$$BC = a = 1$$，且 $$C = \frac{\pi}{3}$$
由余弦定理：$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$，即 $$3 = 1 + b^2 - 2 \cdot 1 \cdot b \cdot \frac{1}{2}$$
整理：$$b^2 - b - 2 = 0$$，解得 $$b = 2$$（舍负）
面积 $$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
选B