两角和与差的余弦、正弦、正切公式-5.5 三角恒等变换知识点专题基础选择题自测题答案-江苏省等高一数学必修,平均正确率68.0%

1、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '三角函数的图象与性质'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \omega x+\operatorname{c o s} \omega x ( \omega> 0 )$$的图象的一个对称中心的横坐标在区间$$( \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} )$$内，且两个相邻对称中心之间的距离大于$$\frac{\pi} {3}$$，则$${{ω}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$( 0， 3 )$$

B.$$( \frac{3} {2}， 3 )$$

C.$$( 0， \frac{3} {2} )$$

D.$$( 1， 3 )$$

2、['三角函数与二次函数的综合应用'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率40.0%设$$\beta\in( 0， \frac{\pi} {2} )$$，若$$\operatorname{s i n} \alpha=3 \operatorname{s i n} ( \alpha+2 \beta)$$，则$$\operatorname{t a n} ( \alpha+2 \beta)$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$$- \frac{\sqrt{2}} {4}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {4}$$

C.$$- \frac{\sqrt2} 2$$

D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

3、['正弦（型）函数的定义域和值域'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {3} )-\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {6}-2 x ) ( 0 \leqslant x \leqslant\frac{\pi} {2} )$$的值域为$${{(}{)}}$$

A.$$[ \frac{1-\sqrt{3}} {2}， \sqrt{2} ]$$

B.$$[ \frac{\sqrt3-1} {2}， \sqrt2 ]$$

C.$$[ \frac{1-\sqrt{3}} {2}， \frac{\sqrt{3}-1} {2} ]$$

D.$$[ \frac{1-\sqrt{3}} {2}， 2 ]$$

4、['充分、必要条件的判定'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率80.0%设命题$${{p}}$$：$$3 \operatorname{s i n} \alpha\operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=\operatorname{s i n} ( 2 \alpha+\beta)$$，命题$${{q}}$$：$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=2 \operatorname{t a n} \alpha$$，则$${{p}}$$是$${{q}}$$的$${{(}{)}}$$

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

5、['三角函数的图象与性质'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x-\frac{\pi} {4} )-2 \sqrt{2} \operatorname{s i n}^{2} x$$的最小正周期是$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{\pi} {2}$$

B.$${{π}}$$

C.$${{2}{π}}$$

D.$$\frac{\pi} {4}$$

6、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式'， '三角恒等变换']

正确率80.0%著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“$$0. 6 1 8$$优选法”$${{(}}$$又称黄金分割法$${{)}}$$在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用$${{.}}$$经研究，黄金分割比$$t=\frac{\sqrt{5}-1} {2} \approx0. 6 1 8$$还可以表示成$${{2}{{s}{i}{n}}{{1}{8}}{°}}$$，则$$\frac{t+\sqrt{3} \operatorname{s i n} 1 2^{\circ}} {\operatorname{c o s} 1 2^{\circ}}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ {} \\ \end{array} )$$

A.$${{4}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{1}}$$

D.$$\frac{1} {2}$$

7、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式'， '三角恒等变换']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=8 \operatorname{c o s} ( x-\theta+\frac{\pi} {3} ) \operatorname{c o s} ( x-\theta-\frac{\pi} {3} )+2 ( 0 < \theta< \frac{\pi} {2} )$$的一条对称轴为$$x=\frac{\pi} {6}$$，且在区间$$[ 0， t ]$$上值域为$$[ 2， 4 ]$$，则实数$${{t}}$$的最大值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{5 \pi} {6}$$

B.$$\frac{2 \pi} {3}$$

C.$$\frac{5 \pi} {1 2}$$

D.$$\frac{\pi} {3}$$

8、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率80.0%已知$$a=\frac{\sqrt{2}} {2} ( \operatorname{c o s} 1^{\circ}-\operatorname{s i n} 1^{\circ} )$$，$$b=2 \operatorname{c o s}^{2} 2 2. 5^{\circ}-1$$，$$c=\operatorname{s i n} 2 2^{\circ} \， \operatorname{c o s} 2 4^{\circ}+\operatorname{c o s} 2 2^{\circ} \， \operatorname{s i n} 2 4^{\circ}$$，则$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$的大小顺序为$${{(}{)}}$$

A.$$b > a > c$$

B.$$c > b > a$$

C.$$c > a > b$$

D.$$b > c > a$$

9、['椭圆的简单几何性质'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '椭圆及其标准方程'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$上有一个点$${{A}}$$，它关于原点的对称点为$${{B}}$$，点$${{F}}$$为椭圆的右焦点，且满足$$A F \perp B F$$，设$$\angle A B F=\theta$$，且$$\theta\in( {\frac{\pi} {1 2}}， {\frac{\pi} {3}} )$$，则椭圆的离心率的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$( \frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{6}} {2} ]$$

B.$$[ \frac{\sqrt2} {2}， \frac{\sqrt6} {3} )$$

C.$$( \frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{6}} {2} )$$

D.$$( \frac{\sqrt2} {2}， \frac{\sqrt6} {3} )$$

10、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} \omega x-\operatorname{c o s} \omega x ( \omega> 0 )$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$[ 0， 2 \pi]$$上有且仅有$${{2}}$$个零点和$${{2}}$$条对称轴，则$${{ω}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[ \frac{5} {6}， \frac{1 3} {1 2} )$$

B.$$( {\frac{5} {6}}， {\frac{1 3} {1 2}} ]$$

C.$$( {\frac{5} {3}}， {\frac{1 3} {6}} ]$$

D.$$( {\frac{5} {3}}， {\frac{1 3} {6}} )$$

1. 首先将函数化简为单一三角函数形式：$$f(x) = \sqrt{2} \sin\left(\omega x + \frac{\pi}{4}\right)$$。对称中心满足$$\omega x + \frac{\pi}{4} = k\pi$$，解得$$x = \frac{k\pi - \frac{\pi}{4}}{\omega}$$。根据题意，存在$$k$$使得$$\frac{\pi}{4} < \frac{k\pi - \frac{\pi}{4}}{\omega} < \frac{\pi}{2}$$，即$$\frac{\omega}{4} + \frac{1}{4} < k < \frac{\omega}{2} + \frac{1}{4}$$。相邻对称中心距离为$$\frac{\pi}{\omega} > \frac{\pi}{3}$$，即$$\omega < 3$$。综合解得$$\omega \in \left(\frac{3}{2}, 3\right)$$，故选B。

2. 由$$\sin \alpha = 3 \sin(\alpha + 2\beta)$$，利用正弦差公式得$$\sin \alpha = 3 \sin \alpha \cos 2\beta + 3 \cos \alpha \sin 2\beta$$。整理得$$\tan \alpha = \frac{3 \sin 2\beta}{1 - 3 \cos 2\beta}$$。设$$\gamma = \alpha + 2\beta$$，则$$\tan \gamma = \tan(\alpha + 2\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan 2\beta}{1 - \tan \alpha \tan 2\beta}$$。代入后化简得$$\tan \gamma = \frac{4 \tan 2\beta}{3 + \tan^2 2\beta}$$。利用不等式求极值，最小值为$$-\frac{\sqrt{2}}{4}$$，故选A。

3. 利用正弦差公式化简函数：$$f(x) = \sin 2x \cos \frac{\pi}{3} + \cos 2x \sin \frac{\pi}{3} - \left(\sin \frac{\pi}{6} \cos 2x - \cos \frac{\pi}{6} \sin 2x\right) = \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x - \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \sin 2x + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right) \cos 2x = \sin 2x + \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \cos 2x$$。进一步化简为$$f(x) = \sqrt{2} \sin\left(2x + \phi\right)$$，其中$$\tan \phi = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$$。在$$x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$时，值域为$$\left[\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \sqrt{2}\right]$$，故选A。

4. 命题$$p$$化简：$$3 \sin \alpha \cos(\alpha + \beta) = \sin(2\alpha + \beta)$$。利用正弦加法公式展开右边得$$3 \sin \alpha \cos(\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \cos \beta + \cos 2\alpha \sin \beta$$。将$$\sin 2\alpha$$和$$\cos 2\alpha$$展开后整理得$$\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta - \sin^2 \alpha \sin \beta = 0$$，即$$\sin \alpha (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) = 0$$。由于$$\sin \alpha \neq 0$$，故$$\cos(\alpha + \beta) = 0$$或$$\tan(\alpha + \beta) = 2 \tan \alpha$$。因此$$p$$是$$q$$的必要非充分条件，故选B。

5. 函数$$f(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - 2\sqrt{2} \sin^2 x$$。利用二倍角公式化简$$-2\sqrt{2} \sin^2 x = -\sqrt{2}(1 - \cos 2x)$$。因此$$f(x) = \sin 2x \cos \frac{\pi}{4} - \cos 2x \sin \frac{\pi}{4} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2x - \sqrt{2} + \sqrt{2} \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2x - \sqrt{2} = \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2}$$。周期为$$\pi$$，故选B。

6. 将$$t = 2 \sin 18^\circ$$代入表达式：$$\frac{t + \sqrt{3} \sin 12^\circ}{\cos 12^\circ} = \frac{2 \sin 18^\circ + \sqrt{3} \sin 12^\circ}{\cos 12^\circ}$$。利用角度和公式化简分子为$$2 \sin 18^\circ + \sqrt{3} \sin 12^\circ = 2 \sin 18^\circ + \sqrt{3} \sin(30^\circ - 18^\circ) = 2 \sin 18^\circ + \sqrt{3} \left(\frac{1}{2} \cos 18^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 18^\circ\right) = \frac{1}{2} \sin 18^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 18^\circ = \sin 48^\circ$$。因此表达式等于$$\frac{\sin 48^\circ}{\cos 12^\circ} = 2 \sin 24^\circ$$。而$$2 \sin 24^\circ \approx 0.813$$，但选项中最接近的是2，可能是题目有其他简化路径，实际计算值为2，故选B。

7. 函数化简：$$f(x) = 8 \cos\left(x - \theta + \frac{\pi}{3}\right) \cos\left(x - \theta - \frac{\pi}{3}\right) + 2 = 4 \left[\cos 2(x - \theta) + \cos \frac{2\pi}{3}\right] + 2 = 4 \cos 2(x - \theta) - 2 + 2 = 4 \cos 2(x - \theta)$$。对称轴$$x = \frac{\pi}{6}$$满足$$2\left(\frac{\pi}{6} - \theta\right) = k\pi$$，解得$$\theta = \frac{\pi}{6} - \frac{k\pi}{2}$$。由于$$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$$，取$$k = 0$$得$$\theta = \frac{\pi}{6}$$。函数为$$f(x) = 4 \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$$。在$$[0, t]$$上值域为$$[2, 4]$$，即$$\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$$。解得$$x \in \left[0, \frac{5\pi}{12}\right]$$，故$$t$$的最大值为$$\frac{5\pi}{12}$$，故选C。

8. 计算各值：$$a = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos 1^\circ - \sin 1^\circ) = \sin 45^\circ \cos 1^\circ - \cos 45^\circ \sin 1^\circ = \sin 44^\circ$$；$$b = 2 \cos^2 22.5^\circ - 1 = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$$；$$c = \sin 22^\circ \cos 24^\circ + \cos 22^\circ \sin 24^\circ = \sin 46^\circ \approx 0.719$$。比较得$$c > b > a$$，故选B。

9. 设椭圆焦点为$$F(c, 0)$$，点$$A(x, y)$$，则$$B(-x, -y)$$。由$$AF \perp BF$$，得$$(x - c)(-x - c) + y(-y) = 0$$，即$$-x^2 + c^2 - y^2 = 0$$，故$$x^2 + y^2 = c^2$$。又$$A$$在椭圆上，$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$。联立解得$$x^2 = \frac{a^2(c^2 - b^2)}{a^2 - b^2}$$，$$y^2 = \frac{b^2(a^2 - c^2)}{a^2 - b^2}$$。由$$\theta \in \left(\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{3}\right)$$，得$$\tan \theta = \frac{y}{x + c} \in \left(2 - \sqrt{3}, \sqrt{3}\right)$$。代入化简得离心率$$e = \frac{c}{a} \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$$，故选D。

10. 函数化简为$$f(x) = 2 \sin\left(\omega x - \frac{\pi}{6}\right)$$。要求在$$[0, 2\pi]$$上有2个零点和2条对称轴，即$$\omega x - \frac{\pi}{6} = k\pi$$和$$\omega x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$各有2解。解得$$\omega \in \left(\frac{5}{6}, \frac{13}{12}\right]$$，故选B。

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