辅助角公式-5.5 三角恒等变换知识点课后进阶自测题解析-云南省等高一数学必修,平均正确率50.0%

1、['正弦曲线的对称轴'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=a \mathrm{s i n} 2 x+b \mathrm{c o s} 2 x ( a b \neq0 )$$的图象关于直线$$x=\frac{\pi} {6}$$对称，若存在$$x_{1}， ~ x_{2}， ~ \dots， ~ x_{n}，$$满足$$\vert f ( x_{1} )-f ( x_{2} ) \vert+\vert f ( x_{2} )-f ( x_{3} ) \vert+\dots$$$$+ | f ( x_{n-1} )-f ( x_{n} ) |=| 2 4 b |，$$其中$$n \geqslant2， ~ n \in{\bf N}^{*}，$$则$${{n}}$$的最小值为（）

A.$${{6}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{9}}$$

2、['诱导公式的综合应用'， '三角函数的诱导公式'， '辅助角公式'， '三角函数的图象与性质'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']

正确率40.0%

设 $$a=\operatorname{c o s} \， 5 0^{\circ} \， \operatorname{c o s} \， 1 2 7^{\circ}+\operatorname{c o s} \， 4 0^{\circ} \， \operatorname{s i n} \， 1 2 7^{\circ}$$ ， $$b=\frac{\sqrt{2}} {2} ( \operatorname{s i n} 5 6^{\circ}-\operatorname{c o s} 5 6^{\circ} )$$ ， $$c=\frac{1-\operatorname{t a n}^{2} 3 9^{\circ}} {1+\operatorname{t a n}^{2} 3 9^{\circ}}$$ ，则 $${{a}}$$ ， $${{b}}$$ ， $${{c}}$$ 的大小关系是 $${{(}{)}}$$

A.$$a > b > c$$

B.$$b > a > c$$

C.$$c > a > b$$

D.$$a > c > b$$

5、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦曲线的对称轴'， '辅助角公式'， '三角函数的图象变换']

正确率60.0%把函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} 2 x+\sqrt{3} \operatorname{c o s} 2 x$$的图像向右平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位后得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图像，则关于$${{g}{(}{x}{)}}$$说法正确的是（）

A.图像关于直线$$x=\frac{\pi} {6}$$对称

B.在$$( 0， \frac{\pi} {4} )$$上单调递减

C.图像关于点$$(-\frac{\pi} {1 2}， 0 )$$对称

D.在$$( 0， \frac{\pi} {4} )$$上单调递增

6、['辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率60.0%函数$$y=\sqrt{3} \operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s} x$$的最小值为（）

A.$$\sqrt3-1$$

B.$${{2}}$$

C.$${{−}{2}}$$

D.$${{−}{\sqrt {3}}{−}{1}}$$

7、['函数图象的平移变换'， '正弦曲线的对称轴'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%已知$$x=\frac{\pi} {1 2}$$是函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} ( 2 x+\varphi)+\operatorname{c o s} ( 2 x+\varphi) ( 0 < \varphi< \pi)$$图象的一条对称轴，将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象向右平移$$\frac{3 \pi} {4}$$个单位后得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，则函数$${{g}{(}{x}{)}}$$在$$[-\frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {6} ]$$上的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${{-}{2}}$$

B.$${{-}{1}}$$

C.$${{-}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{-}{\sqrt {3}}}$$

8、['正弦定理及其应用'， '数量积的性质'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '求代数式的取值范围']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$满足$$A=\frac{\pi} {3}， \， \， \， \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{B C} > 0， \， \， \， a=\frac{\sqrt{3}} {2}$$，则$${{b}{+}{c}}$$的取值范围是（）

A.$$( 1， ~ \frac{3} {2} )$$

B.$$( \; \frac{1} {2}， \; \; \frac{3} {2} ]$$

C.$$( \ \frac{1} {2}， \ \frac{3} {2} )$$

D.$$( \mathrm{\frac{\sqrt{3}} {2}}， \mathrm{\frac{3} {2}} )$$

9、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的单调性'， '函数图象的平移变换'， '探究w(w>0)对函数y=Asin(wx+φ)的图象的影响'， '正弦（型）函数的周期性'， '探究φ对函数y=Asin(wx+φ)的图象的影响'， '辅助角公式'， '函数的单调区间']

正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \omega x-\sqrt{3} \mathrm{c o s} \omega x ( x \in R )$$的图象与$${{x}}$$轴的两个相邻交点的距离是$$\frac{\pi} {2}，$$若将$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象向左平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的$${{2}}$$倍，纵坐标不变，得到$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，则函数$${{g}{(}{x}{)}}$$在下列区间为增函数的是（）

A.$$(-\pi，-\frac{\pi} {6} )$$

B.$$( \frac{\pi} {3}， \pi)$$

C.$$( 0， \frac{\pi} {3} )$$

D.$$\left(-\frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {6} \right)$$

10、['正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的周期性']

正确率60.0%下列函数中是偶函数且最小正周期为$$\frac{\pi} {4}$$的是$${{(}{)}}$$

A.$$y=\operatorname{c o s}^{2} 4 x-\operatorname{s i n}^{2} 4 x$$

B.$$y=\operatorname{s i n} 4 x$$

C.$$y=\operatorname{s i n} 2 x+\operatorname{c o s} 2 x$$

D.$$y=\operatorname{c o s} 2 x$$

1. 解析：

函数 $$f(x) = a \sin 2x + b \cos 2x$$ 可以表示为 $$f(x) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(2x + \phi)$$，其中 $$\tan \phi = \frac{b}{a}$$。图象关于直线 $$x = \frac{\pi}{6}$$ 对称，说明在 $$x = \frac{\pi}{6}$$ 处取得极值或过对称中心。求导得 $$f'(x) = 2a \cos 2x - 2b \sin 2x$$，在 $$x = \frac{\pi}{6}$$ 处导数为零：

$$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2a \cos \frac{\pi}{3} - 2b \sin \frac{\pi}{3} = a - \sqrt{3}b = 0$$，即 $$a = \sqrt{3}b$$。

因此，$$f(x) = \sqrt{3}b \sin 2x + b \cos 2x = 2b \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$$，其振幅为 $$2|b|$$。

题目要求 $$\sum_{i=1}^{n-1} |f(x_i) - f(x_{i+1})| = 24|b|$$。由于 $$f(x)$$ 的最大差值为 $$4|b|$$（从一个极值到另一个极值），最少需要 $$6$$ 个点（$$n-1=6$$，即 $$n=7$$）才能达到 $$24|b|$$。故选 B。

2. 解析：

计算 $$a$$、$$b$$、$$c$$ 的值：

$$a = \cos 50^\circ \cos 127^\circ + \cos 40^\circ \sin 127^\circ = \cos 50^\circ (-\sin 37^\circ) + \sin 50^\circ \cos 37^\circ = \sin(50^\circ - 37^\circ) = \sin 13^\circ \approx 0.225$$。

$$b = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin 56^\circ - \cos 56^\circ) = \sin(56^\circ - 45^\circ) = \sin 11^\circ \approx 0.191$$。

$$c = \frac{1 - \tan^2 39^\circ}{1 + \tan^2 39^\circ} = \cos 78^\circ \approx 0.208$$。

比较得 $$a > c > b$$，故选 D。

5. 解析：

函数 $$f(x) = \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$。向右平移 $$\frac{\pi}{6}$$ 个单位后：

$$g(x) = 2 \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin 2x$$。

选项分析：

A. $$g\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$$，不是极值点，不对称。

B. 在 $$(0, \frac{\pi}{4})$$ 上，$$2x \in (0, \frac{\pi}{2})$$，$$\sin 2x$$ 单调递增，故 $$g(x)$$ 单调递增，B 错误。

C. $$g\left(-\frac{\pi}{12}\right) = 2 \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -1 \neq 0$$，不对称。

D. 由 B 分析知 $$g(x)$$ 在 $$(0, \frac{\pi}{4})$$ 上单调递增，正确。故选 D。

6. 解析：

函数 $$y = \sqrt{3} \sin x - \cos x = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$$，最小值为 $$-2$$。故选 C。

7. 解析：

函数 $$f(x) = \sqrt{3} \sin(2x + \phi) + \cos(2x + \phi) = 2 \sin\left(2x + \phi + \frac{\pi}{6}\right)$$。对称轴 $$x = \frac{\pi}{12}$$ 满足：

$$2 \cdot \frac{\pi}{12} + \phi + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，取 $$k=0$$ 得 $$\phi = \frac{\pi}{3}$$。

因此 $$f(x) = 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = 2 \cos 2x$$。向右平移 $$\frac{3\pi}{4}$$ 个单位后：

$$g(x) = 2 \cos\left(2\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)\right) = 2 \cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right) = -2 \sin 2x$$。

在 $$[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6}]$$ 上，$$2x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}]$$，$$\sin 2x$$ 的最小值为 $$-1$$，故 $$g(x)$$ 的最小值为 $$-2$$。故选 A。

8. 解析：

由余弦定理 $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$，代入 $$a = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 和 $$A = \frac{\pi}{3}$$ 得：

$$\frac{3}{4} = b^2 + c^2 - bc$$。

由向量点积 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} > 0$$ 知角 $$B$$ 为钝角，即 $$b^2 + a^2 - c^2 < 0$$，结合上式得 $$b < \frac{\sqrt{3}}{2}$$。

由 $$(b + c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc = \frac{3}{4} + 3bc$$，且 $$bc \leq \frac{(b + c)^2}{4}$$，解得 $$b + c \in \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$$。故选 C。

9. 解析：

函数 $$f(x) = \sin \omega x - \sqrt{3} \cos \omega x = 2 \sin\left(\omega x - \frac{\pi}{3}\right)$$。与 $$x$$ 轴相邻交点距离为 $$\frac{\pi}{2}$$，故周期 $$T = \pi$$，$$\omega = 2$$。

平移后得 $$g(x) = 2 \sin\left(2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin x$$。

$$g(x)$$ 在 $$(0, \frac{\pi}{2})$$ 上单调递增，包含 $$(0, \frac{\pi}{3})$$。故选 C。

10. 解析：

A. $$y = \cos^2 4x - \sin^2 4x = \cos 8x$$，偶函数，周期 $$\frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$$，符合。

B. $$y = \sin 4x$$ 是奇函数，不符合。

C. $$y = \sin 2x + \cos 2x$$ 非偶函数，不符合。

D. $$y = \cos 2x$$ 周期为 $$\pi$$，不符合。故选 A。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}