1、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率60.0%若$$\alpha\in( 0， \frac{\pi} {2} )$$，$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\frac{\pi} {6} )=\frac{1} {3}$$，则$$\operatorname{s i n} ( 2 \alpha+\frac{\pi} {3} )=( \it{\Pi} )$$
A.$$\frac{\sqrt2} {9}$$
B.$$\frac{\sqrt2} 3$$
C.$$\frac{4 \sqrt{2}} {9}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
2、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式'， '三角恒等变换']正确率80.0%$$2 \sqrt{3} \operatorname{s i n} 7 5^{\circ} \operatorname{c o s} 7 5$$的值是$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
3、['正弦（型）函数的定义域和值域'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {3} )-\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {6}-2 x ) ( 0 \leqslant x \leqslant\frac{\pi} {2} )$$的值域为$${{(}{)}}$$
A.$$[ \frac{1-\sqrt{3}} {2}， \sqrt{2} ]$$
B.$$[ \frac{\sqrt3-1} {2}， \sqrt2 ]$$
C.$$[ \frac{1-\sqrt{3}} {2}， \frac{\sqrt{3}-1} {2} ]$$
D.$$[ \frac{1-\sqrt{3}} {2}， 2 ]$$
4、['同角三角函数的基本关系'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha=\frac{\sqrt{5}} {5}$$，$$\operatorname{s i n} \beta=\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$，且$${{α}}$$，$${{β}}$$均为锐角，则$${{α}{+}{β}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$或$$\frac{3 \pi} {4}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
5、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式'， '三角恒等变换']正确率80.0%设$$a=\frac{\operatorname{t a n} 2 3^{\circ}} {1-\operatorname{t a n}^{2} 2 3^{\circ}}$$，$$b=2 \operatorname{s i n} 1 3^{\circ} \operatorname{c o s} 1 3^{\circ}$$，$$c=\sqrt{\frac{1-\operatorname{c o s} 5 0^{\circ}} {2}}$$，则有$${{(}{)}}$$
A.$$c < b < a$$
B.$$a < b < c$$
C.$$a < c < b$$
D.$$b < c < a$$
6、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} x-\operatorname{s i n} ( x+\frac{\pi} {6} )-\operatorname{s i n} ( x-\frac{\pi} {6} )$$在$$[ 0， \pi]$$的值域为$${{(}{)}}$$
A.$$[-1， 1 ]$$
B.$$[-2， 1 ]$$
C.$$[-2， 2 ]$$
D.$$[-\frac{1} {2}， 1 ]$$
7、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%已知$${{α}}$$，$$\beta\in( 0， \pi)$$且满足
，则$${{(}{)}}$$
A.$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=\sqrt{3}$$
B.$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=-\sqrt{3}$$
C.$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=\frac{\sqrt{3}} {2}$$
D.$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=-\frac{\sqrt{3}} {2}$$
8、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率40.0%svg异常
A.$${{1}}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{0}}$$
9、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \omega x-\operatorname{c o s} ( \omega x+\frac{\pi} {6} ) ( \omega> 0 )$$在$$[ 0， \pi]$$上有且仅有$${{2}}$$个零点，则$${{ω}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$[ 1， \frac{1 3} {6} ]$$
B.$$[ \frac{7} {6}， \frac{1 3} {6} )$$
C.$$[ \frac{7} {6}， 2 )$$
D.$$[ 1， \frac{1 3} {6} )$$
10、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率40.0%已知$${{x}}$$为锐角，$$\operatorname{s i n} ( x-\frac{\pi} {4} )=\frac{\sqrt{5}} {5}$$，则$$\operatorname{c o s} ( 2 x-\frac{\pi} {3} )=( \eta)$$
A.$$\frac{2 \sqrt{3}-3} {1 0}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3} \pm3} {1 0}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{3}-4} {1 0}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{3} \pm4} {1 0}$$
1. 解析：
已知 $$\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$$，且 $$\cos(\alpha + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{3}$$。
设 $$\theta = \alpha + \frac{\pi}{6}$$，则 $$\cos \theta = \frac{1}{3}$$，且 $$\theta \in (\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3})$$。
由 $$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$$，得 $$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$。
要求 $$\sin(2\alpha + \frac{\pi}{3}) = \sin(2\theta - \frac{\pi}{3})$$。
利用正弦差公式：$$\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \sin 2\theta \cos \frac{\pi}{3} - \cos 2\theta \sin \frac{\pi}{3}$$。
计算 $$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{4\sqrt{2}}{9}$$，$$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1 = -\frac{7}{9}$$。
代入得 $$\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{4\sqrt{2}}{9} \cdot \frac{1}{2} - (-\frac{7}{9}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{9} + \frac{7\sqrt{3}}{18}$$。
但题目选项不符，重新检查：
题目应为 $$\sin(2\alpha + \frac{\pi}{3}) = \sin(2(\theta - \frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{3}) = \sin(2\theta) = \frac{4\sqrt{2}}{9}$$。
正确答案为 C。
2. 解析：
计算 $$2\sqrt{3} \sin 75^\circ \cos 75^\circ$$。
利用二倍角公式：$$\sin 150^\circ = 2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ$$。
因此，原式 $$= \sqrt{3} \sin 150^\circ = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
正确答案为 A。
3. 解析：
函数 $$f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{6} - 2x)$$。
利用正弦差公式：$$-\sin(\frac{\pi}{6} - 2x) = \sin(2x - \frac{\pi}{6})$$。
因此，$$f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3}) + \sin(2x - \frac{\pi}{6})$$。
利用和化积公式：$$f(x) = 2 \sin(2x + \frac{\pi}{12}) \cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin(2x + \frac{\pi}{12})$$。
当 $$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$$，$$2x + \frac{\pi}{12} \in [\frac{\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}]$$。
$$\sin(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$，$$\sin(\frac{13\pi}{12}) = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$。
最大值 $$\sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$$，最小值 $$\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$$。
正确答案为 A。
4. 解析：
已知 $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\sin \beta = \frac{\sqrt{10}}{10}$$，且 $$\alpha, \beta$$ 为锐角。
计算 $$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$，$$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$。
利用余弦和公式：$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{6\sqrt{50}}{50} - \frac{\sqrt{50}}{50} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
因此，$$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$$。
正确答案为 A。
5. 解析：
计算 $$a = \frac{\tan 23^\circ}{1 - \tan^2 23^\circ} = \frac{1}{2} \tan 46^\circ$$。
$$b = 2 \sin 13^\circ \cos 13^\circ = \sin 26^\circ$$。
$$c = \sqrt{\frac{1 - \cos 50^\circ}{2}} = \sin 25^\circ$$。
比较大小：$$\sin 25^\circ < \sin 26^\circ < \frac{1}{2} \tan 46^\circ$$。
因为 $$\tan 46^\circ > \tan 45^\circ = 1$$，所以 $$\frac{1}{2} \tan 46^\circ > \frac{1}{2}$$，而 $$\sin 26^\circ \approx 0.438$$，$$\sin 25^\circ \approx 0.423$$。
因此 $$c < b < a$$。
正确答案为 A。
6. 解析：
函数 $$f(x) = \cos x - \sin(x + \frac{\pi}{6}) - \sin(x - \frac{\pi}{6})$$。
利用正弦差公式：$$\sin(x + \frac{\pi}{6}) + \sin(x - \frac{\pi}{6}) = 2 \sin x \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \sin x$$。
因此，$$f(x) = \cos x - \sqrt{3} \sin x = 2 \cos(x + \frac{\pi}{3})$$。
当 $$x \in [0, \pi]$$，$$x + \frac{\pi}{3} \in [\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}]$$。
$$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$$，$$\cos(\pi) = -1$$。
因此，$$f(x) \in [-2, 1]$$。
正确答案为 B。
7. 解析：
题目描述不完整，无法解析。
8. 解析：
题目描述不完整，无法解析。
9. 解析：
函数 $$f(x) = \sin \omega x - \cos(\omega x + \frac{\pi}{6})$$。
化简：$$f(x) = \sin \omega x - \cos \omega x \cos \frac{\pi}{6} + \sin \omega x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{3}{2} \sin \omega x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \omega x = \sqrt{3} \sin(\omega x - \frac{\pi}{6})$$。
在 $$[0, \pi]$$ 上有且仅有 2 个零点，即 $$\sin(\omega x - \frac{\pi}{6}) = 0$$ 有 2 个解。
因此，$$\omega \pi - \frac{\pi}{6} \in [\pi, 2\pi)$$，解得 $$\omega \in [\frac{7}{6}, \frac{13}{6})$$。
正确答案为 B。
10. 解析：
已知 $$x$$ 为锐角，$$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。
设 $$\theta = x - \frac{\pi}{4}$$，则 $$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。
因此，$$\sin x = \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$。
$$\cos x = \cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$。
计算 $$\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \cos 2x \cos \frac{\pi}{3} + \sin 2x \sin \frac{\pi}{3}$$。
$$\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 = -\frac{4}{5}$$，$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x = \frac{3}{5}$$。
因此，$$\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = -\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} - 4}{10}$$。
正确答案为 C。
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