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正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$\operatorname{s i n} A \mathrm{s i n} B=\operatorname{c o s}^{2} \frac{C} {2}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$一定是（）
A
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
2、['两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式'， '角的代换']正确率40.0%已知$$\frac{\pi} {8} < ~ \alpha< ~ \beta< ~ \frac{\pi} {2}，$$且$$\operatorname{s i n} 2 \alpha\mathrm{s i n} \frac{\pi} {4}-\operatorname{c o s} 2 \alpha\mathrm{s i n} \frac{5} {4} \pi=\frac{1} {3}，$$$$\mathrm{s i n} 2 \beta\mathrm{c o s} \frac{\pi} {4}+\mathrm{c o s} 2 \beta\mathrm{s i n} \frac{\pi} {4}=\frac{\sqrt{3}} {3}，$$则$${{c}{o}{s}{(}{2}{β}{−}{2}{α}{)}}$$的值为（）
A
A.$$\frac{5 \sqrt{3}} {9}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$- \frac{5 \sqrt{3}} {9}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
3、['给值求角'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '二阶行列式'， '角的代换']正确率40.0%定义运算$$\left| \begin{matrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \\ \end{matrix} \right|$$$${{=}{a}{d}{−}{b}{c}{，}}$$若$$\left| \begin{matrix} {\operatorname{s i n} \alpha} & {\operatorname{s i n} \beta} \\ {\operatorname{c o s} \alpha} & {\operatorname{c o s} \beta} \\ \end{matrix} \right|$$$$=-\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}， ~ \mathrm{s i n} \alpha=\frac{\sqrt{5}} {5}$$，$$\alpha， \beta\in\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)，$$则$${{β}{=}}$$（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
4、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '给值求值'， '角的代换']正确率60.0%若$$\operatorname{c o s} \left( \alpha-\frac{5 \pi} {1 2} \right)=\frac{\sqrt{5}} {3}$$，则$$\operatorname{s i n} \Bigl( \alpha+\frac{\pi} {1 2} \Bigr)=$$（）
A
A.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
B.$$- \frac2 3$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
5、['利用诱导公式化简'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '角的代换']正确率60.0%已知$${{s}{i}{n}{(}{θ}{−}}$$$$\frac{\pi} {1 2}$$$${{)}{=}}$$$$\frac{1} {3}$$，则$${{s}{i}{n}{(}{2}{θ}{+}}$$$$\frac{\pi} {3}$$$${{)}{=}}$$（）
D
A.$${{−}}$$$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$- \frac{7} {9}$$
D.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
6、['利用诱导公式化简'， '角的代换']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \Bigl( \alpha+\frac{\pi} {1 2} \Bigr)=-\frac{\sqrt{6}} {3}$$，则$$\operatorname{c o s} \left( \alpha-\frac{5 \pi} {1 2} \right)=$$（）
B
A.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
B.$$- \frac{\sqrt6} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
7、['利用诱导公式化简'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$\operatorname{c o s} A=\frac{3} {5}， ~ ~ \operatorname{c o s} B=\frac{5} {1 3}，$$则$${{s}{i}{n}{C}}$$的值为（）
B
A.$$- \frac{5 6} {6 5}$$
B.$$\frac{5 6} {6 5}$$
C.$$\frac{6 3} {6 5}$$
D.$$- \frac{1 6} {6 5}$$
8、['正弦定理及其应用'， '两角和与差的余弦公式'， '角的代换']正确率60.0%$${{R}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$三角形的外接圆半径，若$${{a}{b}{<}{4}{{R}^{2}}{{c}{o}{s}}{A}{{c}{o}{s}}{B}}$$，则$${{∠}{C}}$$为$${{(}{)}}$$
C
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.无法判断
9、['正弦定理及其应用'， '两角和与差的正弦公式'， '角的代换']正确率40.0%已知一货轮航行到$${{M}}$$处，测得灯塔$${{S}}$$在货轮的北偏东$${{3}{0}^{∘}}$$，与灯塔$${{S}}$$相距$${{3}{0}}$$海里，随后货轮按北偏西$${{1}{5}^{∘}}$$的方向航行$${{3}{0}}$$分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）
A
A.$${{1}{0}{(}{3}{\sqrt {2}}{−}{\sqrt {6}}{)}}$$海里$${{/}}$$小时
B.$${{1}{0}{(}{3}{\sqrt {2}}{+}{\sqrt {6}}{)}}$$海里$${{/}}$$小时
C.$${{1}{0}{(}{3}{\sqrt {3}}{−}{\sqrt {6}}{)}}$$海里$${{/}}$$小时
D.$${{1}{0}{(}{3}{\sqrt {3}}{+}{\sqrt {6}}{)}}$$海里$${{/}}$$小时
10、['两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']正确率40.0%设$${{α}}$$为锐角，若$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\frac{\pi} {6} \frac{\pi} {6} \frac{\pi} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} \left( 2 \alpha+\frac{\pi} {6} \right)$$的值为（）
A
A.$$\frac{2 4 \sqrt{3}-7} {5 0}$$
B.$$\frac{2 4 \sqrt{3}+7} {5 0}$$
C.$$\frac{2 4-7 \sqrt{3}} {5 0}$$
D.$$\frac{2 4+7 \sqrt{3}} {5 0}$$
1. 在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$\operatorname{s i n} A \mathrm{s i n} B=\operatorname{c o s}^{2} \frac{C} {2}$$。利用余弦半角公式$$\operatorname{c o s}^{2} \frac{C} {2} = \frac{1 + \cos C}{2}$$，结合正弦定理和余弦定理，化简得$$\cos(A - B) = 1$$，故$$A = B$$，三角形为等腰三角形。答案为$$A$$。
3. 定义行列式运算$$\left| \begin{matrix} {\sin \alpha} & {\sin \beta} \\ {\cos \alpha} & {\cos \beta} \\ \end{matrix} \right| = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha - \beta) = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$。已知$$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，且$$\alpha, \beta \in (0, \frac{\pi}{2})$$，利用$$\sin(\alpha - \beta) = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$和$$\cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$，解得$$\beta = \alpha + \arcsin\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$$，进一步计算得$$\beta = \frac{\pi}{4}$$。答案为$$B$$。
5. 已知$$\sin\left(\theta - \frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{3}$$，求$$\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{3}\right)$$。设$$\theta - \frac{\pi}{12} = x$$，则$$2\theta + \frac{\pi}{3} = 2x + \frac{\pi}{2}$$。利用正弦倍角公式，$$\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{7}{9}$$。答案为$$D$$。
7. 在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$\cos A = \frac{3}{5}$$，$$\cos B = \frac{5}{13}$$，则$$\sin A = \frac{4}{5}$$，$$\sin B = \frac{12}{13}$$。利用$$\sin C = \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B = \frac{4}{5} \times \frac{5}{13} + \frac{3}{5} \times \frac{12}{13} = \frac{56}{65}$$。答案为$$B$$。
9. 货轮从$$M$$出发，初始位置与灯塔$$S$$相距$$30$$海里，方向为北偏东$$30^\circ$$。航行$$30$$分钟后，灯塔在货轮的东北方向。设货轮速度为$$v$$海里/小时，利用方位角变化和余弦定理，解得$$v = 10(3\sqrt{2} - \sqrt{6})$$。答案为$$A$$。