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正确率60.0%已知直线$$2 x-y-3=0$$的倾斜角为$${{θ}{，}}$$则$$\operatorname{s i n} 2 \theta$$的值是（）
C
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$$\frac{2} {5}$$
2、['在给定区间上恒成立问题'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '余弦（型）函数的定义域和值域'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%设$$0 \leqslant\alpha\leqslant\pi$$，不等式$$8 x^{2}-\left( 8 \operatorname{s i n} a \right) \; x+\operatorname{c o s} 2 a \geqslant0$$对$${{x}{∈}{R}}$$恒成立，则$${{a}}$$的取值范围为（）
C
A.$$[ 0， ~ \frac{\pi} {6} ]$$
B.$$[ \frac{\pi} {6}， ~ \frac{5 \pi} {6} ]$$
C.$$[ 0， \ \frac{\pi} {6} ] \cup[ \frac{5 \pi} {6}， \ \pi]$$
D.$$[ \frac{5 \pi} {6}， \， \pi]$$
3、['两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \Big( \theta-\frac{\pi} {4} \Big)=\frac{\sqrt{3}} {3}，$$则$$\mathrm{s i n} 2 \theta=$$（）
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac2 3$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
4、['等差数列的定义与证明'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a \operatorname{c o s}^{2} \frac{C} {2}+c \operatorname{c o s}^{2} \frac{A} {2}=\frac3 2 b$$，则（）
A
A.$$a， ~ b， ~ c$$依次成等差数列
B.$$b， ~ a， ~ c$$依次成等差数列
C.$$a， ~ c， ~ b$$依次成等差数列
D.$$a， ~ b， ~ c$$既成等差数列，也成等比数列
5、['利用诱导公式化简'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {4}-\frac{\theta} {2} )=\frac{2} {3}，$$则$$\operatorname{s i n} \theta=~ ($$）
C
A.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$- \frac{1} {9}$$
D.$$- \frac{7} {9}$$
6、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%角$${{α}}$$终边上一点的坐标为$$( \ -1， \ 2 )$$，则$$\operatorname{t a n} 2 \alpha=$$（）
D
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{4} {3}$$
D.$$\frac{4} {3}$$
7、['正弦定理及其应用'， '万能公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$a ( 2 \operatorname{c o s}^{2} {\frac{A} {2}}-1 )=b {\frac{1-\operatorname{t a n}^{2} {\frac{B} {2}}} {1+\operatorname{t a n}^{2} {\frac{B} {2}}}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$是（）
C
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰或直角三角形
D.等腰直角三角形
8、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%若点$$P ~ ( ~-3， ~ 4 )$$是角$${{α}}$$的终边上一点，则$$\operatorname{s i n} 2 \alpha=~ ($$）
A
A.$$- \frac{2 4} {2 5}$$
B.$$- \frac{7} {2 5}$$
C.$$\frac{1 6} {2 5}$$
D.$$\frac{8} {\pi}$$
9、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} \alpha=-\frac{4} {5}， \， \， \， \alpha\in{\bf\Lambda} {( \Lambda-\pi， \ 0 )}$$，则$$\operatorname{t a n} 2 \alpha=$$（）
A
A.$$\frac{2 4} {7}$$
B.$$- \frac{2 4} {7}$$
C.$$\frac{7} {2 4}$$
D.$$- \frac{7} {2 4}$$
10、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的周期性'， '正弦曲线的对称轴'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '分段函数模型的应用']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=2 \big| \operatorname{c o s} x \big| \operatorname{s i n} x+\operatorname{s i n} 2 x$$，给出下列三个命题：
$${①}$$函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象关于直线$$x=\frac{\pi} {4}$$对称；
$${②}$$函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在区间$$[-\frac{\pi} {4}， \ \frac{pi} {4} ]$$上单调递增；
$${③}$$函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的最小正周期为$${{π}}$$．
其中真命题的个数是（）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
1. 解析：
直线方程为 $$2x - y - 3 = 0$$，斜率 $$k = 2$$。倾斜角 $$\theta$$ 满足 $$\tan \theta = 2$$。利用倍角公式：
$$\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{2 \times 2}{1 + 2^2} = \frac{4}{5}$$
答案为 C。
2. 解析：
不等式 $$8x^2 - (8 \sin \alpha) x + \cos 2\alpha \geq 0$$ 对所有 $$x \in \mathbb{R}$$ 恒成立，需判别式 $$\Delta \leq 0$$：
$$\Delta = (8 \sin \alpha)^2 - 4 \times 8 \times \cos 2\alpha \leq 0$$
化简得 $$64 \sin^2 \alpha - 32 \cos 2\alpha \leq 0$$，即 $$2 \sin^2 \alpha - \cos 2\alpha \leq 0$$。
利用 $$\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha$$，代入得 $$2 \sin^2 \alpha - (1 - 2 \sin^2 \alpha) \leq 0$$，即 $$4 \sin^2 \alpha \leq 1$$。
解得 $$\sin \alpha \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$$。结合 $$0 \leq \alpha \leq \pi$$，$$\alpha \in \left[0, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{6}, \pi\right]$$。
答案为 C。
3. 解析：
已知 $$\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，利用正弦差公式展开：
$$\sin \theta \cos \frac{\pi}{4} - \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
平方后得 $$\frac{1}{2}(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \frac{1}{3}$$，即 $$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \frac{2}{3}$$。
展开得 $$\sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{2}{3}$$，即 $$1 - \sin 2\theta = \frac{2}{3}$$。
解得 $$\sin 2\theta = \frac{1}{3}$$。
答案为 A。
4. 解析：
利用半角公式，将方程 $$a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3}{2}b$$ 化简：
$$\frac{a(1 + \cos C)}{2} + \frac{c(1 + \cos A)}{2} = \frac{3}{2}b$$
整理得 $$a + c + a \cos C + c \cos A = 3b$$。
由余弦定理和投影定理可知 $$a \cos C + c \cos A = b$$，代入得 $$a + c + b = 3b$$，即 $$a + c = 2b$$。
因此 $$a, b, c$$ 成等差数列。
答案为 A。
5. 解析：
已知 $$\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) = \frac{2}{3}$$，设 $$\phi = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}$$，则 $$\theta = \frac{\pi}{2} - 2\phi$$。
利用余弦倍角公式：
$$\sin \theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\phi\right) = \cos 2\phi = 2 \cos^2 \phi - 1 = 2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 - 1 = \frac{8}{9} - 1 = -\frac{1}{9}$$
答案为 C。
6. 解析：
点 $$(-1, 2)$$ 对应的角 $$\alpha$$ 满足 $$\tan \alpha = \frac{2}{-1} = -2$$。
利用倍角公式：
$$\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{2 \times (-2)}{1 - (-2)^2} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$$
答案为 D。
7. 解析：
方程左边为 $$a \cos A$$（因为 $$2 \cos^2 \frac{A}{2} - 1 = \cos A$$），右边为 $$b \cos B$$（因为 $$\frac{1 - \tan^2 \frac{B}{2}}{1 + \tan^2 \frac{B}{2}} = \cos B$$）。
因此方程为 $$a \cos A = b \cos B$$，由正弦定理得 $$\sin A \cos A = \sin B \cos B$$，即 $$\sin 2A = \sin 2B$$。
解得 $$2A = 2B$$ 或 $$2A = \pi - 2B$$，即 $$A = B$$ 或 $$A + B = \frac{\pi}{2}$$。
故三角形为等腰或直角三角形。
答案为 C。
8. 解析：
点 $$P(-3, 4)$$ 对应的角 $$\alpha$$ 满足 $$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$，$$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$$。
利用倍角公式：
$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \frac{4}{5} \times \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25}$$
答案为 A。
9. 解析：
已知 $$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$$，且 $$\alpha \in (-\pi, 0)$$，故 $$\sin \alpha = -\frac{3}{5}$$。
利用倍角公式：
$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3}{4}$$
$$\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{2 \times \frac{3}{4}}{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = \frac{24}{7}$$
答案为 A。
10. 解析：
函数 $$f(x) = 2 |\cos x| \sin x + \sin 2x$$ 分析如下：
① 对称性：验证 $$f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = f(x)$$ 不成立，故①错误。
② 单调性：在 $$x \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$，$$\cos x \geq 0$$，函数化简为 $$f(x) = 2 \cos x \sin x + \sin 2x = 2 \sin 2x$$，单调递增，故②正确。
③ 周期性：$$f(x + \pi) = f(x)$$，周期为 $$\pi$$，故③正确。
答案为 C（②③正确）。