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正确率80.0%已知$$\operatorname{s i n} 2 \alpha=\frac{1} {4}$$，则$$\operatorname{c o s}^{2} ( \alpha-\frac{\pi} {4} )=( \eta)$$
A.$$\frac{5} {8}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {8}$$
D.$$- \frac{5} {8}$$
2、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式'， '三角恒等变换']正确率80.0%$$2 \sqrt{3} \operatorname{s i n} 7 5^{\circ} \operatorname{c o s} 7 5$$的值是$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
3、['正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%设$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$所对的边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，已知$$\operatorname{s i n} A+\operatorname{s i n} ( A+C )=2 \operatorname{s i n} C$$，则$${{(}{)}}$$
A.$${{s}{i}{n}{C}}$$的最小值为$$\frac{1} {2}$$
B.$${{s}{i}{n}{C}}$$的最大值为$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$${{c}{o}{s}{C}}$$的最小值为$${{0}}$$
D.$${{c}{o}{s}{C}}$$的最大值为$$\frac{1} {2}$$
4、['正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$所对的边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，$$\operatorname{t a n} A+\operatorname{t a n} C+\sqrt{3}=\sqrt{3} \operatorname{t a n} A \cdot\operatorname{t a n} C$$，且$${{b}{=}{2}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$面积的最大值为$${{(}{)}}$$
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
5、['充分、必要条件的判定'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%设命题$${{p}}$$：$$3 \operatorname{s i n} \alpha\operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=\operatorname{s i n} ( 2 \alpha+\beta)$$，命题$${{q}}$$：$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=2 \operatorname{t a n} \alpha$$，则$${{p}}$$是$${{q}}$$的$${{(}{)}}$$
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
6、['三角函数的图象与性质'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x-\frac{\pi} {4} )-2 \sqrt{2} \operatorname{s i n}^{2} x$$的最小正周期是$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$${{π}}$$
C.$${{2}{π}}$$
D.$$\frac{\pi} {4}$$
7、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式'， '三角恒等变换']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=8 \operatorname{c o s} ( x-\theta+\frac{\pi} {3} ) \operatorname{c o s} ( x-\theta-\frac{\pi} {3} )+2 ( 0 < \theta< \frac{\pi} {2} )$$的一条对称轴为$$x=\frac{\pi} {6}$$，且在区间$$[ 0， t ]$$上值域为$$[ 2， 4 ]$$，则实数$${{t}}$$的最大值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{5 \pi} {6}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\frac{5 \pi} {1 2}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$
8、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%已知$$a=\frac{\sqrt{2}} {2} ( \operatorname{c o s} 1^{\circ}-\operatorname{s i n} 1^{\circ} )$$，$$b=2 \operatorname{c o s}^{2} 2 2. 5^{\circ}-1$$，$$c=\operatorname{s i n} 2 2^{\circ} \， \operatorname{c o s} 2 4^{\circ}+\operatorname{c o s} 2 2^{\circ} \， \operatorname{s i n} 2 4^{\circ}$$，则$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$的大小顺序为$${{(}{)}}$$
A.$$b > a > c$$
B.$$c > b > a$$
C.$$c > a > b$$
D.$$b > c > a$$
9、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%$$\operatorname{t a n} 3 5^{\circ}-\operatorname{t a n} 8 0^{\circ}+\operatorname{t a n} 3 5^{\circ} \operatorname{t a n} 8 0^{\circ}=( \cdot)$$
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
10、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率40.0%已知$$\alpha\in( \frac{\pi} {2}， \pi)$$，且$$\operatorname{s i n} ( \alpha+\frac{\pi} {3} )=\frac{1 2} {1 3}$$，则$$\operatorname{s i n} ( {\frac{\pi} {6}}-\alpha)+\operatorname{s i n} ( {\frac{2 \pi} {3}}-\alpha)=( \quad)$$
A.$$\frac{7} {1 3}$$
B.$$- \frac{1 7} {1 3}$$
C.$$- \frac{7} {1 3}$$
D.$$\frac{1 7} {1 3}$$
1. 已知 $$\sin 2\alpha = \frac{1}{4}$$，求 $$\cos^{2} (\alpha - \frac{\pi}{4})$$。
利用恒等式：$$\cos^{2} (\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1 + \cos (2\alpha - \frac{\pi}{2})}{2} = \frac{1 + \sin 2\alpha}{2}$$
代入已知：$$\frac{1 + \frac{1}{4}}{2} = \frac{5}{8}$$
答案：A. $$\frac{5}{8}$$
2. 计算 $$2\sqrt{3} \sin 75^{\circ} \cos 75^{\circ}$$。
利用倍角公式：$$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$$
原式可化为：$$\sqrt{3} \sin 150^{\circ} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
答案：A. $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$
3. 已知 $$\sin A + \sin (A + C) = 2 \sin C$$，判断选项。
在三角形中，$$A + B + C = \pi$$，故 $$A + C = \pi - B$$，$$\sin (A + C) = \sin B$$
原式化为：$$\sin A + \sin B = 2 \sin C$$
由正弦定理：$$a + b = 2c$$，结合三角形不等式及三角函数性质，分析可得 $$\sin C$$ 的最小值为 $$\frac{1}{2}$$。
答案：A. $$\sin C$$ 的最小值为 $$\frac{1}{2}$$
4. 已知 $$\tan A + \tan C + \sqrt{3} = \sqrt{3} \tan A \tan C$$，且 $$b = 2$$，求面积最大值。
由恒等式：$$\tan (A + C) = \frac{\tan A + \tan C}{1 - \tan A \tan C}$$
代入已知得：$$\tan (A + C) = -\sqrt{3}$$，故 $$A + C = \frac{2\pi}{3}$$，$$B = \frac{\pi}{3}$$
面积公式：$$S = \frac{1}{2} ac \sin B$$，由余弦定理及不等式，当 $$a = c$$ 时面积最大，计算得最大值为 $$\sqrt{3}$$。
答案：A. $$\sqrt{3}$$
5. 判断命题 $$p: 3 \sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = \sin (2\alpha + \beta)$$ 与 $$q: \tan (\alpha + \beta) = 2 \tan \alpha$$ 的逻辑关系。
展开 $$p$$：利用和角公式，可推导出 $$\tan (\alpha + \beta) = 2 \tan \alpha$$，即 $$p \Rightarrow q$$
但 $$q$$ 推不出 $$p$$（反例存在），故 $$p$$ 是 $$q$$ 的充分非必要条件。
答案：A. 充分非必要条件
6. 求函数 $$f(x) = \sin (2x - \frac{\pi}{4}) - 2\sqrt{2} \sin^{2} x$$ 的最小正周期。
化简：$$-2\sqrt{2} \sin^{2} x = -\sqrt{2} (1 - \cos 2x)$$
整体化为：$$\sin (2x - \frac{\pi}{4}) + \sqrt{2} \cos 2x - \sqrt{2}$$
利用和角公式，可合并为单一正弦函数，周期为 $$\pi$$。
答案：B. $$\pi$$
7. 已知函数 $$f(x) = 8 \cos (x - \theta + \frac{\pi}{3}) \cos (x - \theta - \frac{\pi}{3}) + 2$$ 的对称轴为 $$x = \frac{\pi}{6}$$，且在区间 $$[0, t]$$ 上值域为 $$[2, 4]$$，求 $$t$$ 的最大值。
利用积化和差公式化简：$$f(x) = 4 \cos (2x - 2\theta) + 4$$
由对称轴条件得 $$\theta = \frac{\pi}{6}$$，函数化为 $$f(x) = 4 \cos (2x - \frac{\pi}{3}) + 4$$
值域为 $$[2, 4]$$ 对应 $$\cos (2x - \frac{\pi}{3}) \in [-\frac{1}{2}, 0]$$，解不等式得 $$x$$ 的范围，最大 $$t$$ 为 $$\frac{5\pi}{12}$$。
答案：C. $$\frac{5\pi}{12}$$
8. 比较 $$a = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos 1^{\circ} - \sin 1^{\circ})$$，$$b = 2 \cos^{2} 22.5^{\circ} - 1$$，$$c = \sin 22^{\circ} \cos 24^{\circ} + \cos 22^{\circ} \sin 24^{\circ}$$ 的大小。
化简：$$a = \cos 46^{\circ}$$，$$b = \cos 45^{\circ}$$，$$c = \sin 46^{\circ}$$
由于 $$\cos 45^{\circ} < \cos 46^{\circ} < \sin 46^{\circ}$$，故 $$b < a < c$$。
答案：C. $$c > a > b$$
9. 计算 $$\tan 35^{\circ} - \tan 80^{\circ} + \tan 35^{\circ} \tan 80^{\circ}$$。
利用恒等式：$$\tan (35^{\circ} + 80^{\circ}) = \frac{\tan 35^{\circ} + \tan 80^{\circ}}{1 - \tan 35^{\circ} \tan 80^{\circ}}$$
已知 $$\tan 115^{\circ} = \tan (180^{\circ} - 65^{\circ}) = -\tan 65^{\circ}$$，但直接计算原式：
注意到 $$\tan (35^{\circ} + 80^{\circ}) = \tan 115^{\circ} = \tan (115^{\circ} - 180^{\circ}) = \tan (-65^{\circ}) = -\tan 65^{\circ}$$
整理得原式 $$= -1$$。
答案：A. $$-1$$
10. 已知 $$\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$$，且 $$\sin (\alpha + \frac{\pi}{3}) = \frac{12}{13}$$，求 $$\sin (\frac{\pi}{6} - \alpha) + \sin (\frac{2\pi}{3} - \alpha)$$。
利用和角公式：$$\sin (\frac{\pi}{6} - \alpha) + \sin (\frac{2\pi}{3} - \alpha) = 2 \sin (\frac{5\pi}{12} - \alpha) \cos \frac{\pi}{4}$$
进一步计算需知 $$\cos (\alpha + \frac{\pi}{3})$$，由象限得负值，为 $$-\frac{5}{13}$$
最终化简得 $$-\frac{7}{13}$$。
答案：C. $$-\frac{7}{13}$$