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正确率40.0%已知$$\mathrm{c o s} \alpha=\frac{2 \sqrt{5}} {5}，$$$$\operatorname{s i n} ( \alpha-\beta)=-\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}，$$
则$${{c}{o}{s}{β}}$$的值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt6-\sqrt2} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
2、['三角恒等变换综合应用'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式'， '角的代换']正确率60.0%角$${{α}{，}{β}}$$满足$$\operatorname{s i n} ( \alpha+\beta)+\operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=2 \sqrt{2} \operatorname{c o s} \Bigl( \alpha+\frac{\pi} {4} \Bigr) \operatorname{s i n} \beta$$，则（）
D
A.$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=1$$
B.$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=-1$$
C.$$\operatorname{t a n} ( \alpha-\beta)=1$$
D.$$\operatorname{t a n} ( \alpha-\beta)=-1$$
3、['利用诱导公式求值'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '角的代换']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \! \left( \alpha+\frac{\pi} {3} \right)-\sqrt{3} \operatorname{c o s} \alpha=\frac1 3$$，则$$\mathrm{s i n} \Bigl( 2 \alpha-\frac{\pi} {6} \Bigr)$$的值是（）
C
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$- \frac{7} {9}$$
4、['利用诱导公式化简'， '角的代换']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \Bigl( \alpha+\frac{\pi} {1 2} \Bigr)=-\frac{\sqrt{6}} {3}$$，则$$\operatorname{c o s} \left( \alpha-\frac{5 \pi} {1 2} \right)=$$（）
B
A.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
B.$$- \frac{\sqrt6} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
5、['三角函数值在各象限的符号'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '特殊角的三角函数值'， '角的代换']正确率60.0%若$$\operatorname{c o s} \left( \alpha+\frac{\pi} {4} \right)=\frac{1} {3}， \， \， \， \alpha\in\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)，$$则$${{s}{i}{n}{α}}$$的值为（）
A
A.$$\frac{4-\sqrt{2}} {6}$$
B.$$\frac{4+\sqrt{2}} {6}$$
C.$$\frac{7} {1 8}$$
D.$$\frac{\sqrt2} 3$$
6、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '角的代换']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {4} \!+\! \alpha) \!=\! \frac{\sqrt{3}} {3}，$$则$$\operatorname{s i n} ( \frac{7 \pi} {4} \!-\! \alpha)$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$- \frac{\sqrt6} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
7、['利用诱导公式化简'， '给值求值'， '角的代换']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ~ ( \alpha-\frac{\pi} {8} ) ~=\frac{4} {5}，$$则$$\operatorname{c o s} ~ ( \alpha+{\frac{3 \pi} {8}} ) ~=~ ($$）
A
A.$$- \frac{4} {5}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$- \frac{3} {5}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
8、['两角和与差的正切公式'， '角的代换']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=5， \operatorname{t a n} ( \alpha-\beta)=3$$，则$$\operatorname{t a n} 2 \beta=$$（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {7}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac{4} {7}$$
C.$$\frac{1} {8}$$
D.$$- \frac{1} {8}$$
9、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '特殊角的三角函数值'， '角的代换']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{=}{{3}{0}^{∘}}}$$，则$$\sqrt3 \operatorname{s i n} A-\operatorname{c o s} ( B+C )$$的值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${{2}}$$
10、['三角函数值在各象限的符号'， '给值求值'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']正确率60.0%已知$$0 < \alpha< \beta< \frac{\pi} {2}$$，且$$\operatorname{c o s} ( \alpha-\beta)=\frac{6 3} {6 5}， ~ ~ \operatorname{s i n} \beta=\frac{1 2} {1 3}$$，则$$\operatorname{s i n} \alpha=$$（）
D
A.$$- \frac{3} {5}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$- \frac{4} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
1. 解析：
已知 $$cos \alpha = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$，则 $$sin \alpha = \sqrt{1 - cos^2 \alpha} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。
由 $$sin(\alpha - \beta) = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$，利用差角公式展开：
$$sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$
代入已知值得：
$$\frac{\sqrt{5}}{5} cos \beta - \frac{2 \sqrt{5}}{5} sin \beta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$
两边乘以 $$\sqrt{5}$$ 化简得：
$$cos \beta - 2 sin \beta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
设 $$cos \beta = x$$，则 $$sin \beta = \sqrt{1 - x^2}$$，代入方程解得 $$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
因此，正确答案为 A。
2. 解析：
将方程 $$sin(\alpha + \beta) + cos(\alpha + \beta) = 2 \sqrt{2} cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) sin \beta$$ 化简：
左边可写成 $$\sqrt{2} sin\left(\alpha + \beta + \frac{\pi}{4}\right)$$。
右边利用积化和差公式：
$$2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} [sin(\alpha + \beta + \frac{\pi}{4}) - sin(\alpha - \beta + \frac{\pi}{4})]$$
化简得：
$$\sqrt{2} sin\left(\alpha + \beta + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} sin\left(\alpha + \beta + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} sin\left(\alpha - \beta + \frac{\pi}{4}\right)$$
移项后得：
$$sin\left(\alpha - \beta + \frac{\pi}{4}\right) = 0$$
解得 $$\alpha - \beta + \frac{\pi}{4} = k\pi$$，即 $$\alpha - \beta = -\frac{\pi}{4} + k\pi$$。
取 $$k = 0$$ 得 $$\alpha - \beta = -\frac{\pi}{4}$$，故 $$tan(\alpha - \beta) = -1$$。
因此，正确答案为 D。
3. 解析：
将 $$sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) - \sqrt{3} cos \alpha = \frac{1}{3}$$ 展开：
$$sin \alpha cos \frac{\pi}{3} + cos \alpha sin \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} cos \alpha = \frac{1}{3}$$
化简得：
$$\frac{1}{2} sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} cos \alpha - \sqrt{3} cos \alpha = \frac{1}{3}$$
整理为：
$$\frac{1}{2} sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} cos \alpha = \frac{1}{3}$$
即 $$sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{3}$$。
利用倍角公式求 $$sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$$：
$$sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = cos\left(2\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = 1 - 2 sin^2\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) = 1 - 2 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{7}{9}$$。
因此，正确答案为 C。
4. 解析：
已知 $$sin\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{3}$$，求 $$cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{12}\right)$$。
注意到 $$\frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}$$，因此：
$$cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{12}\right) = cos\left(\alpha + \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{2}\right) = sin\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{3}$$。
因此，正确答案为 B。
5. 解析：
已知 $$cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{3}$$，且 $$\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$。
展开得：
$$cos \alpha cos \frac{\pi}{4} - sin \alpha sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{3}$$
即 $$\frac{\sqrt{2}}{2} (cos \alpha - sin \alpha) = \frac{1}{3}$$。
解得 $$cos \alpha - sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$$。
平方得：
$$1 - sin 2\alpha = \frac{2}{9}$$，即 $$sin 2\alpha = \frac{7}{9}$$。
利用 $$sin \alpha = \sqrt{\frac{1 - cos 2\alpha}{2}}$$ 和 $$cos 2\alpha = \sqrt{1 - sin^2 2\alpha} = \frac{4 \sqrt{2}}{9}$$，解得：
$$sin \alpha = \frac{4 + \sqrt{2}}{6}$$。
因此，正确答案为 B。
6. 解析：
已知 $$sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，求 $$sin\left(\frac{7\pi}{4} - \alpha\right)$$。
利用诱导公式：
$$sin\left(\frac{7\pi}{4} - \alpha\right) = sin\left(2\pi - \frac{\pi}{4} - \alpha\right) = -sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$。
因此，正确答案为 A。
7. 解析：
已知 $$sin\left(\alpha - \frac{\pi}{8}\right) = \frac{4}{5}$$，求 $$cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{8}\right)$$。
注意到 $$\frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$$，因此：
$$cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{8}\right) = cos\left(\alpha - \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}\right) = -sin\left(\alpha - \frac{\pi}{8}\right) = -\frac{4}{5}$$。
因此，正确答案为 A。
8. 解析：
已知 $$tan(\alpha + \beta) = 5$$，$$tan(\alpha - \beta) = 3$$，求 $$tan 2\beta$$。
利用 $$tan 2\beta = tan[(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)]$$：
$$tan 2\beta = \frac{tan(\alpha + \beta) - tan(\alpha - \beta)}{1 + tan(\alpha + \beta) tan(\alpha - \beta)} = \frac{5 - 3}{1 + 5 \times 3} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$$。
因此，正确答案为 C。
9. 解析：
在 $$\triangle ABC$$ 中，$$A = 30^\circ$$，则 $$B + C = 150^\circ$$。
计算 $$\sqrt{3} sin A - cos(B + C)$$：
$$\sqrt{3} \times \frac{1}{2} - cos 150^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}$$。
因此，正确答案为 B。
10. 解析：
已知 $$0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}$$，$$cos(\alpha - \beta) = \frac{63}{65}$$，$$sin \beta = \frac{12}{13}$$。
由 $$sin \beta = \frac{12}{13}$$ 得 $$cos \beta = \frac{5}{13}$$。
设 $$\theta = \alpha - \beta$$，则 $$cos \theta = \frac{63}{65}$$，$$sin \theta = \sqrt{1 - cos^2 \theta} = \frac{16}{65}$$。
利用 $$sin \alpha = sin(\theta + \beta) = sin \theta cos \beta + cos \theta sin \beta$$：
$$sin \alpha = \frac{16}{65} \times \frac{5}{13} + \frac{63}{65} \times \frac{12}{13} = \frac{80 + 756}{845} = \frac{836}{845} = \frac{4}{5}$$。
因此，正确答案为 D。