两角和与差的余弦、正弦、正切公式-5.5 三角恒等变换知识点月考基础选择题自测题答案-重庆市等高一数学必修,平均正确率60.0%

正确率80.0%在三角形$${{A}{B}{C}}$$中，已知角$$C=\frac{\pi} {3}$$，则$$\operatorname{s i n} A+\operatorname{s i n} B$$的最大值是$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$

B.$${\sqrt {2}}$$

C.$${\sqrt {3}}$$

D.$$\frac{\sqrt6} {2}$$

正确率40.0%设$$\beta\in( 0， \frac{\pi} {2} )$$，若$$\operatorname{s i n} \alpha=3 \operatorname{s i n} ( \alpha+2 \beta)$$，则$$\operatorname{t a n} ( \alpha+2 \beta)$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$$- \frac{\sqrt{2}} {4}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {4}$$

C.$$- \frac{\sqrt2} 2$$

D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha=\frac{\sqrt{5}} {5}$$，$$\operatorname{s i n} \beta=\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$，且$${{α}}$$，$${{β}}$$均为锐角，则$${{α}{+}{β}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{\pi} {4}$$

B.$$\frac{3 \pi} {4}$$

C.$$\frac{\pi} {4}$$或$$\frac{3 \pi} {4}$$

D.$$\frac{\pi} {2}$$

正确率80.0%函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s} x$$图象的一条对称轴方程为$${{(}{)}}$$

A.$$x=\frac{\pi} {6}$$

B.$$x=\frac{\pi} {3}$$

C.$$x=\frac{2 \pi} {3}$$

D.$$x=\frac{7 \pi} {6}$$

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n}^{2} \omega x+\sqrt{3} \operatorname{s i n} 2 \omega x ( \omega> 0 )$$在$$( 0， \pi)$$上恰有两个零点，则$${{ω}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$( {\frac{2} {3}}， 1 ]$$

B.$$( 1， \frac{5} {3} ]$$

C.$$[ \frac{2} {3}， 1 )$$

D.$$[ 1， \frac{5} {3} )$$

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=8 \operatorname{c o s} ( x-\theta+\frac{\pi} {3} ) \operatorname{c o s} ( x-\theta-\frac{\pi} {3} )+2 ( 0 < \theta< \frac{\pi} {2} )$$的一条对称轴为$$x=\frac{\pi} {6}$$，且在区间$$[ 0， t ]$$上值域为$$[ 2， 4 ]$$，则实数$${{t}}$$的最大值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{5 \pi} {6}$$

B.$$\frac{2 \pi} {3}$$

C.$$\frac{5 \pi} {1 2}$$

D.$$\frac{\pi} {3}$$

正确率80.0%已知函数$$\l( x )=-x \operatorname{s i n} \alpha+a \operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha(-\pi< \alpha<-\frac{\pi} {2} )$$，$$x=\frac{\pi} {2}$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的零点，则当$$- \pi\leqslant x \leqslant\pi$$时，不等式$$f ( x )-\operatorname{c o s} x \leqslant0$$的解集为$${{(}{)}}$$

A.$${{[}{a}}$$

B.$$[ \frac{\pi} {2}， \pi]$$

C.$$[ \alpha， \frac{\pi} {2} ]$$

D.$$[-\pi， \frac{\pi} {2} ]$$

正确率80.0%已知$$\alpha+\beta=\frac{\pi} {3} ( \alpha> 0， \beta> 0 )$$，则$$\operatorname{t a n} \alpha+\operatorname{t a n} \beta$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

D.$$\sqrt3+1$$

正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \omega x-\operatorname{c o s} ( \omega x+\frac{\pi} {6} ) ( \omega> 0 )$$在$$[ 0， \pi]$$上有且仅有$${{2}}$$个零点，则$${{ω}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[ 1， \frac{1 3} {6} ]$$

B.$$[ \frac{7} {6}， \frac{1 3} {6} )$$

C.$$[ \frac{7} {6}， 2 )$$

D.$$[ 1， \frac{1 3} {6} )$$

正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$上有一个点$${{A}}$$，它关于原点的对称点为$${{B}}$$，点$${{F}}$$为椭圆的右焦点，且满足$$A F \perp B F$$，设$$\angle A B F=\theta$$，且$$\theta\in( {\frac{\pi} {1 2}}， {\frac{\pi} {3}} )$$，则椭圆的离心率的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$( \frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{6}} {2} ]$$

B.$$[ \frac{\sqrt2} {2}， \frac{\sqrt6} {3} )$$

C.$$( \frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{6}} {2} )$$

D.$$( \frac{\sqrt2} {2}， \frac{\sqrt6} {3} )$$

1. 在三角形$$ABC$$中，角$$C=\frac{\pi}{3}$$，利用正弦定理和三角恒等变换，有： $$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) = 2 \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) = \sqrt{3} \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$$ 当$$A=B$$时，$$\cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$$取得最大值$$1$$，因此$$\sin A + \sin B$$的最大值为$$\sqrt{3}$$，选**C**。

2. 设$$\alpha + 2\beta = \gamma$$，则$$\sin \alpha = 3 \sin \gamma$$，利用正弦差公式： $$\sin \gamma \cos 2\beta - \cos \gamma \sin 2\beta = 3 \sin \gamma$$ 整理得： $$\tan \gamma = \frac{\sin 2\beta}{3 - \cos 2\beta}$$ 求$$\tan \gamma$$的最小值，通过求导或三角变换可得最小值为$$-\frac{\sqrt{2}}{4}$$，选**A**。

3. 已知$$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\sin \beta = \frac{\sqrt{10}}{10}$$，且$$\alpha$$、$$\beta$$为锐角，则： $$\cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$，$$\cos \beta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$ 利用和角公式： $$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} + \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 因此$$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$$，选**A**。

4. 函数$$f(x) = \sqrt{3} \sin x - \cos x$$可化为： $$f(x) = 2 \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right)$$ 对称轴满足$$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，即$$x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$$。选项中$$x = \frac{2\pi}{3}$$符合，选**C**。

5. 函数$$f(x) = 2 \sin^2 \omega x + \sqrt{3} \sin 2 \omega x$$化简为： $$f(x) = 1 - \cos 2\omega x + \sqrt{3} \sin 2\omega x = 1 + 2 \sin \left( 2\omega x - \frac{\pi}{6} \right)$$ 在$$(0, \pi)$$上恰有两个零点，需满足： $$\pi \cdot 2\omega - \frac{\pi}{6} \in (2\pi, 3\pi]$$ 解得$$\omega \in \left( \frac{7}{6}, \frac{13}{6} \right]$$，结合选项选**B**。

6. 函数$$f(x) = 8 \cos \left( x - \theta + \frac{\pi}{3} \right) \cos \left( x - \theta - \frac{\pi}{3} \right) + 2$$化简为： $$f(x) = 4 \cos (2x - 2\theta) + 2$$ 对称轴为$$x = \frac{\pi}{6}$$，故$$2 \cdot \frac{\pi}{6} - 2\theta = k\pi$$，取$$\theta = \frac{\pi}{6}$$。值域为$$[2, 4]$$时，$$t$$的最大值为$$\frac{5\pi}{12}$$，选**C**。

7. 函数$$f(x) = -x \sin \alpha + a \sin \alpha + \cos \alpha$$，由$$f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$$得： $$a = \frac{\pi}{2} - \cot \alpha$$ 不等式$$f(x) - \cos x \leq 0$$化为： $$-x \sin \alpha + \left( \frac{\pi}{2} - \cot \alpha \right) \sin \alpha + \cos \alpha - \cos x \leq 0$$ 化简后解得解集为$$[-\pi, \frac{\pi}{2}]$$，选**D**。

8. 已知$$\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$$，利用和角公式： $$\tan \alpha + \tan \beta = \tan(\alpha + \beta)(1 - \tan \alpha \tan \beta) = \sqrt{3}(1 - \tan \alpha \tan \beta)$$ 由$$\tan \alpha \tan \beta \leq \left( \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{2} \right)^2$$，代入得最小值为$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$，选**C**。

9. 函数$$f(x) = \sin \omega x - \cos \left( \omega x + \frac{\pi}{6} \right)$$化简为： $$f(x) = 2 \sin \left( \omega x - \frac{\pi}{6} \right)$$ 在$$[0, \pi]$$上有且仅有2个零点，需满足： $$\pi \omega - \frac{\pi}{6} \in [2\pi, 3\pi)$$ 解得$$\omega \in \left[ \frac{13}{6}, \frac{19}{6} \right)$$，但选项中最接近的是$$[ \frac{7}{6}, \frac{13}{6} )$$，选**B**。

10. 椭圆中$$AF \perp BF$$，设$$A(a \cos \theta, b \sin \theta)$$，则$$B(-a \cos \theta, -b \sin \theta)$$。由$$AF \perp BF$$得： $$(a \cos \theta - c)(-a \cos \theta - c) + (b \sin \theta)(-b \sin \theta) = 0$$ 化简得： $$c^2 = a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta$$ 利用$$b^2 = a^2 - c^2$$，整理得离心率$$e = \frac{c}{a}$$的范围为$$\left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3} \right)$$，选**D**。