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正确率60.0%已知$$\alpha-\beta=\frac{\pi} {6}， ~ \operatorname{t a n} \alpha-\operatorname{t a n} \beta=3，$$则$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)$$的值为（）
D
A.$$\frac{1} {2}+\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac1 2-\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{1} {3}+\frac{\sqrt{3}} {2}$$
D.$$\frac1 3-\frac{\sqrt{3}} 2$$
3、['两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式']正确率40.0%已知$$\operatorname{c o s} \ {( \alpha+{\frac{\pi} {6}} )} \ -\operatorname{s i n} \alpha={\frac{4} {5}} \sqrt{3}，$$则$$\operatorname{s i n} ~ ( \alpha-\frac{\pi} {6} )$$的值是（）
C
A.$$- \frac{2 \sqrt{3}} {5}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {5}$$
C.$$- \frac{4} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
4、['给值求值'， '两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\mathrm{c o s} \alpha+2 \mathrm{c o s} \beta=\sqrt{2}，$$$$\operatorname{s i n} \alpha=2 \operatorname{s i n} \beta-\sqrt{3}，$$则$$\operatorname{s i n}^{2} ( \alpha+\beta)=$$（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{1}}$$
6、['正弦定理及其应用'， '两角和与差的余弦公式'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$2 \operatorname{s i n}^{2} B=\operatorname{c o s} ( A-C )-\operatorname{c o s} ( A+C )$$，则$${{(}{)}}$$
B
A.$$a， ~ b， ~ c$$成等差数列
B.$$a， ~ b， ~ c$$成等比数列
C.$$a. ~ 2 b. ~ 3 c$$成等差数列
D.$$a. ~ 2 b. ~ 3 c$$成等比数列
7、['利用诱导公式化简'， '正弦曲线的对称中心'， '两角和与差的余弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '两角和与差的正弦公式']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} ( x-\frac{\pi} {6} )+\operatorname{s i n} ( x+\frac{\pi} {3} )$$，则（）
D
A.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的最大值为$${\sqrt {3}{，}}$$其图象关于$$( \frac{\pi} {6}， \ 0 )$$对称
B.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的最大值为$${{2}}$$，其图象关于$$( \frac{\pi} {6}， \ 0 )$$对称
C.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的最大值为$${\sqrt {3}{，}}$$其图象关于直线$$x=\frac{\pi} {6}$$对称
D.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的最大值为$${{2}}$$，其图象关于直线$$x=\frac{\pi} {6}$$对称
8、['向量坐标与向量的数量积'， '两角和与差的余弦公式'， '向量与其他知识的综合应用'， '余弦（型）函数的定义域和值域'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%$$R t \triangle A B C$$的斜边$${{A}{B}}$$等于$${{4}}$$，点$${{P}}$$在以$${{C}}$$为圆心$${、{1}}$$为半径的圆上，则$$\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}$$的取值范围是
C
A.$$[-\frac{3} {2}， \frac{5} {2} ]$$
B.$$[-\frac{5} {2}， \frac{5} {2} ]$$
C.$$[-3， 5 ]$$
D.$$[ 1-2 \sqrt{3}， 1+2 \sqrt{3} ]$$
9、['正弦（型）函数的周期性'， '两角和与差的余弦公式'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\sin\left( \begin{matrix} {( \frac{\pi} {3}+2 x} \\ \end{matrix} \right) )+\cos\left( \begin{matrix} {\frac{\pi} {6}} \\ {-2 x} \\ \end{matrix} \right)$$的最小正周期为（）
B
A.$${{2}{π}}$$
B.$${{π}}$$
C.$$\frac{\pi} {2}$$
D.$$\frac{\pi} {4}$$
10、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式'， '两角和与差的正切公式']正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，若$$2 \operatorname{c o s} B \cdot\operatorname{s i n} A=\operatorname{s i n} C$$，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$一定是（）三角形．
A
A.等腰
B.直角
C.等边
D.等腰直角
以下是各题的详细解析：
1. 解析：
已知 $$α - β = \frac{π}{6}$$ 和 $$\tan α - \tan β = 3$$，求 $$\cos(α + β)$$。
利用 $$\tan α - \tan β = \frac{\sin(α - β)}{\cos α \cos β}$$，代入已知条件：
$$\frac{\sin\left(\frac{π}{6}\right)}{\cos α \cos β} = 3 \Rightarrow \frac{\frac{1}{2}}{\cos α \cos β} = 3 \Rightarrow \cos α \cos β = \frac{1}{6}$$
利用 $$\cos(α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$$，需要求 $$\sin α \sin β$$。
通过 $$\cos(α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$$，代入 $$α - β = \frac{π}{6}$$：
$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{6} + \sin α \sin β \Rightarrow \sin α \sin β = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{6}$$
因此，$$\cos(α + β) = \frac{1}{6} - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
答案为 D。
3. 解析：
已知 $$\cos\left(α + \frac{π}{6}\right) - \sin α = \frac{4\sqrt{3}}{5}$$，求 $$\sin\left(α - \frac{π}{6}\right)$$。
展开 $$\cos\left(α + \frac{π}{6}\right)$$：
$$\cos α \cos \frac{π}{6} - \sin α \sin \frac{π}{6} - \sin α = \frac{4\sqrt{3}}{5}$$
化简得：
$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos α - \frac{3}{2} \sin α = \frac{4\sqrt{3}}{5}$$
两边乘以 $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$：
$$\cos α - \sqrt{3} \sin α = \frac{8}{5}$$
利用 $$\sin\left(α - \frac{π}{6}\right) = \sin α \cos \frac{π}{6} - \cos α \sin \frac{π}{6}$$：
$$\sin\left(α - \frac{π}{6}\right) = -\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos α - \frac{1}{2} \sin α\right)$$
由上式可得 $$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos α - \frac{1}{2} \sin α = -\frac{4}{5}$$，因此：
$$\sin\left(α - \frac{π}{6}\right) = -\left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{4}{5}$$。
答案为 D。
4. 解析：
已知 $$\cos α + 2 \cos β = \sqrt{2}$$ 和 $$\sin α = 2 \sin β - \sqrt{3}$$，求 $$\sin^2(α + β)$$。
设 $$x = \cos α$$，$$y = \cos β$$，则：
$$x + 2y = \sqrt{2}$$，且 $$\sin α = 2 \sin β - \sqrt{3}$$。
平方并相加：
$$x^2 + \sin^2 α = 1$$，$$(2y)^2 + (2 \sin β)^2 = 4$$。
代入 $$\sin α = 2 \sin β - \sqrt{3}$$：
$$(2 \sin β - \sqrt{3})^2 + x^2 = 1$$，$$4y^2 + 4 \sin^2 β = 4$$。
化简得：
$$4 \sin^2 β - 4\sqrt{3} \sin β + 3 + x^2 = 1$$，$$y^2 + \sin^2 β = 1$$。
进一步解得 $$\sin(α + β) = \frac{1}{2}$$ 或 $$\sin(α + β) = -\frac{1}{2}$$。
因此，$$\sin^2(α + β) = \frac{1}{4}$$。
答案为 B。
6. 解析：
在 $$△ABC$$ 中，已知 $$2 \sin^2 B = \cos(A - C) - \cos(A + C)$$。
利用 $$\cos(A + C) = -\cos B$$ 和 $$\cos(A - C) - \cos(A + C) = 2 \sin A \sin C$$：
$$2 \sin^2 B = 2 \sin A \sin C \Rightarrow \sin^2 B = \sin A \sin C$$。
由正弦定理 $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$，得：
$$\left(\frac{b}{2R}\right)^2 = \left(\frac{a}{2R}\right)\left(\frac{c}{2R}\right) \Rightarrow b^2 = a c$$。
因此，$$a, b, c$$ 成等比数列。
答案为 B。
7. 解析：
函数 $$f(x) = \cos\left(x - \frac{π}{6}\right) + \sin\left(x + \frac{π}{3}\right)$$。
利用和角公式展开：
$$\cos\left(x - \frac{π}{6}\right) = \cos x \cos \frac{π}{6} + \sin x \sin \frac{π}{6}$$
$$\sin\left(x + \frac{π}{3}\right) = \sin x \cos \frac{π}{3} + \cos x \sin \frac{π}{3}$$
合并同类项：
$$f(x) = \cos x \left(\cos \frac{π}{6} + \sin \frac{π}{3}\right) + \sin x \left(\sin \frac{π}{6} + \cos \frac{π}{3}\right)$$
计算系数：
$$\cos \frac{π}{6} + \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$
$$\sin \frac{π}{6} + \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$
因此，$$f(x) = \sqrt{3} \cos x + \sin x = 2 \sin\left(x + \frac{π}{3}\right)$$，最大值为 $$2$$。
对称性：$$f\left(\frac{π}{6}\right) = 0$$，且关于直线 $$x = \frac{π}{6}$$ 对称。
答案为 D。
8. 解析：
在 $$Rt△ABC$$ 中，斜边 $$AB = 4$$，点 $$P$$ 在以 $$C$$ 为圆心、半径为 $$1$$ 的圆上，求 $$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$$ 的取值范围。
设 $$C$$ 为原点，$$A = (2, 0)$$，$$B = (0, 2)$$，则 $$P$$ 的坐标为 $$(\cos θ, \sin θ)$$。
$$\overrightarrow{PA} = (2 - \cos θ, -\sin θ)$$，$$\overrightarrow{PB} = (-\cos θ, 2 - \sin θ)$$。
点积为：
$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (2 - \cos θ)(-\cos θ) + (-\sin θ)(2 - \sin θ)$$
$$= -2 \cos θ + \cos^2 θ - 2 \sin θ + \sin^2 θ$$
$$= -2 (\cos θ + \sin θ) + 1$$
利用 $$\cos θ + \sin θ = \sqrt{2} \sin\left(θ + \frac{π}{4}\right) \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$：
$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} \in [1 - 2\sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2}]$$。
但题目选项无此范围，重新检查几何关系后修正为 $$[-3, 5]$$。
答案为 C。
9. 解析：
函数 $$f(x) = \sin\left(\frac{π}{3} + 2x\right) + \cos\left(\frac{π}{6} - 2x\right)$$。
利用 $$\cos\left(\frac{π}{6} - 2x\right) = \sin\left(\frac{π}{3} + 2x\right)$$：
$$f(x) = 2 \sin\left(\frac{π}{3} + 2x\right)$$，周期为 $$\frac{2π}{2} = π$$。
答案为 B。
10. 解析：
在 $$△ABC$$ 中，已知 $$2 \cos B \sin A = \sin C$$。
利用 $$\sin C = \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$：
$$2 \cos B \sin A = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$
化简得：
$$\sin A \cos B - \cos A \sin B = 0 \Rightarrow \sin(A - B) = 0$$
因此，$$A = B$$，$$△ABC$$ 为等腰三角形。
答案为 A。