积化和差公式与和差化积公式-5.5 三角恒等变换知识点教师选题进阶单选题自测题答案-北京市等高一数学必修,平均正确率42.00000000000001%

1、['积化和差公式与和差化积公式'， '充分、必要条件的判定'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%已知实数$${{α}}$$，$${{β}}$$，则“$$\alpha+\beta=2 k \pi， k \in{\bf Z}$$”是“$$\operatorname{s i n} ( \alpha+\beta)=\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{s i n} \beta$$”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

2、['积化和差公式与和差化积公式']

正确率60.0%下列四个等式中恒成立的是（）

A.$$\operatorname{s i n} 5 \theta+\operatorname{s i n} 3 \theta=2 \mathrm{s i n} 4 \theta\mathrm{c o s} \theta$$

B.$$\operatorname{c o s} 3 \theta-\operatorname{c o s} 5 \theta=-2 \mathrm{s i n} 4 \theta\mathrm{s i n} \theta$$

C.$$\operatorname{s i n} 3 \theta-\operatorname{s i n} 5 \theta=-\frac1 2 \mathrm{c o s} 4 \theta\mathrm{c o s} \theta$$

D.$$\operatorname{c o s} 5 \theta+\operatorname{c o s} 3 \theta=2 \mathrm{s i n} 4 \theta\mathrm{c o s} \theta$$

3、['积化和差公式与和差化积公式']

正确率40.0%已知$${{α}{，}{β}}$$均为锐角，且$$\alpha-\beta=\frac{\pi} {6}，$$则$$\operatorname{s i n} \! \alpha\mathrm{s i n} \beta$$的取值范围是（）

A.$$\left( 0， ~ \frac{\sqrt{3}} {2} \right)$$

B.$$[ 1， ~ \frac{\sqrt{3}} {2} ]$$

C.$$[-1， ~ \frac{\sqrt{3}} {2} ]$$

D.$$[-\sqrt{3}， ~ \sqrt{3} ]$$

4、['积化和差公式与和差化积公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%若$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\beta) \operatorname{c o s} ( \alpha-\beta)=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s}^{2} \alpha-\operatorname{s i n}^{2} \beta$$等于（）

A.$$- \frac2 3$$

B.$$- \frac{1} {3}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

5、['积化和差公式与和差化积公式']

正确率60.0%$$\operatorname{c o s} 7 2^{\circ}-\operatorname{c o s} 3 6^{\circ}$$的值为（）

A.$${{3}{−}{2}{\sqrt {3}}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$- \frac{1} {2}$$

D.$${{3}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$

6、['正弦定理及其应用'， '积化和差公式与和差化积公式'， '全称量词命题、存在量词命题的真假判断']

正确率40.0%已知$$\triangle A B C，$$满足$$\angle A B C=9 0^{\circ}，$$直角边$${{B}{C}}$$中点为$${{M}}$$，则$${{(}{)}}$$

A.存在$$\triangle A B C，$$使得$$\angle C A M=3 0^{\circ}$$

B.存在$$\triangle A B C，$$使得$$\angle B A M=\angle C A M$$

C.对任意$$\triangle A B C，$$均有$$\angle C A M < 3 0^{\circ}$$

D.对任意$$\triangle A B C，$$均有$$\angle B A M < \angle C A M$$

7、['正弦定理及其应用'， '积化和差公式与和差化积公式'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知 $\text{[math]}$ ，则$${{△}{A}{B}{C}}$$为$${{(}{)}}$$

A.等边三角形

B.等腰直角三角形

C.锐角非等边三角形

D.钝角三角形

8、['数量积的性质'， '向量坐标与向量的数量积'， '积化和差公式与和差化积公式'， '数量积的运算律'， '正弦曲线的对称轴'， '向量的数量积的定义'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率19.999999999999996%已知向量$$\overrightarrow{m}=(-\operatorname{s i n} x， \operatorname{s i n} 2 x )， \; \; \overrightarrow{n}=( \operatorname{s i n} 3 x， \operatorname{s i n} 4 x )，$$若方程$$\overrightarrow{m} \cdot\overrightarrow{n}=a$$在$$[ 0， \pi)$$有唯一解，则实数$${{a}}$$的取值范围$${{(}{)}}$$

A.$$(-1， 1 )$$

B.$$[-1， 1 ]$$

C.$$\{-1， 1 \}$$

D.$${{\{}{1}{\}}}$$

9、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '积化和差公式与和差化积公式'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率19.999999999999996%$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，且$$b+c=a ( \mathrm{c o s} B+\mathrm{c o s} C )$$，若$${{△}{A}{B}{C}}$$周长的最大值为$${{4}{+}{4}{\sqrt {2}}}$$，则$${{a}{=}{(}{)}}$$

A.$${{4}}$$

B.$${{4}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

D.$${{5}}$$

10、['积化和差公式与和差化积公式']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} x \cdot\operatorname{s i n} ( x+\frac{\pi} {3} )-\frac1 4$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的值不可能是$${{(}{)}}$$

A.$$- \frac{1} {2}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$${{0}}$$

D.$${{2}}$$

1. 解析：

首先分析条件“$$α+β=2kπ, k∈Z$$”是否能推出“$$\sin(α+β)=\sinα+\sinβ$$”。

当$$α+β=2kπ$$时，$$\sin(α+β)=\sin(2kπ)=0$$，而$$\sinα+\sinβ=2\sin\left(\frac{α+β}{2}\right)\cos\left(\frac{α-β}{2}\right)=0$$，因为$$\sin(kπ)=0$$。因此条件是充分的。

反过来，若$$\sin(α+β)=\sinα+\sinβ$$，即$$2\sin\left(\frac{α+β}{2}\right)\cos\left(\frac{α+β}{2}\right)=2\sin\left(\frac{α+β}{2}\right)\cos\left(\frac{α-β}{2}\right)$$。

这意味着$$\sin\left(\frac{α+β}{2}\right)=0$$或$$\cos\left(\frac{α+β}{2}\right)=\cos\left(\frac{α-β}{2}\right)$$。

第一种情况：$$\frac{α+β}{2}=kπ$$，即$$α+β=2kπ$$。

第二种情况：$$\frac{α+β}{2}=±\frac{α-β}{2}+2kπ$$，解得$$α=2kπ$$或$$β=2kπ$$。

综上，条件不是必要的，因为存在$$α=2kπ$$或$$β=2kπ$$的情况不满足$$α+β=2kπ$$。故选A。

2. 解析：

利用三角函数的和差化积公式逐一验证：

A选项：$$\sin5θ+\sin3θ=2\sin4θ\cosθ$$，符合和差化积公式，正确。

B选项：$$\cos3θ-\cos5θ=2\sin4θ\sinθ$$，原式符号错误，不正确。

C选项：$$\sin3θ-\sin5θ=-2\cos4θ\sinθ$$，原式形式错误，不正确。

D选项：$$\cos5θ+\cos3θ=2\cos4θ\cosθ$$，原式形式错误，不正确。

故选A。

3. 解析：

已知$$α-β=\frac{π}{6}$$，且$$α,β$$为锐角，即$$0<β<α<\frac{π}{2}$$。

利用积化和差公式：$$\sinα\sinβ=\frac{1}{2}[\cos(α-β)-\cos(α+β)]=\frac{1}{2}\left[\cos\frac{π}{6}-\cos(α+β)\right]$$。

因为$$α+β∈\left(\frac{π}{6},π\right)$$，$$\cos(α+β)∈\left(-1,\cos\frac{π}{6}\right)$$。

因此$$\sinα\sinβ∈\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$。故选A。

4. 解析：

利用余弦公式展开：$$\cos(α+β)\cos(α-β)=\frac{1}{2}[\cos2α+\cos2β]=\frac{1}{3}$$。

又因为$$\cos^2α-\sin^2β=\frac{1+\cos2α}{2}-\frac{1-\cos2β}{2}=\frac{\cos2α+\cos2β}{2}=\frac{1}{3}$$。

故选C。

5. 解析：

利用和差化积公式：$$\cos72°-\cos36°=-2\sin54°\sin18°$$。

计算$$\sin54°=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$，$$\sin18°=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$$。

代入得：$$-2\cdot\frac{1+\sqrt{5}}{4}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$$。

故选C。

6. 解析：

设$$BC=2$$，$$M$$为$$BC$$中点，则$$BM=1$$。

设$$AB=x$$，则$$\tan∠BAM=\frac{1}{x}$$，$$\tan∠CAM=\frac{2}{x}$$。

A选项：若$$∠CAM=30°$$，则$$\frac{2}{x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$，解得$$x=2\sqrt{3}$$，存在，正确。

B选项：若$$∠BAM=∠CAM$$，则$$\frac{1}{x}=\frac{2}{x}$$，无解，错误。

C选项：当$$x$$趋近于0时，$$∠CAM$$趋近于90°，错误。

D选项：因为$$\frac{1}{x}<\frac{2}{x}$$，所以$$∠BAM<∠CAM$$，正确。

故选A。

7. 解析：

题目描述不完整，无法解析。

8. 解析：

计算$$\overrightarrow{m}·\overrightarrow{n}=-\sin x\sin3x+\sin2x\sin4x$$。

利用积化和差公式化简：$$-\frac{1}{2}[\cos2x-\cos4x]+\frac{1}{2}[\cos2x-\cos6x]=\frac{1}{2}(\cos4x-\cos6x)$$。

进一步化简为$$\sin5x\sin x$$。

方程$$\sin5x\sin x=a$$在$$[0,π)$$有唯一解，需分析函数$$f(x)=\sin5x\sin x$$的极值点。

经分析，$$a=±1$$时可能有唯一解。验证$$a=1$$时，$$x=\frac{π}{2}$$是唯一解；$$a=-1$$时，无解。

故选D。

9. 解析：

利用余弦定理和正弦定理，将条件$$b+c=a(\cos B+\cos C)$$转化为$$2R(\sin B+\sin C)=2R\sin A(\cos B+\cos C)$$。

化简得$$\sin B+\sin C=\sin A(\cos B+\cos C)$$。

利用和差化积公式和三角形内角和性质，最终可得$$A=\frac{π}{2}$$，即$$△ABC$$为直角三角形。

设$$a=2R$$，则周长为$$2R(1+\sin B+\cos B)$$，最大值为$$2R(1+\sqrt{2})$$。

由题意$$2R(1+\sqrt{2})=4+4\sqrt{2}$$，解得$$R=2$$，故$$a=4$$。

故选A。

10. 解析：

化简$$f(x)=\sin x\left(\sin x\cos\frac{π}{3}+\cos x\sin\frac{π}{3}\right)-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\sin^2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\cos x-\frac{1}{4}$$。

进一步化简为$$\frac{1-\cos2x}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}\sin2x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}\sin2x-\frac{1}{4}\cos2x$$。

即$$f(x)=\frac{1}{2}\sin\left(2x-\frac{π}{6}\right)$$，其值域为$$\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$$。

因此$$f(x)$$不可能为2，故选D。

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