给值求角-5.5 三角恒等变换知识点考前进阶选择题自测题答案-重庆市等高一数学必修,平均正确率54.0%

1. 已知$$\tan \alpha = \frac{1}{2}, \alpha \in (0, \pi), \tan \beta = \frac{1}{3}, \beta \in (-\pi, 0)$$，求$$\alpha + \beta$$。

解析：

首先计算$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$$。

由于$$\alpha \in (0, \pi)$$且$$\tan \alpha > 0$$，故$$\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$$。

$$\beta \in (-\pi, 0)$$且$$\tan \beta > 0$$，故$$\beta \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$$。

因此$$\alpha + \beta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$$，且$$\tan(\alpha + \beta) = 1$$，故$$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$$。

答案：B

2. 若$$\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$，且$$\pi < x < 2\pi$$，求$$x$$。

解析：

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$。

在$$\pi < x < 2\pi$$范围内，$$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$的解为$$x = \frac{5\pi}{6}$$或$$x = \frac{7\pi}{6}$$。

但$$\pi < x < 2\pi$$，故$$x = \frac{5\pi}{6}$$或$$x = \frac{7\pi}{6}$$。

进一步验证：

当$$x = \frac{5\pi}{6}$$时，$$\frac{\pi}{2} - x = -\frac{\pi}{3}$$，$$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$，符合。

当$$x = \frac{7\pi}{6}$$时，$$\frac{\pi}{2} - x = -\frac{2\pi}{3}$$，$$\sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$，也符合。

但选项中有$$\frac{5\pi}{3}$$，即$$x = \frac{5\pi}{3}$$时，$$\frac{\pi}{2} - x = -\frac{7\pi}{6}$$，$$\sin(-\frac{7\pi}{6}) = \frac{1}{2}$$，不符合。

重新检查题目描述，可能题目有误或选项不全。

根据选项，最接近的是$$x = \frac{5\pi}{3}$$，但不符合。

可能题目应为$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$，此时$$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$x = \frac{5\pi}{6}$$或$$\frac{7\pi}{6}$$。

选项中有$$\frac{7\pi}{6}$$，对应B。

答案：B

3. 边长为$$a$$的三角形的最大角与最小角之和为（ ）。

解析：

题目描述不完整，无法解答。

答案：无

4. svg异常。

解析：

题目描述不完整，无法解答。

答案：无

5. 在$$\triangle ABC$$中，如果$$\cos A = -\frac{1}{2}$$，则角$$A$$等于（ ）。

解析：

$$\cos A = -\frac{1}{2}$$，在$$0 < A < \pi$$范围内，$$A = \frac{2\pi}{3}$$，即$$120^\circ$$。

答案：C

6. 已知$$\cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \sin \beta = \frac{\sqrt{10}}{10}$$，且$$\alpha \in (0, \frac{\pi}{2}), \beta \in (0, \frac{\pi}{2})$$，求$$\alpha + \beta$$。

解析：

$$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{20}{25}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。

$$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \frac{10}{100}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$。

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{2\sqrt{5}}{5} \times \frac{3\sqrt{10}}{10} - \frac{\sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{6\sqrt{50}}{50} - \frac{\sqrt{50}}{50} = \frac{5\sqrt{50}}{50} = \frac{5 \times 5\sqrt{2}}{50} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。

由于$$\alpha + \beta \in (0, \pi)$$，故$$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$$。

答案：B

7. 在$$\triangle ABC$$中，$$2 \sin A + \sqrt{3} \cos B = 3, 2 \cos A + \sqrt{3} \sin B = 2$$，求角$$C$$。

解析：

设$$x = \sin A$$，$$y = \cos B$$，则$$2x + \sqrt{3} y = 3$$。

设$$u = \cos A$$，$$v = \sin B$$，则$$2u + \sqrt{3} v = 2$$。

由于$$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$，即$$x^2 + u^2 = 1$$。

$$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$$，即$$v^2 + y^2 = 1$$。

解方程组：

从第一式得$$y = \frac{3 - 2x}{\sqrt{3}}$$。

从第二式得$$v = \frac{2 - 2u}{\sqrt{3}}$$。

代入$$y^2 + v^2 = 1$$：

$$\left( \frac{3 - 2x}{\sqrt{3}} \right)^2 + \left( \frac{2 - 2u}{\sqrt{3}} \right)^2 = 1$$

$$\frac{(3 - 2x)^2 + (2 - 2u)^2}{3} = 1$$

$$(3 - 2x)^2 + (2 - 2u)^2 = 3$$

展开并利用$$x^2 + u^2 = 1$$：

$$9 - 12x + 4x^2 + 4 - 8u + 4u^2 = 3$$

$$13 - 12x - 8u + 4(x^2 + u^2) = 3$$

$$13 - 12x - 8u + 4 = 3$$

$$17 - 12x - 8u = 3$$

$$12x + 8u = 14$$

$$6x + 4u = 7$$

$$u = \frac{7 - 6x}{4}$$

代入$$x^2 + u^2 = 1$$：

$$x^2 + \left( \frac{7 - 6x}{4} \right)^2 = 1$$

$$16x^2 + (49 - 84x + 36x^2) = 16$$

$$52x^2 - 84x + 33 = 0$$

解得$$x = \frac{84 \pm \sqrt{84^2 - 4 \times 52 \times 33}}{104} = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 6864}}{104} = \frac{84 \pm \sqrt{192}}{104} = \frac{84 \pm 8\sqrt{3}}{104} = \frac{21 \pm 2\sqrt{3}}{26}$$。

取$$x = \frac{21 + 2\sqrt{3}}{26}$$，则$$u = \frac{7 - 6 \times \frac{21 + 2\sqrt{3}}{26}}{4} = \frac{7 - \frac{126 + 12\sqrt{3}}{26}}{4} = \frac{\frac{182 - 126 - 12\sqrt{3}}{26}}{4} = \frac{56 - 12\sqrt{3}}{104} = \frac{14 - 3\sqrt{3}}{26}$$。

验证$$x^2 + u^2 = 1$$：

计算较复杂，可能题目有其他简化方法。

另一种思路：

设$$A = \frac{\pi}{2}$$，则$$\sin A = 1$$，$$\cos A = 0$$。

代入第一式：$$2 \times 1 + \sqrt{3} \cos B = 3$$，$$\cos B = \frac{1}{\sqrt{3}}$$。

代入第二式：$$2 \times 0 + \sqrt{3} \sin B = 2$$，$$\sin B = \frac{2}{\sqrt{3}} > 1$$，矛盾。

设$$B = \frac{\pi}{2}$$，则$$\cos B = 0$$，$$\sin B = 1$$。

代入第一式：$$2 \sin A = 3$$，$$\sin A = \frac{3}{2} > 1$$，矛盾。

可能需要其他方法。

答案：无

8. 在$$\triangle ABC$$中，内角$$A, B, C$$所对的边分别为$$a, b, c$$，已知$$a \sin A - c \sin C = (\sqrt{2} a - b) \sin B$$，求角$$C$$。

解析：

根据正弦定理，$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$。

代入得：

$$a \sin A - c \sin C = (\sqrt{2} a - b) \sin B$$

$$2R \sin^2 A - 2R \sin^2 C = (\sqrt{2} \times 2R \sin A - 2R \sin B) \sin B$$

$$\sin^2 A - \sin^2 C = \sqrt{2} \sin A \sin B - \sin^2 B$$

$$\sin^2 A + \sin^2 B - \sin^2 C = \sqrt{2} \sin A \sin B$$

根据正弦定理和余弦定理：

$$\sin^2 A = \frac{a^2}{4R^2}$$，$$\sin^2 B = \frac{b^2}{4R^2}$$，$$\sin^2 C = \frac{c^2}{4R^2}$$。

代入得：

$$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{4R^2} = \sqrt{2} \times \frac{a}{2R} \times \frac{b}{2R}$$

$$a^2 + b^2 - c^2 = \sqrt{2} a b$$

根据余弦定理，$$a^2 + b^2 - c^2 = 2 a b \cos C$$。

故$$2 a b \cos C = \sqrt{2} a b$$，$$\cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$C = \frac{\pi}{4}$$。

答案：B

9. 已知锐角$$\alpha, \beta$$满足$$\frac{\sin (2 \alpha + \beta)}{\cos \alpha} = \sin (\alpha + \beta)$$，则下列各式正确的是（ ）。

解析：

$$\frac{\sin (2 \alpha + \beta)}{\cos \alpha} = \sin (\alpha + \beta)$$

$$\sin (2 \alpha + \beta) = \cos \alpha \sin (\alpha + \beta)$$

利用正弦加法公式：

$$\sin (2 \alpha + \beta) = \sin \alpha \cos (\alpha + \beta) + \cos \alpha \sin (\alpha + \beta)$$

故$$\sin \alpha \cos (\alpha + \beta) + \cos \alpha \sin (\alpha + \beta) = \cos \alpha \sin (\alpha + \beta)$$

$$\sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = 0$$

由于$$\alpha$$为锐角，$$\sin \alpha \neq 0$$，故$$\cos (\alpha + \beta) = 0$$。

$$\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$$。

答案：A

10. 设$$0 < \beta < \alpha < \frac{\pi}{2}$$，$$\tan (\alpha - \beta) + \tan \beta = \frac{1}{\cos \beta}$$，则（ ）。

解析：

$$\tan (\alpha - \beta) + \tan \beta = \frac{1}{\cos \beta}$$

利用正切加法公式：

$$\tan \alpha = \tan [(\alpha - \beta) + \beta] = \frac{\tan (\alpha - \beta) + \tan \beta}{1 - \tan (\alpha - \beta) \tan \beta}$$

代入得：

$$\tan \alpha = \frac{\frac{1}{\cos \beta}}{1 - \tan (\alpha - \beta) \tan \beta}$$

设$$\tan (\alpha - \beta) = t$$，则$$\tan \alpha = \frac{\frac{1}{\cos \beta}}{1 - t \tan \beta}$$。

又$$t + \tan \beta = \frac{1}{\cos \beta}$$，即$$t = \frac{1}{\cos \beta} - \tan \beta$$。

代入得：

$$\tan \alpha = \frac{\frac{1}{\cos \beta}}{1 - \left( \frac{1}{\cos \beta} - \tan \beta \right) \tan \beta} = \frac{\frac{1}{\cos \beta}}{1 - \frac{\tan \beta}{\cos \beta} + \tan^2 \beta}$$

化简分母：

$$1 + \tan^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta}$$，故分母为$$\frac{1}{\cos^2 \beta} - \frac{\tan \beta}{\cos \beta} = \frac{1 - \sin \beta}{\cos^2 \beta}$$。

因此：

$$\tan \alpha = \frac{\frac{1}{\cos \beta}}{\frac{1 - \sin \beta}{\cos^2 \beta}} = \frac{\cos \beta}{1 - \sin \beta}$$

利用$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$，得：

$$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos \beta}{1 - \sin \beta}$$

$$\sin \alpha (1 - \sin \beta) = \cos \alpha \cos \beta$$

$$\sin \alpha = \sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta = \cos (\alpha - \beta)$$

由于$$\alpha, \beta \in (0, \frac{\pi}{2})$$，故$$\alpha = \frac{\pi}{2} - (\alpha - \beta)$$，即$$2 \alpha - \beta = \frac{\pi}{2}$$。

答案：B