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正确率80.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \alpha+\frac{\pi} {3} )=\frac{4} {5}$$，则$$\operatorname{s i n} ( 2 \alpha+\frac{\pi} {6} )=( \begin{array} {c} {\} \\ {\} \\ \end{array} )$$
A.$$\frac{2 4} {2 5}$$
B.$$- \frac{2 4} {2 5}$$
C.$$\frac{7} {2 5}$$
D.$$- \frac{7} {2 5}$$
2、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式'， '三角恒等变换']正确率80.0%$$2 \sqrt{3} \operatorname{s i n} 7 5^{\circ} \operatorname{c o s} 7 5$$的值是$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
3、['三角函数的图象与性质'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x-\frac{\pi} {4} )-2 \sqrt{2} \operatorname{s i n}^{2} x$$的最小正周期是$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$${{π}}$$
C.$${{2}{π}}$$
D.$$\frac{\pi} {4}$$
4、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} x-\operatorname{s i n} ( x+\frac{\pi} {6} )-\operatorname{s i n} ( x-\frac{\pi} {6} )$$在$$[ 0， \pi]$$的值域为$${{(}{)}}$$
A.$$[-1， 1 ]$$
B.$$[-2， 1 ]$$
C.$$[-2， 2 ]$$
D.$$[-\frac{1} {2}， 1 ]$$
5、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%已知$$a=\frac{\sqrt{2}} {2} ( \operatorname{c o s} 1^{\circ}-\operatorname{s i n} 1^{\circ} )$$，$$b=2 \operatorname{c o s}^{2} 2 2. 5^{\circ}-1$$，$$c=\operatorname{s i n} 2 2^{\circ} \， \operatorname{c o s} 2 4^{\circ}+\operatorname{c o s} 2 2^{\circ} \， \operatorname{s i n} 2 4^{\circ}$$，则$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$的大小顺序为$${{(}{)}}$$
A.$$b > a > c$$
B.$$c > b > a$$
C.$$c > a > b$$
D.$$b > c > a$$
6、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%已知$$\alpha+\beta=\frac{\pi} {3} ( \alpha> 0， \beta> 0 )$$，则$$\operatorname{t a n} \alpha+\operatorname{t a n} \beta$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$\sqrt3+1$$
7、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \omega x-\operatorname{c o s} ( \omega x+\frac{\pi} {6} ) ( \omega> 0 )$$在$$[ 0， \pi]$$上有且仅有$${{2}}$$个零点，则$${{ω}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$[ 1， \frac{1 3} {6} ]$$
B.$$[ \frac{7} {6}， \frac{1 3} {6} )$$
C.$$[ \frac{7} {6}， 2 )$$
D.$$[ 1， \frac{1 3} {6} )$$
8、['余弦定理、正弦定理'， '两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$\operatorname{s i n} 2 B+\operatorname{s i n} 2 C=\operatorname{s i n} 2 A$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状为$${{(}{)}}$$
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
9、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%已知$${{α}}$$，$${{β}}$$为锐角，$$\operatorname{c o s} \alpha=\frac{3} {5}， \operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=-\frac{1 2} {1 3}$$，则$${{s}{i}{n}{β}}$$等于$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{6 3} {6 5}$$
B.$$- \frac{6 3} {6 5}$$
C.$$\frac{3 3} {6 5}$$
D.$$- \frac{3 3} {6 5}$$
10、['两角和与差的余弦、正弦、正切公式']正确率80.0%已知$$a=\operatorname{s i n} 1 7^{\circ}+\operatorname{c o s} 1 7^{\circ}$$，$$b=2 \sqrt2 \operatorname{c o s}^{2} 1 3^{\circ}-\sqrt2$$，$$c=\frac{\sqrt{6}} {2}$$，则$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$的大小为$${{(}{)}}$$
A.$$a < b < c$$
B.$$a > b > c$$
C.$$b > a > c$$
D.$$b < a < c$$
1. 解析：
已知 $$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{4}{5} $$，要求 $$ \sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right) $$。
设 $$ \theta = \alpha + \frac{\pi}{3} $$，则 $$ \sin\theta = \frac{4}{5} $$，$$ \cos\theta = \pm \frac{3}{5} $$（符号取决于象限）。
表达式 $$ 2\alpha + \frac{\pi}{6} = 2\theta - \frac{\pi}{2} $$。
利用正弦差公式：$$ \sin\left(2\theta - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos(2\theta) $$。
由倍角公式：$$ \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta = 1 - 2\left(\frac{4}{5}\right)^2 = -\frac{7}{25} $$。
因此，$$ \sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = -\left(-\frac{7}{25}\right) = \frac{7}{25} $$。
答案为 C。
2. 解析：
计算 $$ 2\sqrt{3}\sin75^\circ \cos75^\circ $$。
利用双角公式：$$ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $$。
因此，$$ 2\sqrt{3}\sin75^\circ \cos75^\circ = \sqrt{3}\sin150^\circ $$。
已知 $$ \sin150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin30^\circ = \frac{1}{2} $$。
所以结果为 $$ \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$。
答案为 A。
3. 解析：
函数 $$ f(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - 2\sqrt{2}\sin^2x $$。
化简第二项：$$ -2\sqrt{2}\sin^2x = -\sqrt{2}(1 - \cos2x) $$。
因此，$$ f(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} + \sqrt{2}\cos2x $$。
展开 $$ \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin2x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos2x $$。
代入后：$$ f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin2x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos2x + \sqrt{2}\cos2x - \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin2x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos2x - \sqrt{2} $$。
合并同类项：$$ f(x) = \sqrt{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} $$。
周期为 $$ \frac{2\pi}{2} = \pi $$。
答案为 B。
4. 解析：
函数 $$ f(x) = \cos x - \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) $$。
利用正弦差公式：$$ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 2\sin x \cos\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}\sin x $$。
因此，$$ f(x) = \cos x - \sqrt{3}\sin x = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) $$。
在 $$ [0, \pi] $$ 上，$$ x + \frac{\pi}{3} \in \left[\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right] $$，$$ \cos\theta $$ 的取值范围为 $$ [-1, \frac{1}{2}] $$。
因此，$$ f(x) $$ 的值域为 $$ [-2, 1] $$。
答案为 B。
5. 解析：
比较 $$ a, b, c $$ 的大小：
$$ a = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos1^\circ - \sin1^\circ) = \sin45^\circ \cos1^\circ - \cos45^\circ \sin1^\circ = \sin(45^\circ - 1^\circ) = \sin44^\circ $$。
$$ b = 2\cos^2 22.5^\circ - 1 = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 $$。
$$ c = \sin22^\circ \cos24^\circ + \cos22^\circ \sin24^\circ = \sin(22^\circ + 24^\circ) = \sin46^\circ $$。
因为 $$ \sin44^\circ < \sin45^\circ \approx 0.707 < \sin46^\circ $$，所以 $$ a < b < c $$。
答案为 B（$$ c > b > a $$）。
6. 解析：
已知 $$ \alpha + \beta = \frac{\pi}{3} $$，求 $$ \tan\alpha + \tan\beta $$ 的最小值。
利用正切和公式：$$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} = \sqrt{3} $$。
设 $$ t = \tan\alpha + \tan\beta $$，则 $$ \tan\alpha \tan\beta = 1 - \frac{t}{\sqrt{3}} $$。
由不等式 $$ (\tan\alpha + \tan\beta)^2 \geq 4\tan\alpha \tan\beta $$，代入得 $$ t^2 \geq 4\left(1 - \frac{t}{\sqrt{3}}\right) $$。
化简得 $$ t^2 + \frac{4}{\sqrt{3}}t - 4 \geq 0 $$，解得 $$ t \geq \frac{2\sqrt{3}}{3} $$（舍去负值）。
最小值为 $$ \frac{2\sqrt{3}}{3} $$。
答案为 C。
7. 解析：
函数 $$ f(x) = \sin\omega x - \cos\left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right) $$ 在 $$ [0, \pi] $$ 上有 2 个零点。
化简：$$ f(x) = \sin\omega x - \left(\cos\omega x \cos\frac{\pi}{6} - \sin\omega x \sin\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{2}\sin\omega x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\omega x = \sqrt{3}\sin\left(\omega x - \frac{\pi}{6}\right) $$。
零点条件：$$ \sin\left(\omega x - \frac{\pi}{6}\right) = 0 $$，即 $$ \omega x - \frac{\pi}{6} = k\pi $$。
在 $$ [0, \pi] $$ 上，$$ x = \frac{k\pi + \frac{\pi}{6}}{\omega} $$，要求 $$ k = 0, 1 $$ 时 $$ x \in [0, \pi] $$。
解得 $$ \omega \in \left[\frac{7}{6}, \frac{13}{6}\right) $$。
答案为 B。
8. 解析：
在 $$ \triangle ABC $$ 中，$$ \sin2B + \sin2C = \sin2A $$。
利用正弦定理和倍角公式：$$ 2\sin A \cos A = 2\sin(B + C)\cos(B - C) $$。
因为 $$ B + C = \pi - A $$，所以 $$ \sin(B + C) = \sin A $$。
化简得 $$ \cos A = \cos(B - C) $$。
因此，$$ A = \pm(B - C) $$，结合 $$ A + B + C = \pi $$，得 $$ A = \frac{\pi}{2} $$ 或 $$ B = C $$。
若 $$ A = \frac{\pi}{2} $$，则为直角三角形；若 $$ B = C $$，则为等腰三角形。
但题目中 $$ \sin2B + \sin2C = \sin2A $$ 仅在 $$ A = \frac{\pi}{2} $$ 时成立（因为 $$ \sin2B + \sin2C = 2\sin(B + C)\cos(B - C) = 2\sin A \cos(B - C) $$，而 $$ \sin2A = 0 $$）。
答案为 B（直角三角形）。
9. 解析：
已知 $$ \alpha, \beta $$ 为锐角，$$ \cos\alpha = \frac{3}{5} $$，$$ \cos(\alpha + \beta) = -\frac{12}{13} $$。
由 $$ \cos\alpha = \frac{3}{5} $$，得 $$ \sin\alpha = \frac{4}{5} $$。
由 $$ \cos(\alpha + \beta) = -\frac{12}{13} $$，得 $$ \sin(\alpha + \beta) = \frac{5}{13} $$。
利用正弦差公式：$$ \sin\beta = \sin[(\alpha + \beta) - \alpha] = \sin(\alpha + \beta)\cos\alpha - \cos(\alpha + \beta)\sin\alpha = \frac{5}{13} \times \frac{3}{5} - \left(-\frac{12}{13}\right) \times \frac{4}{5} = \frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{63}{65} $$。
答案为 A。
10. 解析：
比较 $$ a, b, c $$ 的大小：
$$ a = \sin17^\circ + \cos17^\circ = \sqrt{2}\sin62^\circ \approx \sqrt{2} \times 0.882 \approx 1.247 $$。
$$ b = 2\sqrt{2}\cos^2 13^\circ - \sqrt{2} = \sqrt{2}(2\cos^2 13^\circ - 1) = \sqrt{2}\cos26^\circ \approx 1.414 \times 0.899 \approx 1.271 $$。
$$ c = \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1.225 $$。
因此，$$ c < a < b $$。
答案为 C（$$ b > a > c $$）。