二倍角的正弦、余弦、正切公式-三角恒等变换知识点回顾进阶单选题自测题答案-江西省等高一数学必修,平均正确率48.0%

1、['充分、必要条件的判定'， '同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系'， '充要条件']

正确率40.0%$$\frac{... \operatorname{c o s}^{2} \theta} {\operatorname{s i n} 2 \theta}=-\frac{1} {4}，$$是$${{“}{{t}{a}{n}}{θ}{=}{−}{2}{”}}$$的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2、['三角函数与其他知识的综合应用'， '三角恒等变换综合应用'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=3 \sqrt{2} \mathrm{s i n} \frac{x} {4} \mathrm{c o s} \frac{x} {4}+\sqrt{6} \mathrm{c o s}^{2} \frac{x} {4}-\frac{\sqrt{6}} {2}-m.$$若不等式$${{f}{(}{x}{)}{⩽}{0}}$$在$$[-\frac{5 \pi} {6}， \ \frac{\pi} {6} \rbrack$$上恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$${{m}{⩾}{\sqrt {3}}}$$

B.$${{m}{⩽}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{m}{⩽}{−}{\sqrt {3}}}$$

D.$${{−}{\sqrt {3}}{⩽}{m}{⩽}{\sqrt {3}}}$$

3、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%已知角$${{α}}$$的顶点为坐标原点，始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，终边上有一点$${{P}{(}{−}{3}}$$，$${{4}{)}}$$，则$${{s}{i}{n}{2}{α}{=}}$$（）.

A.$${{−}}$$$$\frac{1 2} {2 5}$$

B.$${{−}}$$$$\frac{2 4} {2 5}$$

C.$$\frac{1 6} {5}$$

D.$$\frac{8} {\pi}$$

4、['三角函数与二次函数的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值']

正确率40.0%若函数$$f ( x )=-\frac{5} {6}+\frac{1} {6} \operatorname{s i n} 2 x+m ( \operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x ) \leqslant0$$在$${{(}{−}{∞}{，}{+}{∞}{)}}$$上恒成立，则$${{m}}$$的取值范围是

A.$$[-\frac{1} {2}， \frac{1} {2} ]$$

B.$$[-\frac{\sqrt{2}} {3}， \frac{\sqrt{2}} {3} ]$$

C.$$[-\frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{3}} {3} ]$$

D.$$[-\frac{\sqrt{2}} {2}， \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$

5、['同角三角函数的平方关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} 2 \alpha={\frac{3} {4}}， \， \， \， {\frac{\pi} {4}} < \alpha< {\frac{\pi} {2}}，$$则$${{s}{i}{n}{α}{−}{{c}{o}{s}}{α}}$$的值是（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$$\frac{1} {4}$$

D.$$- \frac{1} {4}$$

6、['利用诱导公式化简'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} 2 \alpha=\frac{2} {3}，$$则$$\operatorname{s i n}^{2} \ ( \alpha-\frac{\pi} {4} ) \ =\ ($$）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$\frac{1} {6}$$

7、['利用诱导公式求值'， '两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%已知$$0 < \alpha< \frac{\pi} {2}， \; \; 0 < \beta< \frac{\pi} {2}$$，且$$\cos\ ( 2 \alpha+\frac{\pi} {6} ) \ =\frac{3} {5}， \ \ \sin\ ( \， \beta-\frac{\pi} {1 2} \， ) \ =\frac{\sqrt{2}} {2}，$$则$${{c}{o}{s}{（}{α}{+}{β}{）}{=}{（}}$$）

A.$$- \frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$

B.$$- \frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$

C.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$

D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$

8、['三角恒等变换综合应用'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%将函数$$f \left( x \right)=2 \operatorname{s i n} \frac x 2 \operatorname{c o s} \frac x 2 \operatorname{c o s} \varphi+\left( 2 \operatorname{c o s}^{2} \frac x 2-1 \right) \operatorname{s i n} \varphi\ \left( \left\vert\varphi\right\vert< \frac\pi2 \right)$$的图象向左平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位长度后得到函数$${{g}{{(}{x}{)}}}$$的图象，且函数$${{g}{{(}{x}{)}}}$$的图象关于$${{y}}$$轴对称，则$$g \left( \frac{\pi} {6} \right)=($$)

A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

D.$$- \frac{1} {2}$$

9、['正弦曲线的对称轴'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的图象变换']

正确率40.0%将函数$$y=2 \mathrm{c o s}^{2} ( x-\frac{\pi} {4} )$$的图象沿$${{x}}$$轴向右平移$${{a}{(}{a}{>}{0}{)}}$$个单位后，所得图象关于$${{y}}$$轴对称，则$${{a}}$$的最小值为（）

A.$$\frac{3} {4} \pi$$

B.$$\frac{\pi} {2}$$

C.$$\frac{\pi} {4}$$

D.$$\begin{array} {c c} {\pi} \\ {\frac{\pi} {8}} \\ \end{array}$$

10、['同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%已知$$M=\operatorname{t a n} \frac{\alpha} {2} \operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha， N=\operatorname{t a n} \frac{\pi} {8} ( \operatorname{t a n} \frac{\pi} {8}+2 )$$，则$${{M}}$$和$${{N}}$$的关系是$${{(}{)}}$$

A.$${{M}{>}{N}}$$

B.$${{M}{<}{N}}$$

C.$${{M}{=}{N}}$$

D.$${{M}}$$和$${{N}}$$无关

1. 首先化简给定等式：$$\frac{\cos^2 \theta}{\sin 2\theta} = -\frac{1}{4}$$ 利用 $$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$$，代入得：$$\frac{\cos^2 \theta}{2\sin \theta \cos \theta} = \frac{\cos \theta}{2\sin \theta} = -\frac{1}{4}$$ 进一步化简为 $$\cot \theta = -\frac{1}{2}$$，即 $$\tan \theta = -2$$。这说明给定等式与 $$\tan \theta = -2$$ 等价，因此是充要条件。正确答案是 C。

2. 首先化简函数 $$f(x)$$：利用 $$\sin \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}$$ 和 $$\cos^2 \frac{x}{4} = \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2}$$，得到： $$f(x) = \frac{3\sqrt{2}}{2} \sin \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} \cos \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2} - m$$ 进一步化为： $$f(x) = \sqrt{6} \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) - \frac{\sqrt{6}}{2} - m$$ 要求在区间 $$[-\frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$$ 上 $$f(x) \leq 0$$ 恒成立，即： $$\sqrt{6} \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) - \frac{\sqrt{6}}{2} \leq m$$ 分析函数在区间内的最大值，当 $$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$$ 时取得最大值 $$\sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$，因此 $$m \geq \frac{\sqrt{6}}{2}$$。但选项中没有此答案，可能是题目描述有误或选项不全。根据选项中最接近的是 A $$m \geq \sqrt{3}$$。

3. 点 $$P(-3, 4)$$ 在角 $$\alpha$$ 的终边上，因此 $$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$，$$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$$。利用二倍角公式： $$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \frac{4}{5} \times \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25}$$。正确答案是 B。

4. 函数 $$f(x) = -\frac{5}{6} + \frac{1}{6} \sin 2x + m (\sin x + \cos x) \leq 0$$ 恒成立。设 $$t = \sin x + \cos x$$，则 $$\sin 2x = t^2 - 1$$，且 $$t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$。不等式化为： $$-\frac{5}{6} + \frac{1}{6}(t^2 - 1) + m t \leq 0$$ 即： $$\frac{1}{6} t^2 + m t - 1 \leq 0$$ 对于 $$t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$，需要二次函数的最大值不超过 0。通过求导或顶点分析，可得 $$m$$ 的取值范围是 $$[-\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}]$$。正确答案是 B。

5. 已知 $$\sin 2\alpha = \frac{3}{4}$$ 且 $$\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$$，求 $$\sin \alpha - \cos \alpha$$。设 $$x = \sin \alpha - \cos \alpha$$，平方得： $$x^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 - \sin 2\alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$ 由于 $$\alpha$$ 在给定区间内，$$\sin \alpha > \cos \alpha$$，因此 $$x = \frac{1}{2}$$。正确答案是 A。

6. 已知 $$\sin 2\alpha = \frac{2}{3}$$，求 $$\sin^2 \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$$。利用公式： $$\sin^2 \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 - \cos \left(2\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{2} = \frac{1 - \sin 2\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{6}$$。正确答案是 D。

7. 已知 $$\cos \left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{5}$$ 和 $$\sin \left(\beta - \frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，求 $$\cos(\alpha + \beta)$$。首先求出： $$\sin \left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \pm \frac{4}{5}$$（根据区间确定符号）， $$\beta - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$$（因为 $$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$），因此 $$\beta = \frac{\pi}{3}$$。通过和角公式计算 $$\cos(\alpha + \beta)$$，最终结果为 $$\frac{3\sqrt{10}}{10}$$。正确答案是 C。

8. 函数 $$f(x) = \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi = \sin(x + \varphi)$$。向左平移 $$\frac{\pi}{3}$$ 后得到 $$g(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{3} + \varphi\right)$$。由于 $$g(x)$$ 关于 $$y$$ 轴对称，$$\frac{\pi}{3} + \varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，取 $$\varphi = \frac{\pi}{6}$$。因此： $$g\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。正确答案是 A。

9. 函数 $$y = 2 \cos^2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1 + \cos \left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$$。向右平移 $$a$$ 个单位后为 $$y = 1 + \cos \left(2x - 2a - \frac{\pi}{2}\right)$$。关于 $$y$$ 轴对称需满足 $$-2a - \frac{\pi}{2} = k\pi$$，最小正 $$a$$ 为 $$\frac{\pi}{4}$$。正确答案是 C。

10. 化简 $$M = \tan \frac{\alpha}{2} \sin \alpha + \cos \alpha$$：利用 $$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$$，代入得： $$M = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha + \cos \alpha = 1$$。计算 $$N = \tan \frac{\pi}{8} \left(\tan \frac{\pi}{8} + 2\right)$$：设 $$t = \tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$$，则 $$N = t(t + 2) = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = 1$$。因此 $$M = N$$。正确答案是 C。

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