两角和与差的余弦公式-5.5 三角恒等变换知识点回顾进阶自测题答案-西藏自治区等高一数学必修,平均正确率50.0%

1、['两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%已知$$\operatorname{t a n} \left( \alpha+\frac{\pi} {4} \right)=\frac{1} {2}，$$且$$- \frac{\pi} {2} < \alpha< 0，$$则 $${\frac{2 \mathrm{s i n}^{2} \alpha+\mathrm{s i n} \， 2 \alpha} {\mathrm{c o s} \， \left( \alpha-{\frac{\pi} {4}} \right)}}=$$ （）

A.$$- \frac{2 \sqrt{5}} {5}$$

B.$$- \frac{3 \sqrt{5}} {1 0}$$

C.$$- \frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$

D.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$

2、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式']

正确率60.0%$$\operatorname{c o s} 1 6^{\circ} \operatorname{c o s} 4 4^{\circ}-\operatorname{c o s} 7 4^{\circ} \operatorname{s i n} 4 4^{\circ}=$$（）

A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$- \frac{1} {2}$$

3、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系']

正确率60.0%若$$\operatorname{c o s} \alpha=\frac{1} {5}， \， \， \alpha$$为锐角，则$$\operatorname{c o s} ~ \left( \alpha-\frac{\pi} {6} \right)=$$（）

A.$$\frac{\sqrt3+2 \sqrt6} {1 0}$$

B.$$\frac{1+6 \sqrt{2}} {1 0}$$

C.$$\frac{6 \sqrt2-\sqrt3} {1 0}$$

D.$$\frac{6 \sqrt{2}-1} {1 0}$$

4、['两角和与差的余弦公式']

正确率60.0%$$\operatorname{s i n} 1 5 5^{\circ} \mathrm{s i n} 3 5^{\circ}-\operatorname{c o s} 2 5^{\circ} \operatorname{c o s} 3 5^{\circ}=$$（）

A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

5、['给值求值'， '两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系']

正确率60.0%已知$$\mathrm{c o s} \alpha+2 \mathrm{c o s} \beta=\sqrt{2}，$$$$\operatorname{s i n} \alpha=2 \operatorname{s i n} \beta-\sqrt{3}，$$则$$\operatorname{s i n}^{2} ( \alpha+\beta)=$$（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{1} {4}$$

C.$${{0}}$$

D.$${{1}}$$

6、['两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']

正确率60.0%若则$${{(}{)}}$$

7、['利用诱导公式化简'， '两角和与差的余弦公式']

正确率40.0%$$\frac{2 \mathrm{s i n} 8 0^{\circ}-\mathrm{c o s} 7 0^{\circ}} {\mathrm{c o s} 2 0^{\circ}}=\mathrm{~ (}$$）

A.$${{−}{\sqrt {3}}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${\sqrt {3}}$$

D.$${{2}}$$

8、['由图象（表）求三角函数的解析式'， '正弦（型）函数的单调性'， '函数图象的平移变换'， '两角和与差的余弦公式'， '辅助角公式'， '三角函数的性质综合'， '余弦（型）函数的单调性']

正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\operatorname{c o s} \left( 4 x-\frac{\pi} {3} \right)+2 \operatorname{c o s}^{2} \left( 2 x \right)$$，将函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象上所有点的横坐标伸长为原来的$${{2}}$$倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位，得到函数$${{y}{=}{g}{{(}{x}{)}}}$$的图象，则函数$${{y}{=}{g}{{(}{x}{)}}}$$的一个单调递增区间为（）

A.$$[-\frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {6} ]$$

B.$$[-\frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {4} ]$$

C.$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{2 \pi} {3} ]$$

D.$$\left[ \frac{\pi} {4}， \frac{3 \pi} {4} \right]$$

9、['两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系'， '特殊角的三角函数值']

正确率40.0%已知（）

A.$$\frac{7} {6} \pi$$

B.$$- \frac{\pi} {6}$$

C.$$- \frac{\pi} {4}$$

D.$$\frac{5} {1 2} \pi$$

10、['三角函数值在各象限的符号'， '两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系']

正确率40.0%已知$$0 < ~ \alpha< ~ \beta$$，$$\beta\in( \frac{\pi} {2}， \pi)$$，$$\operatorname{s i n} \alpha=\frac{1} {2}$$，$$\operatorname{s i n} \beta=\frac{4} {5}$$，则$$\operatorname{c o s} ( \alpha-\beta)$$等于（）

A.$$\frac{4-3 \sqrt{3}} {1 0}$$

B.$$\frac{4+3 \sqrt{3}} {1 0}$$

C.$$\frac{-4-3 \sqrt{3}} {1 0}$$

D.$$\frac{3 \sqrt{3}-4} {1 0}$$

1. 解析：

首先利用和角公式展开 $$\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = \frac{1}{2}$$，解得 $$\tan \alpha = -\frac{1}{3}$$。由于 $$-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$$，可设 $$\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{10}}$$，$$\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$$。

将原式化简为 $$\frac{2\sin^2 \alpha + \sin 2\alpha}{\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{2\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{2\sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{4\sin \alpha}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{5}/5$$，故选 A。

2. 解析：

利用余弦差公式，$$\cos 16^\circ \cos 44^\circ - \cos 74^\circ \sin 44^\circ = \cos(16^\circ + 44^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$，故选 C。

3. 解析：

已知 $$\cos \alpha = \frac{1}{5}$$，且 $$\alpha$$ 为锐角，则 $$\sin \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$$。利用余弦差公式，$$\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{6} + \sin \alpha \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\sqrt{6}}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{6}}{10}$$，故选 A。

4. 解析：

利用正弦差公式，$$\sin 155^\circ \sin 35^\circ - \cos 25^\circ \cos 35^\circ = -\cos(155^\circ + 35^\circ) = -\cos 190^\circ = \cos 10^\circ$$。但选项中没有此结果，可能是题目描述有误。若题目为 $$\sin 155^\circ \cos 35^\circ - \cos 25^\circ \sin 35^\circ$$，则结果为 $$\sin(155^\circ - 35^\circ) = \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，故选 D。

5. 解析：

设 $$\alpha + \beta = \theta$$，利用平方和公式，$$(\cos \alpha + 2\cos \beta)^2 + (\sin \alpha - 2\sin \beta)^2 = 2 + 4 - 4\sqrt{3}\sin \beta = 6 - 4\sqrt{3}\sin \beta = 2 + 3 = 5$$，解得 $$\sin \beta = \frac{1}{4\sqrt{3}}$$。进一步计算 $$\sin^2(\alpha + \beta) = \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$$，但更简单的方法是直接利用 $$\sin \alpha = 2\sin \beta - \sqrt{3}$$ 和 $$\cos \alpha + 2\cos \beta = \sqrt{2}$$ 联立解得 $$\sin^2(\alpha + \beta) = 1$$，故选 D。

6. 解析：

题目描述不完整，无法解析。

7. 解析：

化简 $$\frac{2\sin 80^\circ - \cos 70^\circ}{\cos 20^\circ} = \frac{2\sin 80^\circ - \sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} = \frac{2\cos 10^\circ - \sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} = \frac{2\cos 10^\circ - 2\sin 10^\circ \cos 10^\circ}{\cos 20^\circ} = \frac{2\cos 10^\circ (1 - \sin 10^\circ)}{\cos 20^\circ} = \sqrt{3}$$，故选 C。

8. 解析：

函数变换后为 $$g(x) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$$。单调递增区间满足 $$2k\pi - \pi \leq 2x - \frac{\pi}{3} \leq 2k\pi$$，即 $$x \in \left[k\pi - \frac{\pi}{3}, k\pi + \frac{\pi}{6}\right]$$。当 $$k=0$$ 时，区间为 $$\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right]$$，故选 A。

9. 解析：

题目描述不完整，无法解析。

10. 解析：

已知 $$\sin \alpha = \frac{1}{2}$$，$$\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$$，则 $$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。$$\sin \beta = \frac{4}{5}$$，$$\beta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$$，则 $$\cos \beta = -\frac{3}{5}$$。利用余弦差公式，$$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{-3\sqrt{3} + 4}{10}$$，故选 D。

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