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正确率60.0%已知角$$\alpha\in\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)，$$且点$${{(}{{c}{o}{s}^{2}}{α}{，}{{c}{o}{s}}{2}{α}{)}}$$在直线$${{y}{=}{−}{x}}$$上，则$$\operatorname{t a n} \left( \alpha+\frac{\pi} {4} \right)=$$（）
A
A.$${{−}{3}{−}{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{3}{−}{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$
2、['三角恒等变换综合应用'， '给值求值'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$${{t}{a}{n}{α}{=}{2}{，}{α}{∈}{(}{0}{，}{π}{)}{，}}$$则$$\mathrm{c o s} \alpha+\operatorname{t a n} \left( \alpha-\frac{\pi} {4} \right)=$$（）
B
A.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}-\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}+\frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{\sqrt5} {5}+\frac1 3$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {5}-\frac{1} {3}$$
3、['给值求值'， '两角和与差的正切公式']正确率40.0%已知$$\mathrm{s i n} 2 \alpha=\frac{3} {5} \Big( \frac{\pi} {2} < 2 \alpha< \pi\Big) \，，$$$$\operatorname{t a n} ( \alpha-\beta)=\frac{1} {2}，$$则$${{t}{a}{n}{(}{α}{+}{β}{)}{=}}$$（）
A
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$- \frac2 {1 1}$$
D.$$\frac{2} {1 1}$$
4、['两角和与差的正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，若$${{1}{+}{{t}{a}{n}}{A}{+}{{t}{a}{n}}{B}{=}{{t}{a}{n}}{A}{{t}{a}{n}}{B}}$$，则$${{C}{=}{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
5、['两角和与差的正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=-2， ~ \operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=\frac{1} {7}，$$则$${{t}{a}{n}{β}{=}}$$（）
C
A.$$- \frac{1 3} {5}$$
B.$$- \frac{1 3} {9}$$
C.$$\frac{5} {3}$$
D.$${{3}}$$
6、['数列的前n项和'， '等差数列的通项公式'， '两角和与差的正切公式']正确率40.0%设等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公差为$$\frac{\pi} {9}，$$前$${{8}}$$项和为$${{6}{π}}$$，记$$\operatorname{t a n} \frac{\pi} {9}=k，$$则数列$$\{\operatorname{t a n} a_{n} \operatorname{t a n} a_{n+1} \}$$的前$${{7}}$$项和是（）
C
A.$$\frac{7 k^{2}-3} {k^{2}-1}$$
B.$$\frac{3-7 k^{2}} {k^{2}-1}$$
C.$$\frac{1 1-7 k^{2}} {k^{2}-1}$$
D.$$\frac{7 k^{2}-1 1} {k^{2}-1}$$
7、['两角和与差的正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$$\frac{1-\operatorname{t a n} 1 5^{0}} {1+\operatorname{t a n} 1 5^{0}}=$$$${{(}{)}}$$
D
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
8、['两点间的斜率公式'， '双曲线的离心率'， '两角和与差的正切公式'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线的斜率'， '直线的倾斜角']正确率40.0%已知$${{A}{、}{B}}$$为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的左右顶点，$${{F}{{(}{c}{，}{0}{)}}}$$为其右焦点，若直线$${{x}{=}{c}}$$上存在点$${{P}}$$，使得$${{∠}{A}{P}{B}{=}{{4}{5}}{^{∘}}{，}}$$则双曲线离心率的取值范围为（）
C
A.$${{[}{\sqrt {2}}{+}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{[}{\sqrt {2}}{，}{\sqrt {2}}{+}{1}{]}}$$
C.$${{(}{1}{，}{\sqrt {2}}{]}}$$
D.$${{(}{1}{，}{\sqrt {2}}{+}{1}{]}}$$
9、['两角和与差的正切公式']正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$${{t}{a}{n}{A}{=}{2}{，}{{t}{a}{n}}{B}{=}{3}{，}}$$则角$${{C}}$$的大小为
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{3 \pi} {4}$$
D.$$\frac{5 \pi} {4}$$
10、['向量坐标与向量的数量积'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '两角和与差的正切公式']正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{（}{{c}{o}{s}}{θ}{，}{{s}{i}{n}}{θ}{）}{，}}$$$${{b}^{→}{=}{（}{2}{，}{−}{1}{）}{，}}$$且$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}{，}}$$则$$\operatorname{t a n} ( \theta-\frac{\pi} {4} )$$的值是（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$- \frac{1} {3}$$
1. 由题意，点$$(cos^2α, cos2α)$$在直线$$y=-x$$上，因此有$$cos2α = -cos^2α$$。利用余弦二倍角公式$$cos2α = 2cos^2α -1$$，代入得$$2cos^2α -1 = -cos^2α$$，解得$$cos^2α = \frac{1}{3}$$。由于$$α \in (0, \frac{π}{2})$$，$$cosα = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，$$tanα = \frac{sinα}{cosα} = \sqrt{2}$$。利用和角公式，$$tan(α+\frac{π}{4}) = \frac{tanα +1}{1-tanα} = \frac{\sqrt{2}+1}{1-\sqrt{2}} = -3-2\sqrt{2}$$。答案为$$A$$。
2. 已知$$tanα=2$$，则$$sinα = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$cosα = \frac{1}{\sqrt{5}}$$。计算$$tan(α-\frac{π}{4}) = \frac{tanα -1}{1+tanα} = \frac{1}{3}$$。因此$$cosα + tan(α-\frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{3}$$。答案为$$B$$。
3. 由$$sin2α = \frac{3}{5}$$且$$\frac{π}{2} < 2α < π$$，得$$cos2α = -\frac{4}{5}$$，$$tan2α = -\frac{3}{4}$$。利用正切和角公式，$$tan(α+β) = \frac{tan2α - tan(α-β)}{1+tan2α \cdot tan(α-β)} = \frac{-\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1 + (-\frac{3}{4}) \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} = -2$$。答案为$$A$$。
4. 由题意得$$1 + tanA + tanB = tanA \cdot tanB$$，整理得$$1 = tanA \cdot tanB - tanA - tanB$$。利用$$tan(A+B) = \frac{tanA + tanB}{1 - tanA \cdot tanB}$$，代入得$$tan(A+B) = -1$$。在三角形中，$$A+B+C=π$$，因此$$tanC = tan(π - (A+B)) = -tan(A+B) = 1$$，故$$C = \frac{π}{4}$$。答案为$$A$$。
5. 利用正切和角公式，$$tanβ = tan((α+β) - α) = \frac{tan(α+β) - tanα}{1 + tan(α+β) \cdot tanα} = \frac{\frac{1}{7} - (-2)}{1 + \frac{1}{7} \cdot (-2)} = \frac{\frac{15}{7}}{\frac{5}{7}} = 3$$。答案为$$D$$。
6. 等差数列前8项和为$$6π$$，即$$8a_1 + 28 \cdot \frac{π}{9} = 6π$$，解得$$a_1 = \frac{π}{18}$$。通项为$$a_n = \frac{π}{18} + (n-1)\frac{π}{9}$$。计算$$tan a_n \cdot tan a_{n+1}$$，利用$$tan(a_{n+1}) = tan(a_n + \frac{π}{9})$$，化简后求和得前7项和为$$\frac{7k^2 -3}{k^2 -1}$$。答案为$$A$$。
7. 利用$$tan(45°-15°) = \frac{1 - tan15°}{1 + tan15°}$$，因此$$\frac{1 - tan15°}{1 + tan15°} = tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。答案为$$D$$。
8. 设双曲线左右顶点为$$A(-a,0)$$和$$B(a,0)$$，右焦点为$$F(c,0)$$。点$$P$$在直线$$x=c$$上，设$$P(c, y)$$。由$$∠APB=45°$$，利用斜率公式和角度条件，推导得$$c^2 - a^2 = 2a|y|$$。由于$$|y|$$有解，需$$c^2 - a^2 \geq 0$$，即$$e \geq \sqrt{2}$$。同时考虑双曲线性质，$$e \in (1, \sqrt{2}+1]$$。答案为$$D$$。
9. 由$$tanA=2$$，$$tanB=3$$，利用$$tanC = -tan(A+B) = -\frac{tanA + tanB}{1 - tanA \cdot tanB} = 1$$，故$$C = \frac{π}{4}$$。答案为$$B$$。
10. 由向量垂直条件，$$2cosθ - sinθ = 0$$，即$$tanθ = 2$$。利用$$tan(θ - \frac{π}{4}) = \frac{tanθ -1}{1 + tanθ} = \frac{1}{3}$$。答案为$$C$$。