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正确率60.0%已知$$\frac{\pi} {2} < \alpha< \frac{3 \pi} {4}，$$若$$\operatorname{s i n} \Big( \alpha+\frac{\pi} {4} \Big)=\frac{\sqrt{5}} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} \left( 2 \alpha-\frac{\pi} {4} \right)=$$（）
C
A.$$- \frac{7 \sqrt{2}} {1 0}$$
B.$$- \frac{\sqrt2} {1 0}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {1 0}$$
D.$$\frac{7 \sqrt{2}} {1 0}$$
2、['给值求值'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%若$$\mathrm{c o s} \alpha=-\frac{4} {5}， \alpha$$是第三象限角，则$$\frac{1+\operatorname{t a n} \frac{\alpha} {2}} {1-\operatorname{t a n} \frac{\alpha} {2}}=$$（）
A
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
3、['给值求值'， '同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%已知$$\mathrm{t a n} \alpha=-\frac{1} {2}$$，则$$2 \mathrm{s i n}^{2} \alpha+\frac{1} {2} \mathrm{s i n} \， 2 \alpha$$的值为
D
A.$$\frac{2} {5}$$
B.$$- \frac{1} {5}$$
C.$$- \frac{2} {5}$$
D.$${{0}}$$
4、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '给值求值']正确率60.0%已知$$\alpha\in( 0， \， \， \， \frac{\pi} {6} )， \， \， \， \operatorname{s i n} ( \alpha+\frac{\pi} {3} )=\frac{1 2} {1 3}，$$则$$\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {6}-\alpha)=~ ($$）
B
A.$$\frac{5} {1 2}$$
B.$$\frac{1 2} {1 3}$$
C.$$- \frac{5} {1 3}$$
D.$$- \frac{1 2} {1 3}$$
5、['给值求值'， '两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数基本关系的综合应用']正确率40.0%设$${{α}{、}{β}}$$都是锐角，且$$\operatorname{c o s} \alpha=\frac{\sqrt{5}} {5}， ~ ~ \operatorname{s i n} ( \alpha+\beta)=\frac{3} {5}，$$则$${{c}{o}{s}{β}}$$等于（）
B
A.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{5}} {2 5}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$或$$\frac{2 \sqrt{5}} {2 5}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$或$$\frac{\sqrt{5}} {2 5}$$
6、['给值求值'， '两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} ~ ( \alpha$$一$$\beta) ~={\frac{3} {5}}， ~ ~ \cos~ ( \alpha+\beta) ~=-{\frac{3} {5}}，$$且$$\alpha-\beta\in\textsc{\textit{(}} \frac{\pi} {2}， \pi) \， \ \alpha+\beta\in\textup{\textit{(}} \frac{\pi} {2}， \ \pi) \enspace，$$则$$\operatorname{c o s} 2 \beta$$的值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$\frac{2 4} {2 5}$$
D.$$- \frac{4} {5}$$
7、['给值求值'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \alpha-\frac{\pi} {4} \right)=\frac{3} {5}， \， \， \， \alpha\in\left( \frac{\pi} {2}， \frac{5 \pi} {4} \right)，$$则$$\operatorname{s i n} \alpha=~ ($$）
D
A.$$\frac{7 \sqrt{2}} {1 0}$$
B.$$- \frac{\sqrt2} {1 0}$$或$$\frac{7 \sqrt{2}} {1 0}$$
C.$$\pm\frac{\sqrt{2}} {1 0}$$
D.$$- \frac{\sqrt2} {1 0}$$
8、['给值求值'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%设$$0 < \alpha< \beta< \frac{\pi} {2}， \operatorname{s i n} \alpha=\frac{3} {5}， \operatorname{c o s} ( \alpha-\beta)=\frac{1 2} {1 3}$$，则$${{s}{i}{n}{β}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1 6} {6 5}$$
B.$$\frac{3 3} {6 5}$$
C.$$\frac{5 6} {6 5}$$
D.$$\frac{6 3} {6 5}$$
9、['给值求值'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} ~ ( \alpha+\frac{\pi} {3} ) ~=-\frac{\sqrt{3}} {3} ~ ( \alpha$$为锐角$${）}$$，则$$\operatorname{s i n} \alpha=$$（）
C
A.$$\frac{2 \sqrt2+\sqrt3} {6}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{2}-\sqrt{3}} {6}$$
C.$$\frac{\sqrt6+3} {6}$$
D.$$\frac{3-\sqrt{6}} {6}$$
10、['三角函数值在各象限的符号'， '给值求值'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']正确率60.0%已知$$0 < \alpha< \beta< \frac{\pi} {2}$$，且$$\operatorname{c o s} ( \alpha-\beta)=\frac{6 3} {6 5}， ~ ~ \operatorname{s i n} \beta=\frac{1 2} {1 3}$$，则$$\operatorname{s i n} \alpha=$$（）
D
A.$$- \frac{3} {5}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$- \frac{4} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
1. 已知 $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$$，若 $$\sin \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，求 $$\sin \left( 2\alpha - \frac{\pi}{4} \right)$$。
设 $$\theta = \alpha + \frac{\pi}{4}$$，则 $$\alpha = \theta - \frac{\pi}{4}$$，代入范围得 $$\frac{\pi}{2} < \theta - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$$，即 $$\frac{3\pi}{4} < \theta < \pi$$，故 $$\theta$$ 在第二象限，$$\cos \theta < 0$$。
由 $$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，得 $$\cos \theta = -\sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{5}}{5} \right)^2} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$。
目标式：$$\sin \left( 2\alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( 2\left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) - \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( 2\theta - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( 2\theta - \frac{3\pi}{4} \right)$$。
利用正弦差公式：$$\sin \left( 2\theta - \frac{3\pi}{4} \right) = \sin 2\theta \cos \frac{3\pi}{4} - \cos 2\theta \sin \frac{3\pi}{4}$$。
计算：$$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \left( -\frac{2\sqrt{5}}{5} \right) = -\frac{4}{5}$$，$$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 2 \cdot \left( \frac{4 \cdot 5}{25} \right) - 1 = \frac{8}{5} - 1 = \frac{3}{5}$$。
已知 $$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
代入：$$\sin \left( 2\theta - \frac{3\pi}{4} \right) = \left( -\frac{4}{5} \right) \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) - \left( \frac{3}{5} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{4\sqrt{2}}{10} - \frac{3\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{10}$$。
但 $$\theta \in \left( \frac{3\pi}{4}, \pi \right)$$，$$2\theta \in \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right)$$，$$2\theta - \frac{3\pi}{4} \in \left( \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right)$$，正弦在此区间有正有负，需进一步判断。
由 $$\theta \in \left( \frac{3\pi}{4}, \pi \right)$$，$$\sin \theta > 0$$，$$\cos \theta < 0$$，故 $$2\theta \in \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right)$$，$$\sin 2\theta < 0$$，$$\cos 2\theta > 0$$。
$$2\theta - \frac{3\pi}{4} \in \left( \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right)$$，当 $$2\theta - \frac{3\pi}{4} \in \left( \pi, \frac{5\pi}{4} \right)$$ 时正弦为负，但计算得正值，矛盾。
重新审视：$$\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4} \right)$$，$$\theta = \alpha + \frac{\pi}{4} \in \left( \frac{3\pi}{4}, \pi \right)$$，正确。
$$\sin \left( 2\alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( 2\theta - \frac{3\pi}{4} \right)$$，代入数值后得 $$\frac{\sqrt{2}}{10}$$，但根据角度范围应为负？
实际上，$$2\theta \in \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right)$$，$$2\theta - \frac{3\pi}{4} \in \left( \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right)$$，正弦在 $$\left( \pi, \frac{5\pi}{4} \right)$$ 为负，在 $$\left( \frac{3\pi}{4}, \pi \right)$$ 为正。需确定具体区间。
由 $$\theta \in \left( \frac{3\pi}{4}, \pi \right)$$，取 $$\theta = \frac{5\pi}{6}$$，则 $$2\theta - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{20\pi - 9\pi}{12} = \frac{11\pi}{12} \in \left( \pi, \frac{5\pi}{4} \right)$$？$$\frac{11\pi}{12} < \pi$$，属第二象限，正弦为正。
取 $$\theta = \frac{4\pi}{5}$$，则 $$2\theta - \frac{3\pi}{4} = \frac{8\pi}{5} - \frac{3\pi}{4} = \frac{32\pi - 15\pi}{20} = \frac{17\pi}{20} < \pi$$，仍为正。
故 $$\sin \left( 2\theta - \frac{3\pi}{4} \right) > 0$$，结果 $$\frac{\sqrt{2}}{10}$$ 正确，对应选项 C。
答案：C
2. 已知 $$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$$，$$\alpha$$ 是第三象限角，求 $$\frac{1 + \tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan \frac{\alpha}{2}}$$。
利用正切半角公式：$$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$$。
由 $$\alpha$$ 在第三象限，$$\sin \alpha < 0$$，$$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$$，得 $$\sin \alpha = -\sqrt{1 - \left( \frac{16}{25} \right)} = -\frac{3}{5}$$。
代入：$$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{ -\frac{3}{5} }{1 + \left( -\frac{4}{5} \right)} = \frac{ -\frac{3}{5} }{ \frac{1}{5} } = -3$$。
原式 $$= \frac{1 + (-3)}{1 - (-3)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$。
答案：A
3. 已知 $$\tan \alpha = -\frac{1}{2}$$，求 $$2 \sin^2 \alpha + \frac{1}{2} \sin 2\alpha$$。
利用 $$\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$$，$$\sin^2 \alpha = \frac{\tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$$。
设 $$\tan \alpha = t = -\frac{1}{2}$$，则 $$t^2 = \frac{1}{4}$$，$$1 + t^2 = \frac{5}{4}$$。
$$\sin^2 \alpha = \frac{ \frac{1}{4} }{ \frac{5}{4} } = \frac{1}{5}$$，$$\sin 2\alpha = \frac{2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) }{ \frac{5}{4} } = \frac{-1}{ \frac{5}{4} } = -\frac{4}{5}$$。
代入：$$2 \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{4}{5} \right) = \frac{2}{5} - \frac{2}{5} = 0$$。
答案：D
4. 已知 $$\alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{6} \right)$$，$$\sin \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{12}{13}$$，求 $$\cos \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right)$$。
注意 $$\frac{\pi}{6} - \alpha = \frac{\pi}{2} - \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right)$$，因为 $$\frac{\pi}{2} - \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\pi}{2} - \alpha - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} - \alpha$$。
故 $$\cos \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) \right) = \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{12}{13}$$。
答案：B
5. 已知 $$\alpha, \beta$$ 都是锐角，$$\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\sin (\alpha + \beta) = \frac{3}{5}$$，求 $$\cos \beta$$。
由 $$\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\alpha$$ 锐角，故 $$\sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{5}{25}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。
$$\sin (\alpha + \beta) = \frac{3}{5}$$，$$\alpha + \beta$$ 可能为锐角或钝角。
$$\cos (\alpha + \beta) = \pm \sqrt{1 - \left( \frac{3}{5} \right)^2} = \pm \frac{4}{5}$$。
$$\cos \beta = \cos \left( (\alpha + \beta) - \alpha \right) = \cos (\alpha + \beta) \cos \alpha + \sin (\alpha + \beta) \sin \alpha$$。
情况一：$$\cos (\alpha + \beta) = \frac{4}{5}$$，则 $$\cos \beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5}}{25} + \frac{6\sqrt{5}}{25} = \frac{10\sqrt{5}}{25} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。
情况二：$$\cos (\alpha + \beta) = -\frac{4}{5}$$，则 $$\cos \beta = -\frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = -\frac{4\sqrt{5}}{25} + \frac{6\sqrt{5}}{25} = \frac{2\sqrt{5}}{25}$$。
由于 $$\beta$$ 为锐角，$$\cos \beta > 0$$，两种均可能，故答案为 C。
答案：C
6. 已知 $$\sin (\alpha - \beta) = \frac{3}{5}$$，$$\cos (\alpha + \beta) = -\frac{3}{5}$$，且 $$\alpha - \beta \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，$$\alpha + \beta \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，求 $$\cos 2\beta$$。
$$\cos 2\beta = \cos \left( (\alpha + \beta) - (\alpha - \beta) \right) = \cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta) \sin (\alpha - \beta)$$。
由 $$\alpha - \beta \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，$$\cos (\alpha - \beta) < 0$$，$$\sin (\alpha - \beta) = \frac{3}{5}$$，故 $$\cos (\alpha - \beta) = -\sqrt{1 - \left( \frac{3}{5} \right)^2} = -\frac{4}{5}$$。
由 $$\alpha + \beta \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，$$\cos (\alpha + \beta) = -\frac{3}{5}$$，故 $$\sin (\alpha + \beta) = \sqrt{1 - \left( \frac{9}{25} \right)} = \frac{4}{5}$$。
代入：$$\cos 2\beta = \left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \left( -\frac{4}{5} \right) + \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{25} + \frac{12}{25} = \frac{24}{25}$$。
答案：C
7. 已知 $$\sin \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{3}{5}$$，$$\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4} \right)$$，求 $$\sin \alpha$$。
设 $$\theta = \alpha - \frac{\pi}{4}$$，则 $$\alpha = \theta + \frac{\pi}{4}$$，代入范围得 $$\frac{\pi}{2} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4}$$，即 $$\frac{\pi}{4} < \theta < \pi$$。
已知 $$\sin \theta = \frac{3}{5}$$，故 $$\cos \theta = \pm \frac{4}{5}$$。
$$\sin \alpha = \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \theta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{10} (3 + 4 \cos \theta)$$。
由 $$\theta \in \left( \frac{\pi}{4}, \pi \right)$$，$$\sin \theta = \frac{3}{5} > 0$$，故 $$\theta \in \left( \frac{\pi}{4}, \pi \right)$$，$$\cos \theta$$ 可正可负。
当 $$\theta \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right)$$ 时，$$\cos \theta = \frac{4}{5}$$，则 $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{10} (3 + 4 \cdot \frac{4}{5}) = \frac{\sqrt{2}}{10} \cdot \frac{31}{5} = \frac{31\sqrt{2}}{50}$$，但不在选项中。
当 $$\theta \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$ 时，$$\cos \theta = -\frac{4}{5}$$，则 $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{10} (3 + 4 \cdot (-\frac{4}{5})) = \frac{\sqrt{2}}{10} \cdot \frac{-1}{5} = -\frac{\sqrt{2}}{50}$$，也不对。
重新计算：$$\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \theta + \cos \theta)$$。
若 $$\cos \theta = \frac{4}{5}$$，则 $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{7}{5} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$$。
若 $$\cos \theta = -\frac{4}{5}$$，则 $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left( \frac{3}{5} - \frac{4}{5} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left( -\frac{1}{5} \right) = -\frac{\sqrt{ 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱