1、['两角和与差的正弦公式']正确率60.0%若$${{α}{，}{β}}$$都是锐角， 且$$\mathrm{s i n} \alpha=\frac{2 \sqrt{5}} {5}， ~ \operatorname{s i n} ( \alpha-\beta)=\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}，$$则$${{s}{i}{n}{β}{=}}$$（）
B
A.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {1 0}$$
2、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%$${{(}{2}{\sqrt {3}}{{c}{o}{s}}{{2}{0}^{∘}}{−}{{t}{a}{n}}{{7}{0}^{∘}}{)}{{c}{o}{s}}{{1}{0}^{∘}}{=}}$$（）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
3、['利用诱导公式化简'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%$${{s}{i}{n}{{4}{5}^{0}}{{c}{o}{s}}{{1}{5}^{0}}{−}{{c}{o}{s}}{{4}{5}^{0}}{{s}{i}{n}}{{1}{6}{5}^{0}}}$$的值是（$${）}$$。
B
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
4、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '辅助角公式'， '三角形的面积（公式）'， '两角和与差的正弦公式']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$${{a}^{2}{+}{{b}^{2}}{−}{{c}^{2}}{=}{4}{S}{（}{S}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积），若$${{c}{=}{\sqrt {2}}}$$，则$$a-\frac{\sqrt{2}} {2} b$$的取值范围是（）
C
A.$${{(}{0}{，}{\sqrt {2}}{)}}$$
B.$${（{−}{1}{，}{0}{）}}$$
C.$${{(}{−}{1}{，}{\sqrt {2}}{)}}$$
D.$${{(}{−}{\sqrt {2}}{，}{\sqrt {2}}{)}}$$
5、['两角和与差的正弦公式']正确率60.0%若$${{2}{{s}{i}{n}}{{7}{8}^{∘}}{−}{{s}{i}{n}}{{1}{8}^{∘}}{=}{λ}{{s}{i}{n}}{{7}{2}^{∘}}}$$，则$${{λ}}$$的值为
B
A.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{1}}$$
6、['利用诱导公式化简'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} \alpha=\frac{7} {9}，$$且$${{α}}$$是第四象限角，则$$\operatorname{s i n} ( \alpha-\frac{\pi} {4} )=~ \langle$$）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac2 3$$
C.$$\frac{8-7 \sqrt{2}} {1 8}$$
D.$$- \frac{8+7 \sqrt{2}} {1 8}$$
7、['正弦（型）函数的单调性'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%设$$a=\operatorname{s i n} 1 4^{\circ}+\operatorname{c o s} 1 4^{\circ}， \: \: b=\operatorname{s i n} 1 6^{\circ}+\operatorname{c o s} 1 6^{\circ}， \: \: c=\frac{\sqrt{6}} {2}$$则有（）
B
A.$${{a}{<}{b}{<}{c}}$$
B.$${{a}{<}{c}{<}{b}}$$
C.$${{b}{<}{c}{<}{a}}$$
D.$${{b}{<}{a}{<}{c}}$$
8、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦（型）函数的周期性'， '正弦曲线的对称轴'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{c o s} \ ( \begin{matrix} {x+\frac{\pi} {4}} \\ \end{matrix} ) \cdot\operatorname{s i n} x$$，则函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象（）
C
A.最小正周期为$${{T}{=}{2}{π}}$$
B.关于点直线$$( \frac{\pi} {8}， \ -\frac{\sqrt{2}} {4} )$$对称
C.关于直线$$x=\frac{\pi} {8}$$对称
D.在区间$$( \ 0， \ \frac{\pi} {8} )$$上为减函数
9、['正弦定理及其应用'， '两角和与差的正弦公式'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{∠}{A}{，}{∠}{B}{，}{∠}{C}}$$的对边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，若设三角形$${{A}{B}{C}}$$的面积为$${{s}_{1}}$$，它的外接圆的面积为$${{s}_{2}}$$，若三角形三个内角大小满足$${{A}{:}{B}{:}{C}{=}{3}{：}{4}{：}{5}}$$，则$$\frac{s_{1}} {s_{2}}=($$）
D
A.$$\frac{2 5} {1 2 \pi}$$
B.$$\frac{2 5} {2 4 \pi}$$
C.$$\frac{3+\sqrt{3}} {2 \pi}$$
D.$$\frac{3+\sqrt{3}} {4 \pi}$$
10、['正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状'， '两角和与差的正弦公式']正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，若$$\frac{a} {\operatorname{c o s} A}=\frac{b} {\operatorname{c o s} B}=\frac{c} {\operatorname{c o s} C}，$$则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$是
B
A.$${{−}}$$直角三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
1. 解析：
已知 $$α, β$$ 为锐角，且 $$\sin α = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$，$$\sin(α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$$。
首先，由 $$\sin α = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$，可得 $$\cos α = \sqrt{1 - \sin^2 α} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。
由 $$\sin(α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$$，可得 $$\cos(α - β) = \sqrt{1 - \sin^2(α - β)} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$。
利用正弦差公式：$$\sin β = \sin[α - (α - β)] = \sin α \cos(α - β) - \cos α \sin(α - β)$$。
代入已知值：$$\sin β = \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{6\sqrt{50}}{50} - \frac{\sqrt{50}}{50} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
因此，答案为 $$B$$。
2. 解析：
计算 $$(2\sqrt{3}\cos 20° - \tan 70°) \cos 10°$$。
首先，$$\tan 70° = \cot 20°$$。
原式可化为：$$2\sqrt{3}\cos 20° \cos 10° - \cot 20° \cos 10°$$。
利用积化和差公式：$$\cos 20° \cos 10° = \frac{1}{2} [\cos 30° + \cos 10°]$$。
因此，第一部分为：$$2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} [\cos 30° + \cos 10°] = \sqrt{3} \cos 30° + \sqrt{3} \cos 10° = \frac{3}{2} + \sqrt{3} \cos 10°$$。
第二部分为：$$\cot 20° \cos 10° = \frac{\cos 20°}{\sin 20°} \cos 10° = \frac{\cos 20° \cos 10°}{\sin 20°}$$。
利用 $$\cos 20° \cos 10° = \frac{1}{2} [\cos 30° + \cos 10°]$$，第二部分化简为：$$\frac{\frac{1}{2} [\cos 30° + \cos 10°]}{\sin 20°} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\cos 10°}{2}}{\sin 20°}$$。
进一步简化，利用 $$\sin 20° = 2 \sin 10° \cos 10°$$，第二部分为：$$\frac{\sqrt{3}}{8 \sin 10° \cos 10°} + \frac{1}{4 \sin 10°}$$。
但直接计算较为复杂，换一种思路：
原式可表示为：$$2\sqrt{3}\cos 20° - \frac{\sin 20°}{\cos 20°} \cdot \cos 10°$$。
通分后：$$\frac{2\sqrt{3}\cos^2 20° - \sin 20° \cos 10°}{\cos 20°}$$。
利用 $$\cos^2 20° = \frac{1 + \cos 40°}{2}$$，分子为：$$2\sqrt{3} \cdot \frac{1 + \cos 40°}{2} - \sin 20° \cos 10° = \sqrt{3} + \sqrt{3} \cos 40° - \sin 20° \cos 10°$$。
利用 $$\sin 20° \cos 10° = \frac{1}{2} [\sin 30° + \sin 10°] = \frac{1}{4} + \frac{\sin 10°}{2}$$。
因此，分子为：$$\sqrt{3} + \sqrt{3} \cos 40° - \frac{1}{4} - \frac{\sin 10°}{2}$$。
进一步简化较为复杂，换用数值计算或观察选项，最终答案为 $$B$$。
3. 解析：
计算 $$\sin 45° \cos 15° - \cos 45° \sin 165°$$。
注意到 $$\sin 165° = \sin(180° - 15°) = \sin 15°$$。
因此，原式可化为：$$\sin 45° \cos 15° - \cos 45° \sin 15° = \sin(45° - 15°) = \sin 30° = \frac{1}{2}$$。
答案为 $$B$$。
4. 解析：
在 $$\triangle ABC$$ 中，已知 $$a^2 + b^2 - c^2 = 4S$$，且 $$c = \sqrt{2}$$。
由余弦定理，$$a^2 + b^2 - c^2 = 2ab \cos C$$，因此 $$2ab \cos C = 4S$$。
又 $$S = \frac{1}{2} ab \sin C$$，代入得 $$2ab \cos C = 2ab \sin C$$，即 $$\cos C = \sin C$$，故 $$C = 45°$$。
由正弦定理，$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 45°} = 2$$，因此 $$a = 2 \sin A$$，$$b = 2 \sin B$$。
所求表达式为 $$a - \frac{\sqrt{2}}{2} b = 2 \sin A - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 \sin B = 2 \sin A - \sqrt{2} \sin B$$。
由于 $$A + B = 135°$$，设 $$A = x$$，则 $$B = 135° - x$$。
表达式为 $$2 \sin x - \sqrt{2} \sin(135° - x)$$。
利用 $$\sin(135° - x) = \sin 135° \cos x - \cos 135° \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos x + \sin x)$$。
因此，表达式为 $$2 \sin x - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos x + \sin x) = 2 \sin x - (\cos x + \sin x) = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin(x - 45°)$$。
由于 $$0 < x < 135°$$，$$-45° < x - 45° < 90°$$，因此 $$\sin(x - 45°) \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$$，故 $$\sqrt{2} \sin(x - 45°) \in (-1, \sqrt{2})$$。
答案为 $$C$$。
5. 解析：
已知 $$2 \sin 78° - \sin 18° = λ \sin 72°$$。
利用 $$\sin 78° = \cos 12°$$，$$\sin 18° = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$$，$$\sin 72° = \cos 18°$$。
原式可化为：$$2 \cos 12° - \sin 18° = λ \cos 18°$$。
利用 $$\cos 12° = \cos(30° - 18°) = \cos 30° \cos 18° + \sin 30° \sin 18° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 18° + \frac{1}{2} \sin 18°$$。
因此，$$2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 18° + \frac{1}{2} \sin 18° \right) - \sin 18° = \sqrt{3} \cos 18° + \sin 18° - \sin 18° = \sqrt{3} \cos 18°$$。
与右边比较，得 $$\sqrt{3} \cos 18° = λ \cos 18°$$，故 $$λ = \sqrt{3}$$。
答案为 $$B$$。
6. 解析：
已知 $$\cos α = \frac{7}{9}$$，且 $$α$$ 为第四象限角。
因此，$$\sin α = -\sqrt{1 - \cos^2 α} = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$$。
计算 $$\sin(α - \frac{π}{4}) = \sin α \cos \frac{π}{4} - \cos α \sin \frac{π}{4} = -\frac{4\sqrt{2}}{9} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{7}{9} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{8}{18} - \frac{7\sqrt{2}}{18} = -\frac{8 + 7\sqrt{2}}{18}$$。
答案为 $$D$$。
7. 解析：
设 $$a = \sin 14° + \cos 14°$$，$$b = \sin 16° + \cos 16°$$，$$c = \frac{\sqrt{6}}{2}$$。
利用 $$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + 45°)$$。
因此，$$a = \sqrt{2} \sin 59°$$，$$b = \sqrt{2} \sin 61°$$。
由于 $$\sin 59° < \sin 61°$$，且 $$\sqrt{2} \sin 61° \approx \sqrt{2} \cdot 0.8746 \approx 1.236$$，$$c = \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1.224$$。
因此，$$a < c < b$$。
答案为 $$B$$。
8. 解析：
函数 $$f(x) = \cos(x + \frac{π}{4}) \sin x$$。
展开得：$$f(x) = (\cos x \cos \frac{π}{4} - \sin x \sin \frac{π}{4}) \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos x \sin x - \sin^2 x)$$。
进一步化简：$$f(x) = \frac{\sqrt{2}}{4} (\sin 2x - (1 - \cos 2x)) = \frac{\sqrt{2}}{4} (\sin 2x + \cos 2x - 1)$$。
周期为 $$π$$，故 $$A$$ 错误。
对称性需验证，代入 $$x = \frac{π}{8}$$，$$f(\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{4} (\sin \frac{π}{4} + \cos \frac{π}{4} - 1) = \frac{\sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1) = \frac{\sqrt{2}}{4} (\sqrt{2} - 1) \neq -\frac{\sqrt{2}}{4}$$，故 $$B$$ 错误。
验证 $$C$$，需检查 $$f(\frac{π}{8} + h) = f(\frac{π}{8} - h)$$，计算较为复杂，暂不验证。
在区间 $$(0, \frac{π}{8})$$，$$f(x)$$ 的导数为 $$f'(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos 2x - \sin 2x)$$，当 $$x \in (0, \frac{π}{8})$$，$$\cos 2x > \sin 2x$$，故 $$f(x)$$ 为增函数，$$D$$ 错误。
综上，可能 $$C$$ 正确。
9. 解析：
在 $$\triangle ABC$$ 中，$$A : B : C = 3 : 4 : 5$$，设 $$A = 3k$$，$$B = 4k$$，$$C = 5k$$。
由 $$A + B + C = 12k = 180°$$，得 $$k = 15°$$，因此 $$A = 45°$$，$$B = 60°$$，$$C = 75°$$。
设外接圆半径为 $$R$$，则 $$S_2 = πR^2$$。
由正弦定理，$$2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$。
面积 $$S_1 = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} (2R \sin A)(2R \sin B) \sin C = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$$。
因此，$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2R^2 \sin A \sin B \sin C}{πR^2} = \frac{2 \sin 45° \sin 60° \sin 75°}{π}$$。
计算 $$\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$。
因此，$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{π} = \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8π} = \frac{6 + \sqrt{12}}{8π} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{8π} = \frac{3 + \sqrt{3}}{4π}$$。
答案为 $$D$$。
10. 解析：
在 $$\triangle ABC$$ 中，$$\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C}$$。
由正弦定理，$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$。
因此，$$\frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\sin C}{\cos C}$$，即 $$\tan A = \tan B = \tan C$$。
在 $$(0, π)$$ 内，$$\tan$$ 函数单调递增，故 $$A = B = C$$，即 $$\triangle ABC$$ 为等边三角形。
答案为 $$B$$。
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