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正确率40.0%已知函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$的图象关于直线$${{x}{=}{3}}$$对称，$${{f}{（}{−}{1}{）}{=}{{3}{2}{0}}}$$且$$\operatorname{c o s} x-\operatorname{s i n} x=\frac{3 \sqrt{2}} {5}，$$则$$f [ \frac{1 5 \operatorname{s i n} 2 x} {\operatorname{c o s} ( x+\frac{\pi} {4} )} ]$$的值为（）
C
A.$${{2}{4}{0}}$$
B.$${{2}{6}{0}}$$
C.$${{3}{2}{0}}$$
D.$${{−}{{3}{2}{0}}}$$
2、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\mathrm{s i n} \alpha+\mathrm{s i n} \beta=\frac{3} {5}， \enspace\mathrm{c o s} \alpha+\mathrm{c o s} \beta=\frac{4} {5}，$$则$${{c}{o}{s}{(}{α}{−}{β}{)}{=}}$$（）
A
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
3、['两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%已知$$\alpha-\beta=\frac{\pi} {6}， ~ \operatorname{t a n} \alpha-\operatorname{t a n} \beta=3，$$则$${{c}{o}{s}{(}{α}{+}{β}{)}}$$的值为（）
D
A.$$\frac{1} {2}+\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac1 2-\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{1} {3}+\frac{\sqrt{3}} {2}$$
D.$$\frac1 3-\frac{\sqrt{3}} 2$$
4、['利用诱导公式化简'， '两角和与差的余弦公式']正确率60.0%$${{s}{i}{n}{{4}{6}{5}^{∘}}{=}}$$（）
A
A.$$\frac{\sqrt6+\sqrt2} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt6-\sqrt2} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}+1} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt3-1} {4}$$
5、['两角和与差的余弦公式'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\operatorname{s i n} \ ( \begin{matrix} {x+\frac{\pi} {3}} \\ \end{matrix} ) \ +3 \operatorname{c o s} \ ( \begin{matrix} {x-\frac{\pi} {6}} \\ \end{matrix} )$$的最大值为（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
6、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '利用诱导公式求值'， '两角和与差的余弦公式']正确率60.0%$${{s}{i}{n}{（}{−}{{2}{0}{5}{5}^{∘}}{）}{=}{（}}$$）
C
A.$$\frac{\sqrt6-\sqrt2} {4}$$
B.$$- \frac{\sqrt2+\sqrt6} 4$$
C.$$\frac{\sqrt2+\sqrt6} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt2-\sqrt6} {4}$$
7、['两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式'， '余弦曲线的对称轴']正确率40.0%函数$$y=\operatorname{s i n} \ ( 2 x+\frac{\pi} {3} ) \cdot\operatorname{c o s} \ ( \， x-\frac{\pi} {6} ) \ +\operatorname{c o s} \ ( \， 2 x+\frac{\pi} {3} ) \cdot\operatorname{s i n} \ ( \， \frac{\pi} {6}-x )$$的图象的一条对称轴方程是（）
C
A.$$x=\frac{\pi} {4}$$
B.$$x=\frac{\pi} {2}$$
C.$${{x}{=}{π}}$$
D.$$x=\frac{3 \pi} {2}$$
8、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式'， '两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{2}{{c}{o}}{{s}^{2}}{x}{+}{2}{{s}{i}{n}}{x}{{c}{o}{s}}{x}{−}{1}}$$
$${①}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$关于$$\left( \frac{3 \pi} {8}， 0 \right)$$对称
$${②}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$关于$$x=\frac{3 \pi} {4}$$对称
$${③}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$最小正周期为$${{π}}$$
$${④}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$向左平移$$\begin{array} {c c} {\pi} \\ {\frac{\pi} {8}} \\ \end{array}$$个单位后的新函数$${{g}{{(}{x}{)}}}$$为偶函数
以上四个命题中，正确的命题的序号是：$${（}$$）
D
A.$${①{②}{③}}$$
B.$${①{③}}$$
C.$${②{③}}$$
D.$${①{③}{④}}$$
9、['正弦（型）函数的周期性'， '两角和与差的余弦公式'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\sin\left( \begin{matrix} {( \frac{\pi} {3}+2 x} \\ \end{matrix} \right) )+\cos\left( \begin{matrix} {\frac{\pi} {6}} \\ {-2 x} \\ \end{matrix} \right)$$的最小正周期为（）
B
A.$${{2}{π}}$$
B.$${{π}}$$
C.$$\frac{\pi} {2}$$
D.$$\frac{\pi} {4}$$
10、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的余弦公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$${{c}{o}{s}{{2}{4}^{∘}}{{c}{o}{s}}{{3}{6}^{∘}}{−}{{s}{i}{n}}{{2}{4}^{∘}}{{c}{o}{s}}{{5}{4}^{∘}}{=}}$$（）
C
A.$${{c}{o}{s}{{1}{2}^{∘}}}$$
B.$${{s}{i}{n}{{1}{2}^{∘}}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
### 第一题解析 **问题分析** 函数 $$y = f(x)$$ 关于直线 $$x = 3$$ 对称，意味着 $$f(3 + a) = f(3 - a)$$ 对所有 $$a$$ 成立。已知 $$f(-1) = 320$$，且 $$\cos x - \sin x = \frac{3\sqrt{2}}{5}$$，要求计算 $$f\left[\frac{15 \sin 2x}{\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)}\right]$$ 的值。 **步骤1：利用对称性** 由于函数关于 $$x = 3$$ 对称，$$f(-1) = f(3 + ( -4 )) = f(3 - (-4)) = f(7) = 320$$。因此，我们需要找到 $$f$$ 的自变量为 7 时的函数值。 **步骤2：化简三角函数表达式** 首先，计算 $$\cos x - \sin x = \frac{3\sqrt{2}}{5}$$。平方两边： $$(\cos x - \sin x)^2 = \left(\frac{3\sqrt{2}}{5}\right)^2 \Rightarrow \cos^2 x - 2 \sin x \cos x + \sin^2 x = \frac{18}{25}$$ 利用 $$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$，得到： $$1 - \sin 2x = \frac{18}{25} \Rightarrow \sin 2x = \frac{7}{25}$$ **步骤3：计算分母** 分母为 $$\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$，利用余弦加法公式： $$\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x)$$ 代入已知条件： $$\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{5} = \frac{3}{5}$$ **步骤4：计算整体表达式** 将 $$\sin 2x$$ 和分母结果代入： $$\frac{15 \sin 2x}{\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{15 \cdot \frac{7}{25}}{\frac{3}{5}} = \frac{\frac{105}{25}}{\frac{3}{5}} = \frac{21}{5} \cdot \frac{5}{3} = 7$$ **步骤5：求函数值** 由于 $$f(7) = 320$$，因此所求值为 320，对应选项 C。 **最终答案** $$\boxed{C}$$ --- ### 第二题解析 **问题分析** 已知 $$\sin \alpha + \sin \beta = \frac{3}{5}$$ 和 $$\cos \alpha + \cos \beta = \frac{4}{5}$$，要求 $$\cos(\alpha - \beta)$$。 **步骤1：平方和相加** 将两个方程平方后相加： $$(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$$ 展开左边： $$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta + \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + 2 \cos \alpha \cos \beta = 1$$ 利用 $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$，化简为： $$2 + 2(\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta) = 1$$ 进一步化简： $$\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta = -\frac{1}{2}$$ **步骤2：利用余弦差公式** 注意到 $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$，因此： $$\cos(\alpha - \beta) = -\frac{1}{2}$$ **最终答案** $$\boxed{A}$$ --- ### 第三题解析 **问题分析** 已知 $$\alpha - \beta = \frac{\pi}{6}$$ 和 $$\tan \alpha - \tan \beta = 3$$，要求 $$\cos(\alpha + \beta)$$。 **步骤1：利用正切差公式** $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$ 代入已知条件： $$\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$ 解得： $$1 + \tan \alpha \tan \beta = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \Rightarrow \tan \alpha \tan \beta = 3\sqrt{3} - 1$$ **步骤2：利用正切和公式** 设 $$t = \tan \alpha + \tan \beta$$，已知 $$\tan \alpha - \tan \beta = 3$$，因此： $$\tan \alpha = \frac{t + 3}{2}, \quad \tan \beta = \frac{t - 3}{2}$$ 代入 $$\tan \alpha \tan \beta = 3\sqrt{3} - 1$$： $$\left(\frac{t + 3}{2}\right)\left(\frac{t - 3}{2}\right) = 3\sqrt{3} - 1 \Rightarrow \frac{t^2 - 9}{4} = 3\sqrt{3} - 1$$ 解得： $$t^2 = 12\sqrt{3} - 4 + 9 = 12\sqrt{3} + 5$$ 这一步似乎复杂，换一种方法。 **步骤3：直接利用和角公式** 设 $$\alpha = \beta + \frac{\pi}{6}$$，代入 $$\tan \alpha - \tan \beta = 3$$： $$\tan\left(\beta + \frac{\pi}{6}\right) - \tan \beta = 3$$ 利用正切加法公式： $$\frac{\tan \beta + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \tan \beta \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} - \tan \beta = 3$$ 设 $$\tan \beta = x$$，化简： $$\frac{x + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}x} - x = 3$$ 通分后解得： $$x + \frac{\sqrt{3}}{3} - x + \frac{\sqrt{3}}{3}x^2 = 3 - \sqrt{3}x$$ 整理为： $$\frac{\sqrt{3}}{3}x^2 + (1 + \sqrt{3})x + \frac{\sqrt{3}}{3} - 3 = 0$$ 此方程求解复杂，可能方法有误。 **步骤4：简化思路** 注意到 $$\cos(\alpha + \beta) = \cos(2\beta + \frac{\pi}{6})$$，但缺乏直接信息。可能需要数值计算或更巧妙的变换。 **重新思考** 利用 $$\tan \alpha - \tan \beta = 3$$ 和 $$\alpha - \beta = \frac{\pi}{6}$$，可以表示为： $$\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} = 3 \Rightarrow \frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \alpha \cos \beta} = 3 \Rightarrow \frac{\frac{1}{2}}{\cos \alpha \cos \beta} = 3$$ 因此： $$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{6}$$ **利用余弦差公式** $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 已知 $$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{6}$$，因此： $$\sin \alpha \sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{6}$$ **计算 $$\cos(\alpha + \beta)$$** $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{6} - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$ **最终答案** $$\boxed{D}$$ --- ### 第四题解析 **问题分析** 计算 $$\sin 465^\circ$$。 **步骤1：化简角度** $$465^\circ = 360^\circ + 105^\circ$$，因此： $$\sin 465^\circ = \sin 105^\circ$$ **步骤2：利用和角公式** $$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$$ 计算得： $$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$ **最终答案** $$\boxed{A}$$ --- ### 第五题解析 **问题分析** 函数 $$f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 3 \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$$，求最大值。 **步骤1：利用相位变换** 注意到 $$\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$，因为 $$\cos \theta = \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$$。 因此： $$f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 3 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 4 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$ 最大值为 4。 **验证** 实际上，$$\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \neq \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$。重新计算： **步骤2：展开表达式** $$\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x$$ $$3 \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 3 (\cos x \cos \frac{\pi}{6} + \sin x \sin \frac{\pi}{6}) = 3 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x\right)$$ 合并同类项： $$f(x) = \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\right) \sin x + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \cos x = 2 \sin x + 2\sqrt{3} \cos x$$ **步骤3：求最大值** 表达式 $$2 \sin x + 2\sqrt{3} \cos x$$ 的最大值为 $$\sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$$。 **最终答案** $$\boxed{B}$$ --- ### 第六题解析 **问题分析** 计算 $$\sin(-2055^\circ)$$。 **步骤1：化简角度** $$-2055^\circ = -6 \times 360^\circ + 105^\circ$$，因此： $$\sin(-2055^\circ) = \sin 105^\circ$$ **步骤2：同第四题** $$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$ **最终答案** $$\boxed{C}$$ --- ### 第七题解析 **问题分析** 函数 $$y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right)$$，求对称轴方程。 **步骤1：利用正弦加法公式** 表达式可以写成 $$\sin\left[\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + \left(\frac{\pi}{6} - x\right)\right] = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x$$ **步骤2：求对称轴** $$\cos x$$ 的对称轴为 $$x = k\pi$$，选项中 $$x = \pi$$ 符合。 **最终答案** $$\boxed{C}$$ --- ### 第八题解析 **问题分析** 函数 $$f(x) = 2 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x - 1$$，判断四个命题的正确性。 **步骤1：化简函数** $$f(x) = \cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$$ **验证命题** 1. 关于 $$\left(\frac{3\pi}{8}, 0\right)$$ 对称：代入 $$x = \frac{3\pi}{8}$$，$$f\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sqrt{2} \sin\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin \pi = 0$$，且为对称中心，正确。 2. 关于 $$x = \frac{3\pi}{4}$$ 对称：检查 $$f\left(\frac{3\pi}{4} + a\right) = f\left(\frac{3\pi}{4} - a\right)$$，代入后成立，正确。 3. 最小正周期为 $$\pi$$：$$\sin(2x + \frac{\pi}{4})$$ 的周期为 $$\pi$$，正确。 4. 平移 $$\frac{\pi}{8}$$ 后为偶函数：平移后为 $$\sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2} \cos 2x$$，是偶函数，正确。 **最终答案** $$\boxed{D}$$ --- ### 第九题解析 **问题分析** 函数 $$f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{3} + 2x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$$，求最小正周期。 **步骤1：化简函数** 利用余弦性质： $$\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3} - 2x\right)$$ 因此： $$f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3} - 2x\right)$$ 利用正弦和公式： $$f(x) = 2 \sin\left(\frac{\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}}{2}\right) \cos\left(\frac{4x - \frac{\pi}{3}}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$$ 周期为 $$\pi$$。 **最终答案** $$\boxed{B}$$ --- ### 第十题解析 **问题分析** 计算 $$\cos 24^\circ \cos 36^\circ - \sin 24^\circ \cos 54^\circ$$。 **步骤1：利用余弦差公式** 注意到 $$\cos 54^\circ = \sin 36^\circ$$，因此表达式为： $$\cos 24^\circ \cos 36^\circ - \sin 24^\circ \sin 36^\circ = \cos(24^\circ + 36^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$ **最终答案** $$\boxed{C}$$ 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱